利率曲线给你的「预言」总是反的——一桩三十年的旧公案，与替它翻案的仿射模型
本文读的是 Dai & Singleton (2002, Journal of Financial Economics)：长期利率对收益率曲线斜率做回归，系数本该是 1，实际却是负的、而且越长越负——这被视作「预期假说」的滑铁卢。两位作者证明，这个看似反常的模式，恰恰能被一大类仿射期限结构模型 (affine term structure model) 在总体意义上「生」出来；而真正的胜负手，是允许风险的价格不只通过波动率、还直接由状态变量驱动。
1 一桩三十年的旧公案
先讲一个所有学利率的人都被它「噎」过一次的事实。
教科书里的预期假说 (expectations hypothesis) 说得很朴素：长期利率，无非是未来一连串短期利率的平均（再加一个不变的期限溢价）。如果这是真的，那么当今天的收益率曲线变陡——也就是长端利率 R^n_t 比短端 r_t 高出一截——市场就是在告诉你：未来短期利率要往上走，于是长债的收益率接下来应该上升、长债价格应该下跌。
把这个直觉写成一个回归，就是著名的 Campbell–Shiller 长端回归：
$$R^{n-1}_{t+1}-R^n_t=\text{const}+\phi_{nT}\,\frac{R^n_t-r_t}{n-1}+\text{residual}.$$
预期假说斩钉截铁地预言：在总体（population）里，斜率系数 \(\phi_n=1\)，对所有期限 \(n\) 都成立。
然后，数据笑了。
Dai 和 Singleton 用 Fama–Bliss 平滑后的美国国债数据（1970 年 2 月到 1995 年 12 月）把这条回归重做一遍，结果如下：3 个月期的系数是 -0.428，1 年期 -1.425，5 年期 -2.433，到了 10 年期（120 个月）已经是 -4.173。不仅是负的，而且期限越长，负得越离谱。
换句话说，曲线变陡时，长债收益率不但没像预期假说说的那样上升，反而平均而言下降了——而且越长的债，这个「反向」越夸张。市场给你的「预言」，几乎是系统性地反着来。
这就是所谓的预期之谜 (expectations puzzle)。Fama (1984a, 1984b) 和 Fama and Bliss (1987) 早就把它当成一组「程式化事实 (stylized facts)」抛给后人，等着动态期限结构模型来解释。三十年里，文献反复确认这个谜的顽固——Campbell and Shiller (1991) 在收益率上、Backus et al. (2001) 在远期利率上，都看到了同一张「时变风险溢价」的脸。
2 一个自然的问题：是不是模型太穷了？
接着，一个自然的问题是：这个谜，到底「谜」在哪里？
预期假说之所以预言 \(\phi_n=1\)，前提是风险溢价是常数。一旦风险溢价会随时间变化，且恰好和曲线斜率正相关，那么 \(\phi_n\) 偏离 1 就毫不奇怪了。这一点 Fama 当年就猜到了。
但真正悬而未决的，是一个更狠的问题：把这些历史模式放在一起，它们对那些学界和业界天天在用的、更丰富的动态期限结构模型 (dynamic term structure model, DTSM) 来说，到底还算不算一个谜？
Dai 和 Singleton 的答案是：不算。而且他们把「不算」这件事，拆成了两个互相独立、却必须同时满足的要求。他们给这组要求起了个名字叫 LPY（Linear Projections of Yields，收益率的线性投影）：
- LPY(i)：模型在总体意义上算出来的系数 \(\phi_n\)，要能复现表 1 里那条「越长越负」的下行曲线。这是说，模型在真实测度 P 下，把收益率的历史动态描述对了。
- LPY(ii)：把收益率变化做一次「风险溢价调整」之后，新的投影系数 \(\phi^R_n\) 应当回到
1。这是说，模型在用于定价的风险中性测度 Q 下，把动态也描述对了。
这两件事并不等价。LPY(i) 管的是真实世界里收益率怎么走，LPY(ii) 管的是定价（贴现）对不对。一个模型能同时过这两关，是一个强得多的筛子——这正是本文用来淘汰模型的利器。
3 识别这件事的「半张纸」：风险溢价调整投影
但真正关键的一步，在于一个几乎不含任何经济学、却极其好用的代数恒等式。
记 \(n\) 期债的一期超额收益为 \(D^n_{t+1}\equiv \ln(P^{n-1}_{t+1}/P^n_t)-r_t\)，其条件期望（即期望超额持有期收益）为 \(e^n_t\equiv E_t[D^n_{t+1}]\)。从最基本的价格—收益率关系出发，可以写出
$$e^n_t=-(n-1)\,E_t\!\left[R^{n-1}_{t+1}-R^n_t\right]+(R^n_t-r_t).\tag{1}$$
把它挪一下项，就得到全文的「地基」：
$$E_t\!\left[R^{n-1}_{t+1}-R^n_t+\frac{1}{n-1}D^n_{t+1}\right]=\frac{1}{n-1}(R^n_t-r_t).\tag{2}$$
注意：Eq. (2) 没有任何经济内容——它哪怕去掉期望算子都成立，纯粹是定义。经济学是后面才加进来的。
然后，把已实现超额收益 \(D^n_{t+1}\) 拆成一个「纯溢价」部分 \(D^{*n}_{t+1}\) 和一个「预期修正」部分：
$$D^n_{t+1}=D^{*n}_{t+1}+\sum_{i=1}^{n-1}\left(E_t r_{t+i}-E_{t+1}r_{t+i}\right),\tag{7}$$
其中
$$D^{*n}_{t+1}=-(n-1)(c^{n-1}_{t+1}-c^{n-1}_t)+p^{n-1}_t.\tag{8}$$
这里 \(c^n_t\) 是收益率期限溢价，\(p^n_t\) 是远期期限溢价（定义见原文 Eq. (4)–(5)）。妙处在于：括号里那串预期修正项的条件均值为零，所以条件期望超额收益只取决于纯溢价部分：
$$e^n_t=E_t[D^{*n}_{t+1}]=-(n-1)E_t[c^{n-1}_{t+1}-c^{n-1}_t]+p^{n-1}_t.\tag{9}$$
于是反转出现了。把 Eq. (2) 里的 \(D^n_{t+1}\) 换成 \(D^{*n}_{t+1}\)，得到
$$E_t\!\left[R^{n-1}_{t+1}-R^n_t+\frac{1}{n-1}D^{*n}_{t+1}\right]=\frac{1}{n-1}(R^n_t-r_t).\tag{11}$$
这就是 LPY(ii) 的来源：只要把收益率变化用模型算出的纯溢价 \(D^{*n}_{t+1}/(n-1)\) 修正一下，再投影到斜率 \((R^n_t-r_t)/(n-1)\) 上，系数就精确地等于 1。预期假说阵营梦寐以求的那个「1」，并没有消失，它只是被时变风险溢价挪走了；你把溢价还回去，它就回来。
这半张纸的漂亮之处在于：它把一个含糊的直觉——「考虑了风险溢价，斜率系数就该回到 1」——变成了一个精确的命题。剩下的全部工作，是问：一个具体的 DTSM 算出来的 \(D^{*n}_{t+1}\)，到底准不准。
4 模型：仿射世界里的风险价格
要回答「准不准」，就得把 \(c^n_t\)、\(p^n_t\) 这些溢价从一个真正的模型里算出来。这就轮到仿射模型 (affine DTSM) 登场了。
4.1 设定
设瞬时短期利率是状态向量 \(Y(t)\) 的仿射函数：
$$r(t)=a_0+b_0'\,Y(t),$$
而 \(N\) 维状态向量 \(Y(t)\) 在真实测度 \(P\) 下服从仿射扩散：
$$dY(t)=\kappa(\theta-Y(t))\,dt+\Sigma\sqrt{S(t)}\,dW(t),\tag{13}$$
其中 \(W(t)\) 是 \(N\) 维独立标准布朗运动，\(S(t)\) 是对角矩阵，第 \(i\) 个对角元为
$$[S(t)]_{ii}=\alpha_i+\beta_i'\,Y(t).\tag{14}$$
这套结构的好处是「闭合」：在仿射设定下，所有零息债价格都有解析形式 \(P^\tau_t=e^{-A(\tau)-B(\tau)'Y_t}\)，所有收益率、远期利率都是状态 \(Y_t\) 的仿射函数。
4.2 风险的价格——全文的心脏
用于定价的风险中性动态，是把 Eq. (13) 的漂移减去 \(\Sigma\sqrt{S(t)}\,\Lambda(t)\) 得到的，\(\Lambda(t)\) 就是市场风险价格 (market prices of risk) 向量。
标准的仿射模型（如 CIR 一系）把这个向量限定成「正比于波动率」：\(\Lambda(t)=\sqrt{S(t)}\,\lambda_0\)。本文真正的一招，是跟随 Duffee (2001)，把它扩展成下面这个形式——这也是整篇文章的心脏：
这里 \(\lambda_0\) 是 \(N\times1\) 向量，\(\lambda_Y\) 是 \(N\times N\) 常数矩阵，\(S^{-}(t)\) 是对角矩阵，前 \(m\) 个对角元为 \(0\)、其余为 \(1/(\alpha_i+\beta_i'Y(t))\)。\(\lambda_Y=0\) 就是老式设定。
为什么这一项如此致命？看瞬时期望超额收益：
$$\mu_e(\tau,t)=-B(\tau)'\,\Sigma\sqrt{S(t)}\,\Lambda(t).\tag{17}$$
\(\Lambda(t)\) 的具体形状，直接决定了 \(\mu_e\) 随时间怎么变，从而决定了模型能不能匹配 LPY。在老式设定里，\(\Lambda(t)\propto\sqrt{S(t)}\)，风险溢价只能通过波动率变化——而波动率（在仿射结构里）天生是「越高越往均值回」的正向过程，它撑不起那条「越长越负」的 \(\phi_n\) 曲线。加上 \(\lambda_Y\neq0\) 这一项，风险溢价就能直接随状态变量、甚至随曲线斜率自由地摆动。
4.3 一个被「可容许性」逼出来的取舍
但天下没有免费的午餐。这里有一个极漂亮的张力：波动率因子越多，风险价格的自由度就越小。
记 \(m\) 为驱动条件方差的状态变量个数，对应模型子族 \(A_m(N)\)。可容许性 (admissibility，即模型要能生成良好定义的债券价格）要求：
- \(m=N\)（CIR 式模型，所有因子都驱动波动率）：可容许性强制 \(\lambda_Y=0\)，风险溢价被锁死成「正比于波动率」。
- \(m=0\)（高斯模型，没有因子驱动波动率）：\(\lambda_Y\) 完全不受约束，风险价格的灵活性达到最大。
- \(0
于是一个先验的猜想浮出水面：高斯模型有最大的因子相关性和条件均值灵活度，应该最擅长匹配 LPY；而 CIR 式模型在风险价格和因子相关结构上最受束缚，可能表现最差。这个猜想，被接下来的实证狠狠地证实了。
5 三因子模型的「考场」
实证聚焦三因子模型——这有现实依据：Litterman and Scheinkman (1991) 发现，三个主成分就能解释美国国债收益率 90% 以上的变动（水平、斜率、曲率）。
数据：312 个月度观测，美国国债零息收益率，期限为 6 个月、2、3、5、7、10 年，样本期 1970–1995。6 个月、2 年、10 年三个期限假定无测量误差，其余期限的拟合误差是均值为零、独立同分布的正态噪声。这个设定逼着模型自己去捕捉收益率的全部可预测性，不许借测量误差「作弊」。
四个标准模型 \(A_0(3),A_1(3),A_2(3),A_3(3)\) 全部用全信息极大似然 (full-information ML) 估计，然后比较模型隐含的总体系数 \(\phi_n\)、\(\phi^R_n\) 与它们的样本对应值。
结论干净利落：
- 高斯模型 \(A_0(3)\)（\(m=0\)）匹配 LPY 出奇地好。 这一点很惊人——标准的高斯仿射模型（Vasicek, 1977）有常数风险价格，反而蕴含 \(\phi_n=1\)（即预期假说成立）。能成功的，必然是本文那个状态依赖的风险价格设定。
- CIR 式模型 \(A_3(3)\)（\(m=3\)）完全无法匹配 LPY。 因为它的风险溢价被钉死成正比于波动率，只能靠时变波动率来制造时变溢价，而这远远不够。这与 Roberds and Whiteman (1999) 的发现互补——他们证明一、二因子 CIR 模型连 LPY(i) 都匹配不了；也与 Backus et al. (2001) 互补——他们解析地证明，单因子 CIR 要想匹配 LPY(i)，就必须隐含一条与历史经验相反的、向下倾斜的平均远期利差期限结构。
- 中间情形 \(0
Table 3: for models A ð3Þ and A ð3Þ; where the actual and risk-neutral (in
如表 3 所示，对能匹配的模型，风险溢价调整后的样本系数 \(\phi^R_n\) 在统计上与 1 无法区分（LPY(ii) 通过），而未调整的总体系数 \(\phi_n\) 则复现了那条「越长越负」的下行曲线（LPY(i) 通过）。一正一负，两条线各归其位。
6 文献脉络
这条研究的来龙去脉，值得用一段话讲清楚。
源头是预期假说本身，以及 Vasicek (1977) 和 Cox, Ingersoll and Ross (1985) 两篇奠基性的均衡期限结构模型——前者给出高斯式、后者给出平方根（CIR）式的利率动态。紧接着是 Fama (1984a, 1984b) 和 Fama and Bliss (1987)，他们用远期利率和超额收益的回归，把「时变风险溢价」这组程式化事实摆上了桌面；Campbell and Shiller (1991) 则在收益率回归里把那条「越长越负」的曲线钉成了经典。
随后，Duffie and Kan (1996) 给出了仿射模型的一般刻画，Dai and Singleton (2000) 在此基础上做了系统的「可容许性」分类（即 \(A_m(N)\) 子族），为本文搭好了脚手架。真正点燃本文那一招的，是 Duffee (2001)：他提出把市场风险价格从「正比于波动率」扩展为「essentially affine」，让因子直接进入风险价格。本文（2002）把这块拼图嵌进 LPY 的框架，用全信息 ML 在三因子模型上做了一次正面的、量化的检验，并给出了那个干净的结论：高斯式赢，CIR 式输，胜负全在风险价格的自由度。
值得一提的是，Backus et al. (2001) 和 Bekaert et al. (1997a) 还顺手堵死了一条退路——他们证明 \(\phi_{nT}\) 的负值模式不能归因于小样本偏差；恰恰相反，小样本偏差会让样本系数更不负，反而强化了这个谜。所以本文要解释的，是一个真实的总体现象，而非统计幻觉。
（关于「定价」和「预测」为什么在期限结构模型里如此难以兼得，可参见《把利率曲线的「定价」和「预测」装进同一个模型，为什么这么难？》；关于在仿射模型里给风险价格「松绑」的另一种尝试，可参见《给「风险的价格」松一道绑》；至于通胀如何写歪整条曲线、又如何与预期假说纠缠，可参见《通胀这道暗税，如何写歪了整条利率曲线》。）
7 评论与延伸（Q&A + 研究方向）
(a) 几个可能的疑问
Q：模型能「生成」这个谜，是不是等于说预期假说被推翻了？
不完全是。本文证明的是：\(\phi_n\) 是负的、越长越负，这件事与一大类（并非全部）仿射模型相容，因此从「这是否反常」的角度看不再是谜。但 LPY(ii) 同时说明，把时变风险溢价精确还回去后，那个「1」依然在——所以预期假说的核心直觉（长率是未来短率的预期加溢价）并没有错，错的是「溢价不变」这个附加假设。
Q：LPY(i) 和 LPY(ii) 既然都来自同一套代数，为什么说它们「不等价」？
因为它们约束的是不同测度下的动态。LPY(i) 用总体 \(\phi_n\)（Eq. 18）刻画真实测度 \(P\) 下收益率怎么走；LPY(ii) 用风险调整后的 \(\phi^R_n\)（Eq. 19）刻画风险中性测度 \(Q\) 下的定价。一个模型可能把 \(P\) 下的均值匹配得很好，却把 \(Q\) 下的溢价动态搞错——于是 \(\phi_n\) 对了、\(\phi^R_n\) 偏离 1。要两关同过，是强得多的要求。
Q：为什么 CIR 式模型「输」得这么彻底？
因为可容许性把它的风险溢价锁成正比于因子波动率（\(\lambda_Y=0\)）。它唯一能让溢价时变的渠道是波动率本身的涨落，而仿射波动率过程的形状撑不起那条「越长越负」的曲线。换句话说，它的失败不是参数没调好，而是结构上就没有那个自由度。
Q：高斯模型没有随机波动率，凭什么反而赢？
关键不在波动率，而在风险价格。标准高斯模型（Vasicek）有常数风险价格，恰恰蕴含预期假说 \(\phi_n=1\)，根本生不出谜。本文的高斯模型之所以能匹配，是因为它用了状态依赖的风险价格 \(\lambda_Y\neq0\)——让斜率这类因子直接驱动溢价。是这个设定、而非随机波动率，在做功。
Q：会不会是测量误差或拟合收益率在「帮忙」？
作者刻意堵死了这条路。他们假定 6 个月、2 年、10 年三个期限无测量误差，且误差序列独立，从而逼模型自己捕捉全部可预测性。而且他们坚持匹配总体 \(\phi_n\)（而非用拟合收益率算出来的 \(\phi_n\)），后者是一个更苛刻的要求。
Q：这个谜会不会只是小样本偏差？
不是。Bekaert et al. (1997a) 和 Backus et al. (2001) 已证明，小样本偏差会让 \(\phi_{nT}\) 更不负，方向与谜相反，因此偏差只会强化而非制造这个谜。
(b) 几个可能的研究问题与提案
1. 把同一套 LPY 框架搬到公司债。 【经济故事】公司债的超额收益里既有利率风险溢价、也有信用风险溢价。如果对国债收益率做 Campbell–Shiller 回归会得到「越长越负」，那么对信用利差做同样的回归会得到什么？信用风险的时变溢价是否也能用一个「状态依赖风险价格」的仿射违约强度模型来匹配？ 【可行性】中。数据可用（TRACE 成交、Merrill/ICE 利差曲线），仿射违约强度模型也成熟；难点在于把流动性溢价从信用溢价里干净地剥出来，否则 LPY(ii) 的「调整」会混入噪声。
2. 外资持有结构与期限溢价的时变。 【经济故事】本文把时变风险溢价归因于状态依赖的风险价格，但「状态」是谁定的？如果一国国债的边际持有人结构在变（如外资占比上升），风险价格本身可能发生位移。能否把「外资持有份额」作为一个可观测状态变量，放进 \(\Lambda(t)\) 里检验它对 \(\phi_n\) 的解释力？ 【可行性】中偏低。需要高频的持有人结构数据（如 TIC、央行托管数据），且识别上要处理「外资流入」与「利率预期」的内生纠缠，可能需要一个外生的需求冲击（如指数纳入、储备再平衡）。
3. 风险中性 vs. 真实测度的「分裂」作为危机预警。 【经济故事】LPY(i) 管 \(P\)、LPY(ii) 管 \(Q\)。如果在某些时段模型只能过一关，是否意味着定价（\(Q\)）暂时脱离了真实动态（\(P\)）——即市场对风险的定价「失真」？这种分裂能否提前预警流动性危机？ 【可行性】高。在本文的估计框架上做滚动窗口，分别追踪 \(\phi_n\) 与 \(\phi^R_n\) 的样本偏离即可，数据和方法都现成；挑战在于把「统计偏离」与「经济意义上的失真」对应起来。
4. 货币政策反应函数与风险价格的同一性。 【经济故事】作者提到，他们的风险溢价形式与货币当局设定政策时用的利率反馈规则相容。能否把一个显式的 Taylor 规则嵌进仿射模型，检验「政策规则的参数变化」是否就是 \(\lambda_Y\) 变化的微观来源？ 【可行性】中。理论上可做（宏观-金融仿射模型已有不少），识别上需要政策规则的结构性断点（如 Volcker、危机后 ZLB），样本跨度要足够长。
8 我的判断
这是一篇「以退为进」的论文。它没有去发明一个更花哨的模型来「打败」预期之谜，而是反过来证明：那个让无数人困惑的负系数，其实是一大类标准模型的自然产物——只要你给风险的价格松对了那一道绑。把含糊的「考虑风险溢价就能恢复 1」这句话，提炼成 LPY(i)/LPY(ii) 这一对可检验、且互相独立的命题，是本文最干净利落的贡献；而「波动率自由度与风险价格自由度此消彼长」这个张力，则是它留给后续整个仿射文献的一份遗产。
对识别，我有两点保留。其一，结论高度依赖模型设定与估计准则——作者自己也坦承，哪一关（LPY(i) 还是 LPY(ii)）被匹配上，部分取决于 ML 估计时哪些矩被拟合得好。换言之，这更接近「模型相容性」的证据，而非「模型为真」的证据。其二，全文是总体层面的论断，用一段 1970–1995、单一国家、单一资产类别的样本去支撑，外部有效性需要谨慎——尤其是 2008 年后利率触及零下界、量化宽松大举改变持有人结构之后，那条「越长越负」的曲线是否还稳定，本身就是一个值得重做的问题。
后续我最想看到的，是把这套 \(P\)/\(Q\) 双测度的检验，从国债搬到信用市场和有外资深度参与的主权债市场，看看「状态依赖的风险价格」这把钥匙，能不能打开另外几扇门。
参考文献
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