把未来的概率从期权价格里「读」出来：一个被忽略的无套利约束

[2025 JFE] Arbitrage-based Recovery
Ferenc Horvath
Jun He June 01, 2026
资产定价 复原定理 随机贴现因子 期权
Note

本文读的是 Horvath (2025, Journal of Financial Economics)：当复原定理 (Recovery Theorem) 所用的状态变量本身就是某个可交易资产的价格时，存在一条此前文献一直忽略的无套利约束。把这条约束加进去，原本看似「灵活」的随机贴现因子瞬间被钉死——它只能是资产毛收益率的倒数。由此，只需观察单一到期的 Arrow–Debreu 价格，就能复原出物理概率；而且用 26 年以上的 S&P 500 期权数据检验，这套复原出来的分布通不过被拒绝，哪怕永久 SDF 成分在数据里波动得很厉害。

1 一个让人心动的梦

做资产定价的人，大概都做过同一个梦：能不能不靠历史数据，而是直接从今天的市场价格里，把未来真实世界的概率读出来？

这个梦之所以诱人，是因为历史数据天然是「向后看」的。我们想知道下个月 S&P 500 跌超过 10% 的真实概率有多大，手里却只有过去几十年的样本——而样本好不好用，全看这几十年到底有多「有代表性」。早在 1952 年，Markowitz 就提醒过：拿历史均值方差去做投资决策，是要打折扣的。于是一个自然的渴望浮现出来：有没有一种「向前看」的、能从实时市场价格里抽取物理概率 (physical probability) 的办法？

期权市场看上去是个完美的候选。期权价格里确实塞满了关于未来的信息。可问题在于——自 Black and Scholes (1973) 和 Merton (1973) 起我们就明白：资产价格本身只取决于风险中性概率 (risk-neutral probability)，而与物理概率无关。你从期权价格里直接抠出来的，是已经被风险溢价「扭曲」过的风险中性分布。想把那层风险溢价剥掉、还原出真实概率，单靠无套利是不够的，你必须额外再假设点什么。

那么——到底该假设什么？

2 Ross 的复原，和它甩不掉的影子

2015 年，Ross 给出了一个漂亮的答案。他的关键假设叫做随机贴现因子的转移独立性 (transition independence)：SDF 可以写成一个常数乘以一个比值，分子是到达状态上某个正函数的取值，分母是初始状态上同一个函数的取值，即

$$m_{i,j} = \delta \times \frac{h(\theta_j)}{h(\theta_i)},$$

这里 \(i\) 是初始状态，\(j\) 是到达状态，\(\theta\) 是状态变量，\(h>0\)。在这个假设下，只要能观察到整个 Arrow–Debreu 价格矩阵，物理概率测度就能被唯一地复原出来。

但「整个矩阵」四个字，正是 Ross 复原定理甩不掉的影子。现实里我们一次只能观察到矩阵的一行——也就是当前状态出发的那一排转移价格。Ross 的补救办法是：观察足够多个到期日的转移价格，把整个矩阵一块块拼出来。麻烦随之而来：要复原一个月度区间的概率，你得观察好几个到期日的转移价格；状态能取多少个值，就得拼多少个到期。如果只用到一年期、按月不重叠，那资产价格就只能取十二个值——网格粗得可怜，复原出来的概率自然也粗糙。

更要命的是，Ross 复原其实偷偷绑了一个隐含假设。早在复原定理出现之前，Alvarez and Jermann (2005) 与 Hansen and Scheinkman (2009) 就证明了：SDF 过程可以分解成一个转移独立的「暂时成分 (transitory component)」和一个鞅「永久成分 (permanent component)」的乘积。Borovička et al. (2016) 一针见血地指出：Ross 的方法只有在鞅成分恒定时，才能复原出真实的物理概率。可「永久成分恒定」这件事，和主流资产定价模型——比如 Bansal and Yaron (2004) 的长期风险模型——是直接冲突的。后来 Bakshi et al. (2018) 用 30 年期国债期货、Qin et al. (2018) 用美国国债数据，都从实证上确认了：永久成分不太可能是常数。Jackwerth and Menner (2020) 更是用 30 多年的 S&P 500 欧式期权做了一次彻底的统计检验，结论很扎心：复原出来的物理分布，生不出实际观测到的 S&P 500 指数值——假设被干脆利落地拒绝了。

Warning

换句话说，到 2020 年前后，复原这条线几乎被实证判了「死刑」：理论上要么得观察一大堆到期日，要么得假设一个本身就站不住的恒定鞅成分；实证上检验又过不了关。复原定理像是一个优雅但失灵的梦。

（顺带一提，SDF/定价核怎样在不同市场状态下变形，本身就是个有意思的话题，可参见《定价核的两副面孔：为什么同样跌 10%，在「平静市」里更让人心痛？》。）

3 真正关键的一步：状态变量「恰好是价格」

接着，一个自然的问题是：所有这些麻烦，是不是非有不可？

本文作者的洞察，恰恰藏在一个被几乎所有人当成理所当然、却从未被利用的细节里。Ross 和后来的复原定理都不限定状态变量是什么——只要有期权写在它上面，状态空间可以由任何变量张成。但实证文献里，绝大多数人用的状态变量是价格本身（比如 S&P 500 指数水平）。原因很务实：流动的期权大多写在价格上。

而一旦状态变量就是某个可交易资产的价格，事情就不一样了：这时除了「Arrow–Debreu 价格非负」之外，还有一条额外的无套利约束——那个充当状态的资产，它自己的价格必须满足一条递归的定价关系。这条约束，此前的文献全都没用上。

本文证明：把这条约束加进去，原本被认为「只受转移独立性限制、因而很灵活」的 SDF，其灵活性是假象。复原出来的 SDF 不可能是别的，只能是资产毛收益率的倒数。

Tip

这就是全文的「一个核心」：当状态变量是可交易资产的价格时，无套利已经把 SDF 钉死了。剩下要做的，不是去「猜」一个 \(h\) 函数，而是承认 \(h\) 早已被市场结构决定。于是你只需要观察单一到期的一行 Arrow–Debreu 价格，就能复原概率——多个到期、恒定鞅成分这些枷锁，统统不需要。

Figure 1: Arbitrage-based recovery. One needs to observe the Arrow–Debreu prices (where the current state is the initial state) for only one maturity

Figure 1: Arbitrage-based recovery. One needs to observe the Arrow–Debreu prices (where the current state is the initial state) for only one maturity

图 1：套利复原示意图 —— 只需观察「当前状态出发、单一到期」的一行 Arrow–Debreu 价格

4 模型：换一种计价货币，约束就现身了

本文的技术核心，是一次巧妙的计价单位变换 (change of numeraire)。我们一步步来。

第 0 步：设定。 离散时间、完全市场，唯一的状态变量是股价，可取 \(n\) 个值，收进列向量 \(\mathbf{S}\in\mathbb{R}^n_{>0}\)。一期的 Arrow–Debreu 价格矩阵（美元计价）记作 \(\mathbf{A}^{\\)}\in\mathbb{R}^{n\times n}_{>0}$。从状态 \(i\) 到 \(j\) 派发的股息为 \(D_{i,j}\ge 0\)，定义总股息收益率矩阵 (gross dividend yield matrix)

$$F_{i,j} = \frac{D_{i,j}+S_j}{S_j},$$

其中 \(S_j\) 是派息后的状态 \(j\) 股价。注意一个会反复用到的恒等式：\(S_j + D_{i,j} = S_j F_{i,j}\)，也就是「含息总价值」。

第 1 步：定价方程。 Arrow–Debreu 价格可以拆成 SDF 和物理转移概率的逐元素乘积：

$$\mathbf{A}^{\$} = \mathbf{m}^{\$}\odot\boldsymbol{\pi},$$

这里 \(\odot\) 是 Hadamard（逐元素）积，\(\boldsymbol{\pi}\) 是物理转移概率矩阵。复原的全部目的，就是把观测到的 \(\mathbf{A}^{\\)}$ 拆回 \(\mathbf{m}^{\\)}$ 和 \(\boldsymbol{\pi}\)。

第 2 步：引入「股息账户」当新货币。 设一个股息账户，初始值 1 美元，每期按实现的总股息收益率增值：从 \(i\) 到 \(j\) 后，账户值变成 \(1\times F_{i,j}\) 美元。把这个账户的价值当计价单位，定义一种「货币」\(D\)。于是「在状态 \(j\) 收到 1 单位 \(D\)」就等于「在状态 \(j\) 收到 \(F_{i,j}\) 美元」，从而 \(D\) 计价下的 Arrow–Debreu 矩阵是

$$\mathbf{A}^{D} \triangleq \mathbf{A}^{\$}\odot\mathbf{F}.$$

相应地，\(D\) 计价下也有 \(\mathbf{A}^{D}=\mathbf{m}^{D}\odot\boldsymbol{\pi}\)，而两种 SDF 的关系是 \(\mathbf{m}^{D}=\mathbf{m}^{\\)}\odot\mathbf{F}\(。本文沿用 Ross 的转移独立性，但**施加在新货币 \)D$ 上**：\(m^{D}_{i,j}=\hat\delta\,\hat h(S_j)/\hat h(S_i)\)。

第 3 步：那条被忽略的无套利约束。 现在用上「状态变量恰好是可交易资产价格」这件事。今天（状态 \(i\)）的股价，必须等于把未来含息支付按 Arrow–Debreu 价格贴现回来的总和：

$$S_i = \sum_{j} A^{\$}_{i,j}\,(S_j + D_{i,j}) = \sum_{j} A^{\$}_{i,j}\,S_j F_{i,j} = \sum_{j} A^{D}_{i,j}\,S_j.$$

写成矩阵形式，这就是惊人简洁的一句话：

$$\mathbf{A}^{D}\,\mathbf{S} = \mathbf{S}.$$

也就是说，\(\mathbf{S}\) 是 \(\mathbf{A}^{D}\) 的特征向量，对应的特征值是 1。这正是此前文献漏掉的那条约束——它本来一直在那儿，只是没人意识到它能拿来用。

第 4 步：Perron–Frobenius 登场。 \(\mathbf{A}^{D}\) 是正方阵，\(\mathbf{S}\) 是正向量。由 Perron–Frobenius 定理，正特征向量唯一（相差一个正的尺度因子），它对应的就是 Perron–Frobenius 特征值。于是 Lemma 1 顺理成章：无套利 \(\Rightarrow\) \(\mathbf{A}^{D}\) 的 Perron–Frobenius 特征向量是 \(\mathbf{S}\)、特征值是 \(1\)。换句话说，复原问题里那个本来要去「解」的特征值–特征向量，早就被无套利白送给你了。

第 5 步：复原公式。 借用 Martin and Ross (2019) 的分解逻辑（Theorem 1）：任何正方阵 \(\mathbf{A}\) 都能唯一分解成 \(\mathbf{A}=\phi\,\mathbf{Z}\,\boldsymbol{\Pi}\,\mathbf{Z}^{-1}\)，其中 \(\mathbf{Z}\) 是正对角阵、\(\phi\) 是 Perron–Frobenius 特征值、\(\boldsymbol{\Pi}\) 是行随机矩阵（即物理转移概率）。对 \(\mathbf{A}^{D}\) 而言，我们刚证出 \(\phi=1\)、\(\mathbf{Z}=\mathrm{diag}(\mathbf{S})\)。代进去：

$$\Pi_{i,j} = \frac{1}{\phi}\big(\mathbf{Z}^{-1}\mathbf{A}^{D}\mathbf{Z}\big)_{i,j} = \frac{1}{S_i}\,A^{D}_{i,j}\,S_j = A^{\$}_{i,j}\times\frac{S_j\,F_{i,j}}{S_i}.$$

这就是本文的主定理（Theorem 2，Arbitrage-Based Recovery）。把它的每一块拆开看：

$$ \Pi_{i,j} = \cssId{a1}{A^{\$}_{i,j}} \times \frac{\cssId{a2}{S_j \, F_{i,j}}}{\cssId{a3}{S_i}} $$

整条公式右边的量全都可观测：\(A^{\\)}_{i,j}$ 来自当前一行期权价格，\(S_j\)、\(F_{i,j}\)、\(S_i\) 来自价格与股息。没有任何需要去「拼多个到期」或「假设恒定鞅成分」的地方。

5 反转：所谓「灵活的 SDF」是假象

到这里，真正的反转出现了。

我们把复原出的概率反代回去，看看 \(D\) 计价下的 SDF 长什么样：

$$m^{D}_{i,j} = \frac{A^{D}_{i,j}}{\Pi_{i,j}} = \frac{A^{D}_{i,j}}{A^{D}_{i,j}\,S_j/S_i} = \frac{S_i}{S_j}.$$

复原出来的 SDF，恰好是资产毛价格收益率的倒数。 对照转移独立形式 \(m^{D}_{i,j}=\hat\delta\,\hat h(S_j)/\hat h(S_i)\)，等于是说 \(\hat h(S)\propto 1/S\)、\(\hat\delta=1\)——那个本来号称「只受转移独立性约束、可以很灵活」的 \(\hat h\) 函数，根本没有任何自由度可言。

这正是本文对既有文献最锋利的一击：大家以为自己在「灵活地」提取一个仅受转移独立性限制的 SDF，但只要状态变量是可交易资产的价格，无套利就已经把这个 SDF 完全钉死了。所谓的灵活性，是 spurious 的。

而且，这个结果直接落在 SDF 的长期分解上：只要状态空间由一个有界闭的价格过程张成，在新计价单位下，SDF 的暂时成分就等于该资产已实现毛收益率的倒数。当状态变量换成股价–股息比 (price–dividend ratio) 时，换另一种计价单位，同样的结论依然成立。

6 顺便，和 Martin (2017) 握了个手

这套框架还顺手解释了另一条看似无关的文献。Martin (2017) 证明：只要满足所谓的「负相关条件 (negative correlation condition)」，就能用期权价格在实时给出市场预期收益的一个下界，而且实证上这个下界相当「紧」。

本文指出：Martin 的负相关条件，其实就是「股息账户计价单位下 SDF 的鞅成分，与美元计价下的市场总收益负相关」这一条件的另一种说法。更进一步，本文复原出的物理概率，所隐含的市场预期收益恰好等于 Martin 的下界。两条看似平行的研究，原来在同一个计价单位变换下重合了。

（关于「价格里到底藏了多少前瞻信息」，期权市场的信息含量本身也很有意思，可参见《期权里藏着的，不是先知，而是一张借券账单》。）

7 数据与实证：它真的过关了吗？

理论再漂亮，也得回到 Jackwerth and Menner (2020) 当年那块试金石上：实际实现的收益，到底是不是从复原分布里抽出来的？

本文用了 26 年以上的 S&P 500 指数期权数据（图 9 的财富序列从 1996 年 1 月 19 日起步），到期日 28 天的欧式期权，做了若干密度检验 (density test) 与均值预测检验 (mean prediction test)。先把风险中性密度从期权隐含波动率曲线里拟合出来（左右尾部的处理见原文附录 A），再套用 Theorem 2 的公式，得到 1 个月、非年化总收益的物理分布。

Figure 4: Risk-neutral and physical probability density functions on three dates, calculated from European-style S&P 500 index options with 28 days to

Figure 4: Risk-neutral and physical probability density functions on three dates, calculated from European-style S&P 500 index options with 28 days to

图 4：风险中性与物理概率密度 —— 三个交易日上，由 28 天期 S&P 500 期权算出的两条分布

结论很干脆：用本文的套利复原，「实现收益来自复原分布」这一假设无法被拒绝；而用 Jackwerth and Menner (2020) 测试过的其它复原方法，同样的假设被自信地拒绝。一个失灵多年的梦，换了一条无套利约束，竟然过关了。

Figure 9: Wealth evolution under three different investment strategies, starting with $1 on January 19, 1996. On the vertical axis, we show the wealth

Figure 9: Wealth evolution under three different investment strategies, starting with $1 on January 19, 1996. On the vertical axis, we show the wealth

图 9：三种投资策略下的财富演化 —— 从 1996 年起的 1 美元

8 那「永久成分很波动」怎么办？

这里有个看上去要命的反对意见：前面 Bakshi et al. (2018)、Qin et al. (2018) 不是已经证明 SDF 的永久成分很波动、绝非常数吗？而 Borovička et al. (2016) 又说，复原要成立就得鞅成分恒定。本文怎么能既承认永久成分波动、又宣称复原成功？

本文在第 8 节里给出的调和，相当精巧：实证里那些复原所施加的限制（比如「一个有界闭的价格过程张成了状态空间」）本身，就意味着这套框架下的「暂时 SDF 成分」极不可能等于真实的暂时成分。也正因如此，真实的永久成分在数据里波动得厉害（本文第 8.1 节也确认了这一点），并不和套利复原的实证成功相矛盾——它们量的根本不是同一个东西。换言之，过去的「证伪」与本文的「成功」之间，没有真正的冲突，只是大家对「永久/暂时成分」的口径不同。

9 文献脉络

把这条线捋一捋，会看到一个相当清晰的演进。

最早的地基，是 Black and Scholes (1973) 和 Merton (1973)：资产价格只取决于风险中性概率，物理概率无法单凭无套利读出。接着，Alvarez and Jermann (2005) 与 Hansen and Scheinkman (2009) 把 SDF 分解成暂时成分与永久（鞅）成分，为后来的一切讨论搭好了语言。然后，Ross (2015) 抛出复原定理，用转移独立性把物理概率「复原」了出来，掀起一场热烈的争论。

但真正关键的转折，是 Borovička et al. (2016)：他们指出 Ross 复原暗含「鞅成分恒定」，而这与长期风险模型等主流框架冲突；随后 Bakshi et al. (2018)、Qin et al. (2018) 从实证上确认永久成分并非常数，Jackwerth and Menner (2020) 则用统计检验把 Ross 复原的实证表现彻底否掉。与此同时，Martin (2017) 从另一个方向给出了市场预期收益的实时下界。

文献脉络时间线
文献脉络时间线（按发表年份排布；红色为本文）

于是反转出现在 2025 年：本文不再去和「鞅成分恒定」较劲，而是回到一个最朴素的事实——状态变量恰好是可交易资产的价格，这本身就附带一条无套利约束。把它用上，复原所需的信息从「多个到期的整张矩阵」坍缩成「单一到期的一行」，而且过得了 Jackwerth and Menner 那道检验。它处在这条脉络的「下一个合乎逻辑的台阶」上。

10 评论与延伸（Q&A + 研究方向）

(a) 几个可能的疑问

Q：这跟 Ross (2015) 到底差在哪？一句话说清。

Ross 需要观察多个到期去拼出整张 Arrow–Debreu 矩阵，并隐含假设鞅成分恒定；本文只需观察单一到期的一行，因为「状态变量是可交易资产价格」附带的无套利约束 \(\mathbf{A}^D\mathbf{S}=\mathbf{S}\) 直接把 Perron–Frobenius 特征值/向量送给了你。

Q：既然 SDF 被钉死成毛收益率的倒数，那「复原」还剩下什么内容？是不是同义反复？

不是。被钉死的是 \(D\) 计价下的暂时 SDF 成分；真正被复原、有信息量的是物理转移概率 \(\Pi_{i,j}\)。公式右边的 \(A^{\\)}_{i,j}$ 仍来自期权价格，承载着市场对未来分布的看法。钉死 SDF 只是消除了「该用哪个 \(h\) 函数」的任意性，让概率变得可识别。

Q：把状态变量限定成「可交易资产价格」，是不是把适用范围砍得太狠？

是个真实的代价。本文的无套利约束只在状态变量是可交易资产价格（且做了恰当计价单位变换）时才成立。如果状态变量是利率、波动率、天气这类非价格变量，这条额外约束就没有了，Ross 那套的麻烦依旧。好在实证上流动的指数期权恰恰都写在价格上，所以这个限定在 S&P 500 这种主战场反而不太碍事。

Q：永久成分明明很波动，复原却成功，这不自相矛盾吗？

关键在于「暂时/永久成分」的口径。本文复原所依赖的暂时成分（毛收益率倒数）几乎肯定不等于真实 SDF 的暂时成分，所以真实永久成分波动得再厉害，也不和本文的实证成功冲突——两者根本不是同一个分解。

Q：股息那块会不会埋着隐患？

本文实证假设期权到期前（未来 28 天）要派的股息在观察时已知，并援引 Chetty et al. (2005)：公司通常在派息前四到六周宣布股息，所以这个假设算合理。但毕竟期权写在派息后价格上，股息结构的设定（\(F\) 矩阵的具体形式）是个需要小心的建模环节，换一种股息再投资约定，结果会受影响。

Q：它和 Martin (2017) 的下界是「重合」还是「等价」？

本文复原出的物理概率所隐含的市场预期收益，恰好等于 Martin 的下界，且 Martin 的负相关条件被重新诠释为「股息账户计价下 SDF 鞅成分与市场总收益负相关」。可以理解为：在「价格张成状态空间」这一前提下，两条路通向同一个数。

(b) 几个可能的研究问题与提案

1. 把套利复原搬到公司债/信用市场。

【经济故事】信用利差里同样混着违约的物理概率与风险溢价，分离二者是信用研究的核心难题。若能找到一个「可交易、且其价格张成状态空间」的信用标的（如某指数的 CDS 或债券 ETF），或许能照搬本文的计价单位变换，复原出前瞻的违约/回收物理分布。 【可行性】中。难点在于信用市场期权稀薄、Arrow–Debreu 价格难以干净地从市场读出；需要 CDX/iTraxx 期权或债券 ETF 期权数据，识别上要先论证状态空间确由该价格张成。doable 但门槛比指数期权高。

2. 用复原出的物理分布做外资持有人冲击的事件研究。

【经济故事】当外资大额进出某市场时，物理概率（尤其尾部）应当随之变化。复原方法给了一个实时、逐日的物理分布序列，可以围绕外资流向冲击做事件研究，看尾部风险如何被重定价。 【可行性】中。需要高频期权面（复原分布）+ 外资流向数据（如 TIC、基金持仓）。识别靠流向的外生冲击（指数重平衡、被动资金）；分布端 doable，外生性论证是主要挑战。

3. 复原分布 vs. 历史估计，谁更能预测尾部事件？

【经济故事】本文宣称复原分布「向前看」、优于「向后看」的历史估计。一个直接的横向比拼：用复原出的 1 个月物理分布预测未来实现的极端跌幅，和滚动历史分布、GARCH 类模型 PK，看谁的尾部校准更好。 【可行性】高。只需 S&P 500 期权 + 实现收益，复原公式已给定，检验是标准的密度校准/PIT 检验。几乎是本文实证的自然延伸。

4. 把状态变量换成价格–股息比，检验稳健性与含义差异。

【经济故事】本文证明用 price–dividend ratio 当状态变量、换另一种计价单位，结论依然成立。但 P/D 比承载的是估值/贴现率信息，复原出的分布可能在中长期视野下与「以价格为状态」显著不同。 【可行性】高。数据与方法都已具备，只是把状态变量替换并重做实证，是一篇干净的对照研究。

11 我的判断

先说贡献。本文最漂亮的地方，是把一件「大家天天用却从没拿来用」的事实——状态变量恰好是可交易资产价格——转化成一条硬的无套利约束 \(\mathbf{A}^D\mathbf{S}=\mathbf{S}\)，再借 Perron–Frobenius 把复原问题从「拼多个到期」坍缩成「读单一到期一行」。它既在理论上澄清了「SDF 灵活性是假象」，又在实证上让一个被判死刑的方法重新过关，还顺手与 Martin (2017) 的下界、与 SDF 长期分解握了手。这种「一个洞察打通三处」的整洁感，是好理论的标志。

再说对识别的担忧。其一，整套结论严重依赖「状态变量是可交易资产价格」这个前提，一旦状态变量非价格，额外约束消失，本文的优势也随之消失——它解的是一类特殊（但实证上最常见）的问题，而非 Ross 问题的一般化。其二，风险中性密度的尾部是拟合出来的（附录 A 的左右尾处理），而复原结论恰恰最看重尾部，密度检验「不被拒绝」也可能部分来自尾部设定的自由度，这点值得用不同尾部方法做更激进的稳健性检验。其三，「永久成分波动不矛盾」的调和虽自洽，但也意味着本文复原的暂时成分几乎肯定不是真实暂时成分——读者要清楚：它复原的是「在该框架口径下的物理概率」，而非无争议的「真实世界概率」。

最后说想看到什么。我最想看的是跨市场、跨标的的外部检验：把同一套公式搬到个股、行业指数、乃至信用标的上，看「单一到期复原」的优势是否稳健地复现；以及一个真正 out-of-sample 的尾部预测竞赛——让复原分布去和 GARCH、历史模拟、Martin 下界正面 PK 预测下个月的极端跌幅。如果在这些更严苛的擂台上它依然站得住，那这条「被忽略的无套利约束」就不只是优雅，而是真有用。

参考文献