情绪会给「微笑」加多少弧度？——把投资者情绪写进期权价格

1 一张「不该存在」的微笑

先从一个 Black-Scholes 留下的尴尬说起。

按照 Black 和 Scholes (1973) 的理论，同一标的、同一到期日的期权，无论行权价高低，反推出来的隐含波动率 (implied volatility) 都应该是同一个数——因为那个数就是标的资产的波动率，它和行权价没关系。可现实里偏偏不是这样。Jackwerth 和 Rubinstein (1996) 在 S&P 500 期权上发现了一条非常显眼的「微笑」（更准确地说是「冷笑」，smirk）：隐含波动率随着行权价单调下降，低行权价的看跌期权贵得离谱。这条曲线和 BS 理论的「一条水平线」形成了刺眼的对比。

人们当然想办法去补救。在理性的、有代表性投资者的、完美市场的框架里，给 BS 模型加上随机波动率、加上跳跃，确实能把期权数据拟合得更好（Bakshi, Cao, and Chen, 1997；Pan, 2002）。但麻烦在于：要把微笑拟合出来，模型往往得把参数设到一些「不合理」的取值上，这些取值和标的资产时间序列里真实的波动率、跳跃过程对不上（Bates, 2000）。更进一步，一批文献开始指出，相对于一大类理性期权定价模型，S&P 500 期权干脆就是被「错误定价」了（Jackwerth, 2000；Ait-Sahalia, Wang, and Yared, 2001；Bondarenko, 2003；Constantinides, Jackwerth, and Perrakis, 2005）。

于是一个自然的问题浮出水面：如果不在「理性」的框子里继续添参数，而是承认 投资者情绪 (investor sentiment) ——也就是投资者信念里那部分系统性的、加总后不为零的错误——本身就在影响期权价格，会怎么样？

这正是本文的切入口。但它没有去问那个被问烂了的问题（「期权平均被高估还是低估了多少」），而是盯住了一个动态的现象：Bollen 和 Whaley (2004) 发现，微笑的斜率会从一个月到下一个月剧烈变化。本文要回答的是——微笑斜率的这种时间变化，是不是被市场情绪的变化牵着走的？

2 把「微笑」拧成一个数：无模型的风险中性偏度

要做时间序列回归，先得有一个能逐月算出来的标量。本文用的是 Bakshi 和 Madan (2000) 以及 Bakshi, Kapadia, and Madan (2003)（下称 BKM）提出的 无模型 (model-free) 风险中性偏度。

它的思想其实很漂亮。Bakshi 和 Madan (2000) 证明：任何「期望有界」的收益函数，都可以用一篮子虚值 (out-of-the-money, OTM) 的欧式看涨和看跌期权复制出来。既然如此，收益率分布的各阶矩——本质上是收益率某个幂函数的期望——也就可以由当天那一截面的期权价格直接「读」出来，完全不需要假设任何状态变量或定价核的函数形式。（关于「从期权价格里反推分布」这件事更激进的版本，可参见《把未来的概率从期权价格里「读」出来》 和 《把概率从期权价格里「凭空」捞出来——Ross 复原定理的一次实证审判》。）

具体地，在日期 \(t\)、对未来 \([t, t+\tau]\) 期间的指数收益，风险中性偏度由下式给出：

其中风险中性均值由方差、立方、四次合约的价格修正而来：

$$\mu(t,\tau)=e^{r\tau}-1-\frac{e^{r\tau}}{2}V(t,\tau)-\frac{e^{r\tau}}{6}W(t,\tau)-\frac{e^{r\tau}}{24}X(t,\tau)$$

而 \(V\)、\(W\)、\(X\) 分别是「方差合约」「立方合约」「四次合约」的价格，每一个都是 OTM 看涨期权价格 \(C(t,\tau,K)\) 与看跌期权价格 \(P(t,\tau,K)\) 的加权积分。以方差合约 \(V\) 为例：

$$V(t,\tau)=\int_{S_t}^{\infty}\frac{2\left(1-\ln\frac{K}{S_t}\right)}{K^2}\,C(t,\tau,K)\,dK+\int_{0}^{S_t}\frac{2\left(1+\ln\frac{S_t}{K}\right)}{K^2}\,P(t,\tau,K)\,dK$$

立方合约 \(W\) 的权重则带上了 \(\ln(K/S_t)\) 的一次和二次项，正是这一项让它去捕捉分布的不对称性：

$$W(t,\tau)=\int_{S_t}^{\infty}\frac{6\ln\frac{K}{S_t}-3\left(\ln\frac{K}{S_t}\right)^2}{K^2}\,C(t,\tau,K)\,dK-\int_{0}^{S_t}\frac{6\ln\frac{S_t}{K}+3\left(\ln\frac{S_t}{K}\right)^2}{K^2}\,P(t,\tau,K)\,dK$$

这套公式的妙处，在于它只用当天截面的期权价格，就给出了一个对未来收益条件偏度的事前 (ex-ante) 估计——它把投资者对未来指数水平的预期，连同他们的情绪，一并编码了进去。实际计算中，本文用每天有正成交量的 OTM 看跌和看涨期权，按梯形法近似上面的积分，取一个月的展望期 \(\tau=1/12\) 年，再对那些没有恰好一个月到期合约的日子做线性插值。

为什么偏度这一个数，能告诉我们这么多？这就要回到本文真正的「核心」——定价核 (pricing kernel)。

3 真正的核心：情绪如何掰弯定价核

把全文拧成一句话，是这样一条因果链：

投资者越悲观 → 越渴望「市场跌时能赔付」的或有索取权 → 愿意为这些低状态下赔付的证券（OTM 看跌）付更高的价 → 定价核在低指数水平处被抬得更高、斜率更陡 → 风险中性偏度更负。

这条链里每一环都值得停一下。Breeden 和 Litzenberger (1978) 早就告诉我们，Arrow-Debreu 状态价格可以从期权价格里推出来；而定价核就是「单位概率的状态价格」。如果情绪扭曲了期权价格，那么状态价格、进而定价核，也会被情绪扭曲——它会依赖于投资者情绪，而不仅仅是实体经济里那些代表风险的状态变量。Cochrane (2001) 早已承认这种可能：定价核可以和实体经济里的边际替代率「脱钩」，而这并不需要存在套利机会。

再加上一个关键的经验事实：月度指数收益的真实（客观测度下的）分布近似对称（Ait-Sahalia and Lo, 1998, 2000；Rosenberg and Engle, 2002）。既然客观分布几乎不偏，那么风险中性偏度里那一坨负的部分，就几乎全部来自定价核的斜率——来自投资者在「市场低位」和「市场高位」之间，对一块钱赔付的相对估值差。于是，研究指数风险中性偏度的决定因素，就等价于在研究定价核斜率的决定因素。

所以本文的识别逻辑，说穿了是一句时间序列的对照：如果投资者情绪真的掰弯了定价核，那么情绪变量和指数风险中性偏度之间，应该存在显著的同期时间序列关系。这就是全文的核心检验假设。

值得一提的是，本文这种「从每天截面里抽取定价核斜率的条件信息」的做法，和前人很不一样：Ait-Sahalia 和 Lo (1998) 用面板数据做非参数估计，得到的是一个无条件、平均的定价核；Rosenberg 和 Engle (2002) 虽然估的是时变定价核，却要事先对定价核的函数形式做参数假设。本文则不对定价核做任何参数假设，直接让数据说话。

4 数据与情绪的三把尺子

期权数据来自芝加哥期权交易所 (CBOE) 的 S&P 500 指数期权（代码 SPX），欧式、现金结算，日频，样本期 1988 年 1 月 4 日至 1997 年 6 月 24 日。本文沿用 Ait-Sahalia and Lo (1998)、Dumas, Fleming, and Whaley (1998)、Poteshman (2001) 的做法，用最接近平值的看涨看跌期权、借助看跌看涨平价 (put-call parity) 推出每个到期日的隐含期货价，再用现货-期货关系折出分红调整后的指数水平 \(S\)。剔除违反无套利下界的观测、价格低于 $1/8 美元的观测、以及到期不足一周或超过一年的合约。月末对齐后，每个变量有 114 个月度观测。

样本里指数风险中性偏度的均值是 −1.6475，标准差高达 0.6181——也就是说，这个偏度在月与月之间剧烈摆动，这恰恰为「它被某种时变因素驱动」留出了空间。

情绪用了三把尺子，而且本文有意只盯「大（机构）投资者」，因为他们才主导着指数期权市场（Bates, 2003；Lakonishok et al., 2007）：

1. BullBearSurvey（牛熊价差）：基于 Investors Intelligence 对约 150 份投资通讯的每周调查，看多者比例减看空者比例。沿用 Brown and Cliff (2004, 2005)，它代表机构类大投资者的情绪。均值 0.0370。
2. LongShortFutures（大投机者净头寸）：来自 CFTC 的「交易者持仓报告」，S&P 500 期货里「非商业」交易者（即大投机者）的多头合约数减空头合约数，再除以总未平仓量。均值 −0.0638。
3. MispricingIndex（估值误差）：Sharpe (2002) 算的 S&P 500 相对 Campbell 和 Shiller (1988) 对数线性增长模型预测水平的偏离。正值代表高估。均值 −0.0157。

这三把尺子彼此正相关（牛熊价差与期货净头寸相关 0.26；二者与估值误差分别相关 0.35 和 0.15），而且都和指数风险中性偏度同步起伏——相关系数在 0.29 到 0.48 之间。图像上的「齐步走」已经很有暗示性，但真正的检验在回归里。

5 主要结果：情绪确实在给微笑加弧度

基准回归。 把指数风险中性偏度对各情绪代理变量回归（含滞后因变量控制持续性，标准误按 Newey and West (1987) 调整），结果是一致的正号、且大多显著：

• BullBearSurvey 的系数为 0.9793（t = 3.01）；
• MispricingIndex 的系数为 5.2963（t = 3.46）；
• LongShortFutures 的系数为 2.4612（t = 1.92），稍弱但符号一致。

也就是说，情绪越乐观（牛熊价差越高、市场越被高估、大投机者越偏多），偏度就越不那么负（微笑越平）；情绪越悲观，偏度越负、微笑越陡。模型的调整 \(R^2\) 在 0.18–0.26 之间。为了打消「这只是两个高度自相关序列碰巧同涨同跌」的疑虑，本文还把双方都做 AR(1) 残差后再回归（Panel B）：去掉持续性成分之后，BullBearSurvey 的系数反而升到 1.1844（t = 3.05），关系依旧稳健。

它不是理性因子的影子。 一个聪明读者立刻会问：会不会情绪代理只是在替某个理性的风险因子打工？本文于是塞进一组可能与情绪相关、也可能与偏度相关的「理性」控制变量（指数波动率、过去六个月指数收益、期权成交量等）。结论是：在控制了这些之后，情绪与风险中性偏度之间依然存在显著为正的关系。

Table 3: show that there is still a positive and statistically significant relation

套利越受限，关系越强。 这一步是行为解释的「试金石」。如果情绪能影响价格，那它一定是趁着套利者被绑住了手脚才得逞的。本文据此把样本按指数期权市场的套利障碍切开，发现情绪-偏度关系在套利障碍更大的时候更强——这正是「限制套利 (limits to arbitrage)」机制该留下的指纹，理性定价模型给不出这样的横截面差异。

最后，回到微笑本身。 既然偏度和微笑斜率几乎等价，那把因变量直接换成微笑斜率 (SmileSlope，均值 −1.2194) 应该得到一致的图景。结果正如表 7 所示：无论月度还是周度回归，情绪都显著地驱动着微笑的斜率——情绪越悲观，微笑越陡。两个频率上结论一致，让这个发现更让人放心。

Table 7: shows that in both monthly and weekly regressions, the sentiment

到这里，全文的「一个核心」已经讲透了：情绪不是停在股票收益里的一个模糊噪声，它实实在在地坐进了指数期权的价格里，掰弯了定价核的斜率。 这也呼应了 Ait-Sahalia, Wang, and Yared (2001) 那个著名的反常——把期权隐含的状态价格密度偏度，对时间序列估出来的状态价格密度偏度做回归，斜率本应等于 1（若投资者理性且知道指数动态），实际却是一个不显著的负数。这个对不上的结果，用「情绪重要地影响了期权价格」来解释，反而顺理成章。

6 文献脉络

把这条线捋一遍，会看到一段「从拟合曲线，到承认情绪」的位移。

最开始是 Black 和 Scholes (1973) 的常数波动率世界；Jackwerth 和 Rubinstein (1996) 在数据里发现了那条不该存在的微笑，掀开了序幕。接着，一路人马在理性框架内修补——加随机波动率、加跳跃（Bakshi, Cao, and Chen, 1997；Pan, 2002）——另一路人马（Jackwerth, 2000；Ait-Sahalia, Wang, and Yared, 2001；Bondarenko, 2003）则越来越坚定地指出：相对一大类理性模型，指数期权就是被错误定价了。

然后，两件「工具性」的进展铺好了路：一是 Bakshi 和 Madan (2000)、Bakshi, Kapadia, and Madan (2003) 把风险中性偏度做成了无模型、可逐日提取的标量；二是 Brown 和 Cliff (2004, 2005) 把机构投资者情绪做成了可用的时间序列代理。与此同时，Bollen 和 Whaley (2004) 记录了微笑斜率的剧烈时变，把「斜率为什么动」这个问题摆上了桌面。

本文正是站在这两条支流的交汇处：它借 BKM 的尺子量偏度、借 Brown-Cliff 的尺子量情绪，第一次把「情绪驱动微笑斜率的时变」这件事做成了干净的时间序列证据，并赋予它一个定价核的解释。它和 Poteshman (2001) 那种「期权市场对波动率信息反应过度/不足」的工作是互补的——后者讲的是对波动率的行为偏差，本文讲的则是对指数水平的情绪。（关于偏度本身作为横截面预测因子的角色，可参见《市场的下一步，藏在一万只股票的「歪斜」里》；关于需求压力如何重塑隐含波动率曲面这一更现代的视角，可参见《当波动率曲面被「散户」推歪》 与《每一张期权背后，站着一个怎样的投资者？》。）

7 评论与延伸（Q&A + 研究方向）

(a) 几个可能的疑问

Q：「风险中性偏度变负」和「微笑变陡」到底是不是一回事？为什么要绕这一道？

近似等价，但不是定义上的恒等。微笑斜率是隐含波动率对行权价的经验斜率，风险中性偏度是分布的三阶标准矩；BKM 证明了二者的紧密对应。绕道偏度的好处有二：偏度是无模型的、可严格逐日提取的标量，适合做时间序列；而且偏度直接对应定价核斜率，给了机制一个干净的经济学落点。本文最后又把微笑斜率本身做了一遍回归（表 7），正是为了证明这层「翻译」没有丢信息。

Q：客观分布近似对称这个前提，靠得住吗？它是整条逻辑的承重墙。

这是全文最关键、也最该被盯住的假设。它来自 Ait-Sahalia and Lo (1998, 2000) 和 Rosenberg and Engle (2002)。若客观月度分布其实有显著负偏，那么风险中性偏度里就未必全是定价核斜率，部分可能反映真实的、理性的灾难风险。本文的稳健性（控制理性因子、套利障碍异质性）是在间接地为这堵墙加固，但它确实是承重墙——这也是我后面「想看到什么」的重点。

Q：三个情绪代理都和偏度正相关，会不会只是「两个高自相关序列的伪回归」？

这正是 Panel B 做 AR(1) 残差回归要回应的。去掉各自的持续性成分后，牛熊价差的系数不降反升（从 0.98 到 1.18，t = 3.05），说明驱动力来自情绪的创新（变化）而非共同趋势，伪回归的担忧被大幅削弱。

Q：为什么只看机构/大投资者情绪，把散户情绪扔掉了？

因为指数期权市场由机构主导（Bates, 2003；Lakonishok et al., 2007），散户不是重要参与者。本文早期版本里也试过散户情绪（AAII 调查），发现它与指数风险中性偏度无显著关系，且加进去不改变机构情绪的结论。这是个合理的、由市场结构决定的取舍。

Q：这能算「错误定价」吗？会不会只是一个被情绪驱动、但仍然理性的风险溢价？

本文的立场是：传统的、理性的、完美市场期权定价模型解释不了这些关系，而 Cochrane (2001) 指出定价核可以与实体经济边际替代率脱钩、却不构成套利。所以它更像是「情绪进入了定价核」而非「无风险套利机会」。是否给它贴上「错误定价」的标签，部分是措辞之争；但「理性风险溢价」很难解释为什么关系在套利障碍大时更强。

Q：1988–1997 这段样本，会不会被 1987 后那几年的特殊性主导？

样本起点紧接 1987 年崩盘，那之后看跌期权系统性变贵（「崩盘恐惧」）是公认事实（Bates, 2000）。本文识别的是斜率随情绪的时间变化，而非斜率的平均水平，所以崩盘恐惧的「常数项」部分不太会污染结论；但样本只有 114 个月、且止于 1997，外部有效性（尤其是 2008 之后做市商资本约束主导的年代）需要谨慎。

(b) 几个可能的研究问题与提案

1. 把这套逻辑搬到公司债 / 信用市场的「偏度」上。 - 【经济故事】公司债收益的下尾风险（违约、流动性骤停）本身高度不对称，若情绪同样能掰弯信用市场的定价核，那么从信用违约互换 (CDS) 或债券期权里提取的风险中性偏度，应随情绪同向起伏，且在套利受限的高收益段更强。 - 【可行性】中。CDS 期权样本薄、流动性差是硬伤；可退而用 CDS 期限结构或债券隐含的下尾保护价格做代理。识别仍是时间序列+套利障碍异质性，难做成准实验。

2. 外资持有人的情绪，是否给本国指数期权的偏度「另开一条暗线」？ - 【经济故事】若外资和本土机构的情绪不同步，二者对 OTM 看跌的需求会在定价核上叠加出不同的斜率成分。把情绪按投资者国籍拆开，看谁主导了偏度的时变，是对本文「只看大投资者」的自然细化。 - 【可行性】中低。难点在于把期权需求按持有人国籍分解——交易所层面的持仓很少带国籍标签；可能要借道托管行数据或特定市场（如部分亚洲指数期权）的披露。

3. 做市商资本约束 vs. 情绪：谁在驱动微笑斜率？ - 【经济故事】2008 之后的文献强调中介/做市商资本约束才是期权价格的主导力量。一个干净的「赛马」是：在同一回归里同时放入情绪代理和做市商资本约束代理（如一级交易商杠杆），看情绪的解释力在控制约束后还剩多少。 - 【可行性】高。情绪代理可沿用本文，做市商约束有现成代理；OptionMetrics 把样本延长到近二十年，足以做子样本与交互项。这是把本文「现代化」最直接的一步。

4. 用更高频的事件（如 FOMC、宏观数据公布）识别情绪冲击。 - 【经济故事】本文的月度同期回归终究是相关性。若能找到一个主要改变情绪、却不直接改变基本面下尾风险的外生事件，对事件窗内偏度的跳变做估计，就能向因果再逼近一步。 - 【可行性】中。难点是「只动情绪、不动基本面风险」的排他性很难论证——FOMC 既动情绪也动真实风险。可作为本文识别的补强而非替代。

我的判断。 本文最大的贡献，是把「投资者情绪影响资产价格」这个老命题，从充满噪声的已实现股票收益战场，搬到了信息含量更高的指数期权战场——期权不是冗余证券（Buraschi and Jackwerth, 2001），它提供了关于定价核的、股票市场给不出的事前信息，而且让我们能在同一标的的丰富截面上做相对估值。把情绪、BKM 偏度、定价核斜率三者串成一条逻辑链，干净利落，是这篇文章的高明之处。

但识别的软肋也很清楚。其一，全文是时间序列相关性，不是准实验；「情绪 → 偏度」的因果方向，原则上无法排除「某个未被观测到的、同时驱动情绪与真实下尾风险的第三方」。其二，整条逻辑压在「客观月度分布近似对称」这一前提上——一旦真实分布本身有时变的负偏（这在崩盘恐惧浓厚的年代并非不可能），风险中性偏度里就掺进了理性成分，情绪的份额会被高估。其三，114 个月、止于 1997 的样本，放在今天做市商资本约束主导的市场里，外部有效性需要重新检验。

我最想看到的后续，是上面提案 3 那场「赛马」：在一个延长到 2020 年代的样本里，把情绪和做市商资本约束放进同一个回归，看十几年后，到底是「投资者心里的牛熊」还是「中介手里的资本」，在给那张微笑加弧度。

参考文献

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