期限溢价的另一半秘密：藏在消费、产出与利率的「波动」里

1 引言：一条曲线，三个谜

先抛一个老问题。买一张两个月到期的国债，和买一张五年到期的国债，预期收益为什么不一样？更让人头疼的是：这个差额——也就是「期限溢价」——还会随时间忽大忽小。

Fama（1984a,b, 1986）和 Shiller、Campbell、Schoenholtz（1983）把这件事钉成了两条经验事实：第一，国债的预期持有期收益是到期期限的函数；第二，所谓期限溢价（term premium，定义为多月期国债相对一个月期国债的预期超额收益）会随时间波动。换句话说，期限溢价既不为零、又随期限变、还随时间动。三个谜，挤在同一条收益率曲线上。

传统的解释可以追溯到 Hicks（1946）的流动性偏好理论：期限溢价是一种风险补偿，期限越长、暴露的风险越大，所以要更高的预期收益。但 Hicks 没说清——到底是什么风险？

本文要做的，就是把这个「什么风险」说具体。作者的主张干净利落：期限溢价是风险补偿，而这风险，就是债券回报对消费、工业产出、即期利率这些基本宏观状态变量冲击的暴露；并且，这些风险的「价格」会随状态变量的条件波动率一起涨落。（关于把预期收益绑到宏观周期上这一思路，可参见《强经济里收益反而低》。）

这听起来像又一个把 CAPM 往期限结构上硬套的尝试。但真正关键的一步，是它给出了一个别人没有的、可以被数据证伪的预测——比例性。这一点，我们后面会反复回来讲。

2 模型：从「冲击」到「波动率」的三级跳

整篇文章的骨架是一个三步推导。我们一步步走。

第一步，回报生成过程。 持有一张国债，名义现金流的时间和大小都是确定的，唯一的风险来自下一期的名义贴现率会不会偏离今天的预期。作者把多月期国债的回报写成对一组状态变量冲击的线性反应：

$$ H^\tau_{t+1} = E_t H^\tau_{t+1} + \beta^\tau_c\,UC_{t+1} + \beta^\tau_{ip}\,UIP_{t+1} + \beta^\tau_b\,UB_{t+1} + \beta^\tau_r\,UR_{t+1} + \beta^\tau_{ep}\,UEP_{t+1} + \sum_i \beta^\tau_i F_{it+1} + \varepsilon^\tau_{t+1} $$

这里 \(H^\tau_{t+1}\) 是 \(\tau\) 月到期债券在 \(t\) 到 \(t+1\) 之间的回报；\(UC\)、\(UIP\)、\(UB\)、\(UR\)、\(UEP\) 分别是消费、工业产出、货币基础、即期（一个月）利率、预期溢价的创新（unexpected change，即意料之外的部分）；那些 \(\beta\) 是因子载荷（factor loadings），也就是债券回报对各类冲击的敏感度，被假定不随时间变化。

第二步，给敏感度标价。 对于一个回报服从上式的资产，套利定价理论（Ross, 1976）和跨期资本资产定价模型（Merton, 1973）都告诉我们：预期超额收益与因子载荷线性相关。

$$ E_t P^\tau_{t+1} = E_t H^\tau_{t+1} - R_t = \sum_x \beta^\tau_x\,\lambda_{x,t} + A_{\tau t} $$

其中 \(\lambda_{x,t}\) 是状态变量 \(x\) 每单位敏感度的风险价格（price of risk），\(A_{\tau t}\) 是未识别因子的补偿。这一步把「期限溢价随期限变」解释成不同期限的债券对状态变量有不同暴露（\(\beta\) 随期限变），把「随时间变」解释成风险价格 \(\lambda\) 随时间变。

第三步，也是全文的胜负手——把风险价格绑到波动率上。 Breeden（1986）、Campbell（1987）、French-Schwert-Stambaugh（1987）这一批工作都把风险价格与状态变量的条件波动率联系起来。于是作者假设：

$$ \lambda_{x,t} = a_{x,t} + \gamma_x\,\sigma_t(X_{t+1}) $$

\(\sigma_t(X_{t+1})\) 是在 \(t\) 时刻、对 \(t+1\) 期状态变量 \(X\) 的条件标准差；\(\gamma_x\) 是定价参数（若 \(\gamma_x \neq 0\)，则该波动率被定价）。把它代回第二步，整理出全文要检验的期限溢价模型最终形式：

读懂这个方程，就读懂了这篇论文。期限溢价不再是一个神秘的常数，而是若干个「敏感度 × 定价参数 × 条件波动率」之和。

比例性预测从哪来？ 看 a2：波动率 \(\sigma_t(C_{t+1})\) 前面的系数是 \(\beta^\tau_c\gamma_c\)，而我们从第一步知道，同一个 \(\beta^\tau_c\) 也正是消费冲击 \(UC\) 前面的系数。所以模型说：一只债券对某个因子的冲击越敏感（\(\beta\) 越大），它对应的那个波动率系数也应当按比例地更大。写成检验形式（\(\tau\) 月期回归里，\(b,c,d,e,f\) 是五个波动率系数，\(g,h,i,j,l\) 是五个冲击系数）：

$$ b = k_c\,g,\quad c = k_{ip}\,h,\quad d = k_b\,i,\quad e = k_r\,j,\quad f = k_{ep}\,l $$

其中 \(k\) 是与期限无关的常数。这就是 Hicks 流动性偏好理论被现代化之后留下的、最锋利的一根牙齿：风险量（\(\beta\)）和风险价（\(\gamma\)）被同一组载荷拴在了一起。

3 识别与检验：三个嵌套的问题

把模型代进已实现溢价（realized premium）的定义，再做一个关键假设——时变截距 \(I_t\) 与所有自变量的协方差为零，把它的偏离塞进残差——就得到了可以跑的多元回归系统：

$$ P^\tau_{t+1} = a^\tau + b^\tau\hat\sigma_t(C_{t+1}) + c^\tau\hat\sigma_t(IP_{t+1}) + \dots + g^\tau UC_{t+1} + h^\tau UIP_{t+1} + \dots + l^\tau UEP_{t+1} + e^\tau_{t+1} $$

注意：回归里同时放进了事前的波动率和事后的冲击，十个自变量。作者的检验是三个层层递进的问题：

• 第一问：国债到底有没有暴露在状态变量风险下？ 即检验冲击系数 \(g,h,i,j,l\) 是否为零。若全为零，模型直接被毙，不必再做。
• 第二问：这些风险有没有被定价？ 即检验波动率系数 \(b,c,d,e,f\) 是否显著异于零。
• 第三问：比例性成不成立？ 即检验上一节那组 \(b=k_c g,\ \dots\) 的约束。

但这里埋着一个对模型很不利的隐患。Table 1 显示，各期限溢价之间高度正相关——相关结构呈一个倒 V 形的「帐篷」。作者诚实地指出：如果溢价是完全相关的，比例性命题就会平凡地成立（vacuously holds），证明不了什么。所以他专门又设计了一个「完全相关」的替代假设去对照检验。

4 数据：Fama 的溢价、Box-Jenkins 的冲击、移动平均的波动率

期限溢价数据来自 Fama，月度，期限 2-60 个月，一共 16 个期限溢价。主样本是 1964 年 8 月到 1979 年 3 月，N = 176；之所以从 1964 年起步，是因为再往前国债品种太少。全样本延伸到 1985 年 12 月。

先看一眼这些溢价长什么样。如表 1 所示，平均溢价随期限先升后降——在 6 到 9 个月达到峰值（P9 均值约 0.000746），再往长端反而掉下来，到 P48-60 甚至是负的（−0.000590）；而标准差则随期限单调递增（从 P2 的 0.00045 一路升到 P48-60 的 0.01079）。这条「先升后降」的均值曲线本身，就是后来一系列「期限溢价单调性」之争的素材（可参见《十个不等号的审判》）。

Table 1

冲击怎么估？每个状态变量 \(X\) 先用 Box-Jenkins（1976）单变量 ARIMA 拟合，残差就是事后冲击 \(UX_{t+1} = X_{t+1} - E(X_{t+1}\mid X_t, X_{t-1},\dots)\)。波动率怎么估？用一个简单到近乎朴素的移动平均估计量：

$$ \hat\sigma_t(X_{t+1}) = \left(\sum_{i=0}^{11} UX_{t-i}^2 \,/\, 12\right)^{1/2} $$

也就是过去 12 个月冲击平方的均值再开方。这个估计量被 Modigliani-Shiller（1973）、Pindyck（1984）等人用过，胜在直观。

Table 2

还有一个不能忽视的时间断点：1979 年 10 月美联储改了货币供给政策，溢价的均值和标准差随之发生明显的结构性漂移。所以实证里特意把 1979 年 10 月前后分开处理。

5 主要结果：冲击说一套，波动率说另一套

先看第一问——事后冲击。 结果相当干脆：

• 即期利率冲击 \(UR\) 和预期溢价冲击 \(UEP\) 的系数为负、且高度显著，t 值落在 −5 到 −20 之间。比如 3 个月期，即期利率系数 j = −1.49（t = −20.1），预期溢价系数 l = −0.81（t = −14.9）；到 24–30 个月期，j = −8.38（t = −7.7），l = −4.01（t = −5.0）。
• 货币供给和工业产出的冲击系数为负、多数在 5% 水平显著（如 9 个月期，工业产出 h = −0.303，t = −3.0）。
• 而消费冲击的系数统计上不显著（t 值只有 0.1、−0.0、0.7、0.4）。

多元检验把这种印象坐实了：联合检验「利率类冲击不影响回报」（\(j=0, l=0\)）的 χ² 统计量是 515.37（30 个自由度），「宏观冲击没有残余解释力」（\(g=h=i=0\)）是 72.97（45 个自由度），两个都在 1% 水平被拒绝。国债确实暴露在状态变量风险下。第一问，过关。

接着，一个自然的问题是——这些风险被定价了吗？ 把十个自变量一起塞进回归，结果却令人沮丧：绝大多数波动率系数都不显著。诊断指向那个老问题——多重共线性。如表 2 所暗示的，工业产出和货币的波动率，与即期利率、预期溢价的波动率信息高度重叠，导致这些回归元的标准误被吹大，谁都测不准。

为绕开这道坎，作者改跑两个「精简系统」：RC 系统（只留即期利率与消费的波动率）和 IMC 系统（只留工业产出、货币基础与消费的波动率）。消费波动率之所以两个系统都在，是因为它和其他波动率几乎不相关，不背共线性的锅。

于是反转出现了。 在这场波动率的混战里，唯一始终为负、始终显著的，是消费的局部波动率 \(\hat\sigma_t(C)\)。

这是全文最耐人寻味的一笔。回想第一问：消费的冲击对国债回报毫无显著影响——按一阶矩看，消费像是和期限溢价无关的。可一旦换到事前的二阶矩，消费却成了唯一稳定定价期限溢价的状态变量。消费不是不重要，它只是通过波动率、而非通过冲击起作用——这恰恰是 Breeden（1979, 1986）消费 CAPM 在期限结构里留下的指纹。一个看似被一阶矩判了死刑的变量，被二阶矩救了回来。

不过作者在第 6、7 节也很坦白：本文采用的这些条件标准差，并不能完整地解释预期期限溢价。 模型抓到了方向，却没抓全。

6 文献脉络：从 Hicks 的直觉到消费的二阶矩

把这条线索捋一遍，会看到一个「直觉 → 框架 → 具体化」的演进。

最早是 Hicks（1946）的流动性偏好理论——期限溢价是风险补偿，但「风险」语焉不详。接着，现代资产定价给了它框架：Merton（1973）的跨期 CAPM 和 Ross（1976）的套利定价理论，把预期超额收益写成对因子载荷的线性函数。然后，Breeden（1979）把消费推上前台，给出消费 CAPM；他在 1986 年的综合性工作里进一步推导了期限溢价与消费条件方差的关系。

与此同时，Fama 这条经验线索在并行推进：Fama（1976）首次把期限溢价与即期利率的局部波动率联系起来——本文作者把自己明确定位为 Fama（1976）的延伸；Fama（1984a,b）则把「期限结构里有什么信息」「债券回报里的期限溢价」做成了经验事实。再往后，French-Schwert-Stambaugh（1987）发现股市预期溢价与股市收益的条件标准差正相关，Campbell（1987）把对冲组合的预期收益与其条件方差挂钩——「风险价格随条件波动率变」这个想法，到 1987 年前后已经成形。

本文站在这个交汇点上：它把 Fama（1976）的「只有即期利率波动率」扩展成「消费 + 产出 + 利率三个波动率」，并且新增了一个别人没有的预测——波动率系数与冲击系数成比例。它的贡献不在某个惊人的数字，而在于把流动性偏好理论翻译成了一个可证伪的、结构化的检验。

7 评论与延伸（Q&A + 研究方向）

(a) 几个可能的疑问

Q：这篇论文的核心，和「预期假说」到底差在哪？

预期假说说期限溢价为零（或为常数）。本文恰恰相反：它承认溢价非零、随期限变、随时间变，并把这三者统一解释成「对宏观状态变量风险的补偿，且风险价格随条件波动率涨落」。它要解释的，正是预期假说解释不了的那部分。

Q：既然消费冲击不显著，凭什么说消费风险被定价？

这正是全文最反直觉之处。一阶矩（冲击）上消费与回报无关，但二阶矩（事前波动率）上，消费波动率是唯一稳定显著的定价因子。这与消费 CAPM 一致——投资者关心的是消费风险的「量」，而国债可能是对冲这种风险的资产，所以它体现在波动率的定价、而非冲击的敏感度上。

Q：比例性预测可信吗？会不会是「平凡成立」？

作者自己点破了这个软肋：如果各期限溢价完全相关，比例性会平凡地成立、什么都证明不了。表 1 显示溢价确实高度正相关（相关系数普遍在 0.5–1.0），所以他专门设计了「完全相关」替代假设来对照。这是诚实的处理，但也说明比例性检验的识别力先天受限。

Q：那个移动平均波动率估计量，会不会本身就有问题？

很可能。用过去 12 个月冲击平方的均值开方来代理事前条件标准差，既粗糙又会引入「生成回归元」（generated regressor）问题——表 2 里事前波动率与事后冲击的非零相关、波动率之间高达 0.74 的相关，都是隐患。多重共线性把大半个第二问的检验力吃掉了，根子就在这里。

Q：为什么把通胀直接省掉，这样做合理吗？

作者的理由是 \(UR\)（即期利率冲击）与预期通胀变化的相关系数超过 0.95，已经吸收了通胀冲击的主要影响。这是一个经验性的简化：在那个样本里成立，但它把「通胀不确定性」和「利率不确定性」合并成了一个，无法分辨二者各自的贡献。

Q：1979 年 10 月的断点，会不会污染结论？

这是个真问题。货币政策转向使溢价的均值和波动率都发生结构漂移，作者用前后分样本来应对。但这也意味着「波动率定价」的结论在不同货币政策体制下未必稳定——这恰恰是后续仿射期限结构模型（参见《利率曲线给你的「预言」总是反的》）要处理的核心难题。

(b) 几个可能的研究问题与提案

1. 把「波动率定价期限溢价」搬到公司债市场。 【经济故事】本文做的是国债；而公司债的期限溢价里，除了利率风险，还叠了信用风险。如果消费/产出的条件波动率能为国债期限溢价定价，那它能不能同样为信用利差的期限结构定价？机制上，衰退期消费波动率上升，违约风险也上升，二者可能共同推动信用利差走阔。 【可行性】高。数据有 TRACE 公司债成交、Compustat 基本面、宏观波动率可由 FRED 数据用同样的移动平均或 GARCH 估计。识别上可借鉴本文「冲击 + 波动率同回归」的设定，并用本文未处理的 GARCH 类条件方差替代粗糙的移动平均。

2. 用现代条件波动率估计量重做这篇论文。 【经济故事】本文的移动平均波动率估计是 1980 年代的权宜之计，多重共线性把第二问压垮了一半。换成 GARCH / 已实现波动率（realized volatility），消费、产出、利率波动率的定价系数会不会从「测不准」变成「测得准」？（条件波动率为何会扎堆、并被投资者定价，可参见《GARCH 从哪儿来？》。） 【可行性】高。纯复刻 + 方法升级，数据公开，工作量可控。难点在于「生成回归元」的标准误修正（Pagan, 1984 提供了框架）。

3. 外资持有人结构与期限溢价的波动率敏感度。 【经济故事】今天美债的边际买家里有大量外国官方与私人投资者。如果期限溢价是对国内宏观波动率的补偿，那么当边际定价者越来越「外国化」，溢价对美国本土消费波动率的敏感度会不会减弱、转而对全球或本币国波动率更敏感？ 【可行性】中。需要 TIC（Treasury International Capital）持有人数据与各国宏观波动率，识别上可用外资持有占比的外生变动（如指数纳入、储备政策变化）。挑战在于把「谁是边际买家」干净地识别出来。

4. 比例性约束的识别力修复。 【经济故事】本文坦言：溢价高度相关会让比例性平凡成立。能不能换一组低相关的资产（如不同发行人的零息债、或剥离了共同利率因子的「特质期限溢价」）来重新检验比例性，给这个预测真正的识别力？ 【可行性】中。需要构造正交化后的期限溢价分量，方法上不难，但「正交化是否恰当」本身会成为审稿人的靶子。

我的判断

贡献：这篇论文的价值不在实证结论多漂亮——事实上它的结论是「半成功」的：冲击层面利率类变量主导，波动率层面只有消费稳定显著，而且作者自承波动率无法完整解释溢价。它的价值在于把一个含混的直觉（期限溢价=风险补偿）锻造成了一个结构化、可证伪的框架，尤其是比例性这个把「风险量」和「风险价」用同一组载荷拴住的预测，思路上很漂亮。它也漂亮地展示了消费 CAPM 的指纹如何只在二阶矩里显形。

对识别的担忧：三处。其一，移动平均波动率估计太粗，且引入生成回归元问题，标准误未必可信；其二，多重共线性把第二问的检验力削掉一大半，RC/IMC 系统是补救，但「该信哪个系统」本身没有先验；其三，比例性在溢价高度相关时平凡成立，识别力先天不足，作者的「完全相关」对照是诚实的，却也暴露了这一软肋。

后续想看到的：用 GARCH / 已实现波动率重估这套模型，看消费波动率的负向定价是否稳健；把它推广到公司债与信用利差的期限结构；以及在 1979 年断点之外，检验波动率定价在不同货币政策体制下是否稳定。这篇 1989 年的论文像一张早期的草图——方向对了，但要等更好的波动率测量工具到位，才能知道这条线究竟能走多远。

参考文献

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