十个不等号的审判：当 t 值说『不单调』，联合检验却说『证据不足』

1 一个看上去铁证如山的反例

先从一句几乎写进所有固定收益教科书的话说起：流动性偏好假说认为，国债的预期收益会随着剩余期限的拉长而单调递增。直觉很朴素——你把钱锁得越久，就越要为这份「不能随时变现」的麻烦索要补偿。于是期限溢价（term premium）应当是一条不回头的上坡路。

可 Fama（1984）端出了一盆冷水。他在国库券（T-bill）的期限溢价上做了一连串检验，发现这条「上坡路」走到九个月附近就到了顶，然后开始往下掉。最扎眼的一组数字是：九、十、十一个月的平均溢价分别是 0.089%、0.057%、0.064%——先跌再小幅回升，活脱脱一个「驼峰」。预期收益不是单调递增的。流动性偏好假说，似乎被一组个体 t 检验当场判了死刑。

接着，一个自然的辩护出现了。McCulloch（1987）替这条上坡路喊冤：他盯住了 1964–1972 年。那几年里美国财政部专门搞过九个月期国库券的拍卖，结果九月期券的买卖价差（bid-ask spread）只有它前后邻居的大约一半。价差小，意味着用价差倒算出来的收益被系统性地拧动了——从九个月到十个月那一跌（0.082% → 0.027%），很可能是这点交易成本的人为假象，而不是真的「预期收益下降」。

这是一个相当有说服力的辩护。但本文的三位作者立刻指出了它的软肋：这条辩护堵不住所有的洞。

2 一个被忽略的细节：单调，是一整串不等式

McCulloch 的论证只解释了「十个月对九个月」那一处下跌。可单调性要求的远不止这一处。它不仅要求十个月溢价 ≥ 九个月溢价，还要求十一个月 ≥ 九个月、十一个月 ≥ 十个月……一路排下去。

回到 Fama 那组数字：0.089%（九月）、0.057%（十月）、0.064%（十一月）。就算你接受 0.057% 是九月期价差作祟的假象，把它一笔勾销，你也没法解释从 0.089% 跌到 0.064% 的那一截——十一个月明明比九个月还低。而且这道「十一月低于九月」的下跌，不只出现在 1964–1972，连 McCulloch 没法用价差异常来搪塞的 1973–1982，乃至 Fama 考察的整段 1964–1982，都顽固地存在。

于是，至少从单个 t 统计量来看，预期收益确实不像在单调递增。McCulloch 那个看似漂亮的辩护，反倒像个稻草人。

3 你用错了尺子：相关性、抽样误差，与一道被问错的题

接着，作者把矛头转向了「检验方法」本身。

设想一下：哪怕预期收益真的在单调递增，在一个有限的样本里，由于纯粹的抽样误差，期限溢价的序列里也难免会冒出几处零星的下跌。问题来了——当我们看到「十一个月减九个月」是个显著的负数时，这个「显著」该拿什么尺子来量？

更麻烦的是，不同期限的溢价之间高度相关。九个月、十个月、十一个月的国库券，本就是一根收益率曲线上挨得很近的三个点，它们的溢价几乎是手拉着手一起动的。这种强相关，让 Fama 那张「逐个看 t 值」的表格变得极难解读：你以为自己在看十个独立的证据，其实它们彼此纠缠。

Fama 和 McCulloch 都意识到了这个多重检验的问题，于是都用了 Bonferroni 型的调整去校正显著性水平。但本文作者跟着 Wolak（1989）指出：当参数估计量之间高度相关时，Bonferroni 型方法去检验多个不等式约束，有着严重的缺陷——它过于保守，几乎注定要把人引向错误的方向。

那换个常规思路呢？比如用 Hotelling \(T^2\) 去做联合检验？也不行。\(T^2\) 检验的是各期限溢价的相等（equality），而单调性要的是有序的不等式（inequality）。这是两道根本不同的题。

4 把「单调」翻译成十个不等号：不等式约束检验

这一节是全文的方法内核。作者跟随 Wolak（1989）、以及更早的 Gourieroux, Holly & Monfort（1982）和 Kodde & Palm（1986），把「期限溢价单调」这个经济命题，翻译成了一组可以被联合检验的不等式约束（inequality constraints）。

第一步：把溢价摆成向量。 跟随 Fama（1984），定义 \(H_{t,\tau+1}\) 为从 \(t\) 到 \(t+1\)、对一只在 \(t\) 时刻剩余期限为 \(\tau\) 的国库券所实现的连续复合收益；再令 \(H1_{t+1}\) 为一只剩余一个月的国库券所对应的连续复合收益。那么，期限为 \(\tau\) 的国库券的（已实现）期限溢价就是两者之差：

$$P_{\tau} = H_{t,\tau+1} - H1_{t+1}$$

把 \(T\) 期、\(N\) 个期限上的已实现溢价堆成一个 \((NT \times 1)\) 的向量 \(P\)，令 \(\alpha\) 为这 \(N\) 个溢价的均值向量。误差 \(\varepsilon\) 服从 \(N(0,\, \Sigma \otimes I_T)\)，其中 \(\Sigma\) 是各期限溢价之间的 \((N\times N)\) 协方差矩阵——它正是装下「相关性」的那个容器。

第二步：把单调写成一个矩阵。 流动性偏好假说要求 \(\tau\) 月溢价不低于 \((\tau-1)\) 月溢价。构造一个 \(([N-1]\times N)\) 的差分矩阵 \(R\)：

$$R = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

每一行做的事情，就是把相邻两个期限的均值溢价相减。于是「单调不减」这件事，被干净利落地写成了一组不等式。整个检验框架就是：

第三步：算出 Wald 统计量。 类比等式约束下的 Wald 检验，作者给出三个步骤：

• Step 1（无约束估计）：在不施加任何约束下，用广义最小二乘求出 \(\hat{\alpha}\)，其中权重用到 \(\Sigma^{-1}\) 的一个一致估计；
• Step 2（受约束估计）：在 \(R\alpha \ge 0\) 这道约束下重新最小化，得到受约束估计 \(\tilde{\alpha}\)；
• Step 3（构造统计量）：用无约束与受约束估计之间的差距，构造 Wald 统计量 \(W\)。直觉是：如果数据本就单调，强加「单调」这道约束几乎不会改变估计，\(\hat{\alpha}\approx\tilde{\alpha}\)，\(W\) 很小；只有当数据明显「不单调」、约束把估计硬生生拽动了一大截时，\(W\) 才会变大。

但真正微妙的地方在第四步——它的分布变了。

第四步：它不再是卡方分布。 这是不等式约束检验最反直觉、也最容易被忽视的一点。在等式约束下，Wald 统计量渐近服从卡方分布。可一旦约束变成不等式，Wolak（1989）等人证明：\(W\) 不再是一个干净的卡方，而是若干个自由度不同的卡方变量的加权和（即所谓 chi-bar-squared，\(\bar\chi^2\) 分布）：

$$\Pr\!\left[\,W \ge c\,\right] = \sum_{k=0}^{N-1} w\!\left(N-1,\; N-1-k,\; R\Omega R'/T\right)\,\Pr\!\left[\,\chi^2_{N-1-k} \ge c\,\right]$$

其中 \(c \in \mathbb{R}^+\)，而权重 \(w(N-1,\, N-1-k,\, R\Omega R'/T)\) 是「投影向量恰好有 \(N-1-k\) 个正元素」的概率。

直觉是什么？因为约束是「单边」的（只罚违反 \(\ge 0\) 的方向，不罚满足的方向），到底有几条约束「真正起作用」（active）本身就是随机的——这个随机的「起作用条数」决定了实际的自由度。于是分布成了一锅按概率混合的卡方。

这个权重只有在约束很少（\(N\le 5\)）时才有闭式解。而单调性检验要面对十来条约束，怎么办？作者给了两条出路：其一，Kodde & Palm（1986, 表 1）提供了上界和下界临界值——\(W\) 超过上界就拒绝、低于下界就不能拒绝，只有夹在中间时才需要老老实实去算权重；其二，Wolak（1989）给了一个蒙特卡洛模拟的近似算法：从均值为零、协方差为 \(R\hat\Omega R'/T\) 的多元正态里反复抽样，每次解一个 \(\min_{\tilde\delta\ge 0}(\alpha^* - \tilde\delta)'(R\hat\Omega R'/T)^{-1}(\alpha^* - \tilde\delta)\) 的投影问题，数一数 \(\tilde\delta\) 里有几个正元素，重复多次后用频率去逼近权重。

到这里，那把「合适的尺子」终于造好了。剩下的，就是把它架到数据上。

5 同一组数据，两个截然不同的判决

作者先复刻了 Fama（1984）的逐个 t 检验，并把样本一路延伸到 1990 年（数据上有一处小差别：他们不用十二个月期券，因为 Fama 对它的定义过于不可靠；剔除后反而多出了一些观测）。

逐个 t 值的故事，和 Fama 一脉相承：溢价在九个月附近见顶。比如 1964–1972 年，平均溢价从 0.082% 掉到 0.027%；1973–1981 年从 0.044% 掉到 0.024%。再看那张差分的 t 值表里最刺眼的几个数字——「十月减九月」（\(P_{10}-P_9\)）在 1964–1972 年是 -5.75、在整段 1964–1990 是 -3.97；而绕开那个有争议的九月期券、改看「十一月减九月」（\(P_{11}-P_9\)），1964–1972 年是 -2.38、整段是 -2.00，按 Bonferroni 调整后的临界值仍在 10% 水平上显著。看上去，McCulloch 的辩护真成了稻草人。

然后，反转出现了。

把同一组数据交给第 4 节那套不等式联合检验，结论几乎掉了个个儿。先看九条约束（\(P_\tau - P_{\tau-1}\ge 0,\ \forall\tau=3,\dots,11\)）的版本：

• 1964–1972：\(W = 33.06\)，p 值 0.0000，远超 5% 临界值 11.46——拒绝单调；
• 整段 1964–1990：\(W = 15.79\)，p 值 0.0131，也拒绝；
• Fama 的 1964–1982：\(W = 20.18\)，p 值 0.0023，拒绝；
• 但 1973–1981：\(W = 3.34\)，p 值高达 0.47；
• 1982–1990：\(W = 1.64\)，p 值 0.71——这两段都远远不能拒绝单调。

注意到没有：所有拒绝单调的样本段，都包含了 1964–1972 那个被 McCulloch 指认为异常的九月期券。那么，把这个有争议的「十月减九月」从约束里抽掉，换成 McCulloch 也认可的「十一月减九月」，会怎样？这就是八条约束（\(P_\tau - P_{\tau-1}\ge 0,\ \forall\tau=3,\dots,9\)；外加 \(P_{11}-P_9\ge 0\)）的版本：

• 1964–1972：\(W\) 从 33.06 暴跌到 4.00，p 值 0.3853；
• 整段 1964–1990：从 15.79 跌到 5.65，p 值 0.2470；
• 其余各段同样全部不能拒绝。

一旦剔掉那一个反常的月份，所有子区间、整段样本、以及 Fama 的样本段，全都无法拒绝单调性。最戏剧性的对照藏在 1964–1972：同一个样本里，「十一月减九月」的个体 t 值是 -2.38（按 Bonferroni 临界值仍显著），可九条不等式的联合检验只有 4.00，p 值 0.39——一点也不显著。

这就是全篇的核心命题：individual t-statistic 和 inequality-constraints test，可以从同一组数据里读出完全相反的结论。 那个「十一月低于九月」的负号，单独看像铁证，放进考虑了相关性的联合框架里，却完全消融在抽样误差中。McCulloch 的判断——我们在某些特定期限上压了太多的统计权重——经得起这场更严格的推敲。

6 文献脉络：当不等式走进金融计量

把镜头拉远，这篇短文其实站在两条线的交汇点上。

一条是利率期限结构这条经济学主线：流动性偏好假说是它的古典命题，Fama（1984）用国库券期限溢价给了它一记响亮的否证，McCulloch（1987）从微观结构（买卖价差）的角度替它辩护。这是一场关于「预期收益到底单不单调」的经验争论。（关于收益率曲线里那些反复出现的「反常」，可参见《利率曲线给你的「预言」总是反的——一桩三十年的旧公案，与替它翻案的仿射模型》与《利率曲线的「反常」，其实藏在最短的那两年里》。）

另一条是计量方法的暗线：如何在回归框架里检验「不等式」而非「等式」约束。Gourieroux, Holly & Monfort（1982）把似然比、Wald、Kuhn-Tucker 三种检验搬进了带不等式约束的线性模型；Kodde & Palm（1986）给出了不必计算复杂权重的上下界临界值；Wolak（1989）系统地处理了线性计量模型里的不等式约束检验，并提供了可操作的蒙特卡洛近似。

本文的贡献，正是把第二条线的工具，第一次干净地嫁接到第一条线的争论上：它没有提出新方法，也没有提出新理论，而是用对的工具，重审了一桩老公案，并顺手提醒整个领域——金融学里有大量「理论只给出参数符号、却不给出大小」的命题（预期收益与风险的排序、短期与长期收益行为的方向），它们天生就该用不等式约束检验，而不是被硬塞进等式检验或一串单独的 t 值里。这一点，与后来把不等式检验正式带进资产定价的工作一脉相承（参见《风险溢价真的永远为正吗？——一个把「不等式」搬进资产定价检验的新办法》）；而它对「逐个分组、逐个看显著性」这种检验设计的警惕，也呼应了后来对分组检验的反思（参见《十分位的迷信：分组检验里那个被忽略的 27%》）。

7 评论与延伸（Q&A + 研究方向）

(a) 几个可能的疑问

Q：不等式约束检验，和直接做一个『均值相等』的联合检验，到底差在哪？

差在「方向」。Hotelling \(T^2\) 这类检验问的是「这些溢价是不是全都相等」，它对「单调上升」和「单调下降」一视同仁——只要有差异就可能拒绝。而单调性是一个有序命题：\(\alpha\) 必须满足 \(R\alpha\ge 0\) 这串单边约束。正因为约束是单边的，统计量才不再是卡方，而是自由度随机的卡方混合（\(\bar\chi^2\)）。用等式检验去回答有序问题，等于答非所问。

Q：为什么 Bonferroni 调整在这里『不够好』，而不仅仅是『太保守』？

本文跟随 Wolak 强调：当参数估计量高度相关时，Bonferroni 型方法处理多个不等式约束会出大问题。期限溢价之间几乎是手拉手地动，Bonferroni 把它们当作近乎独立的多重检验去校正，既浪费了相关性里的信息，又会把显著性水平扭曲到难以解读。联合的 \(\bar\chi^2\) 检验则把整个协方差矩阵 \(\Sigma\) 直接吃进了分布里。

Q：结论是不是太依赖『1964–1972 那个月份确实异常』这个前提？

某种程度上是的，但论证的逻辑很稳健。作者并没有先验地断言它异常；他们的做法是两头都算给你看：含这个月份则拒绝单调，剔掉则全面不能拒绝。再叠加 McCulloch 给出的微观结构证据（那几年九月期券价差只有邻居的一半），「这处下跌是交易成本假象」就成了比「预期收益真的非单调」更经济、更自洽的解释。

Q：『不能拒绝单调』是不是就等于『证明了单调』？

不是，这是关键的措辞。文章的结论是流动性偏好假说「remains unrefuted」（未被推翻），而非「被证实」。不能拒绝，可能是因为单调确实成立，也可能是因为样本里相关性太强、检验功效（power）有限。作者的主张克制而准确：Fama 那记否证，在更合适的尺子下站不住脚——仅此而已。

Q：把样本延伸到 1990 年、剔掉十二个月期券，会不会是在『挑数据』？

这是合理的警惕，但改动方向是诚实的。十二个月期券被剔除，是因为 Fama 文件对它的定义（剩余期限超过「十一个月零十天」的最长券）过于不可靠；剔除后样本反而更大。而且关键结论在 1973–1981、1982–1990、整段、以及 Fama 原样本段上一致成立，并不靠某一段样本撑着。

Q：这套方法只能用在期限结构上吗？

不。作者在结尾特意点出：金融模型里大量命题是「理论给符号、不给大小」的——风险与预期收益的排序、短期与长期收益行为的方向等等。凡是把经济命题写成「一串排序」的地方，不等式约束检验都比等式检验或一堆单独 t 值更对路。这几乎是一份方法论邀请函。

(b) 几个可能的研究问题与提案

1）把 \(\bar\chi^2\) 不等式检验搬到公司债的期限溢价上。 - 【经济故事】公司债的信用利差与期限溢价同样被期望「随期限单调」，但违约风险、流动性、赎回条款会把这条曲线扭出各种形状。逐个期限看 t 值，几乎注定会撞上和 Fama 一样的「相关性陷阱」。 - 【可行性】高。TRACE 成交数据 + 同一发行人多期限债券即可构造期限维度的溢价向量，协方差矩阵 \(\Sigma\) 用面板估计，方法直接照搬本文 Step 1–4。识别上要小心同一发行人内部债券的强相关——而这恰恰是 \(\bar\chi^2\) 框架的长项。

2）用不等式检验重审『信用利差随评级单调』。 - 【经济故事】AAA→AA→A→BBB 的利差应当单调递增，这是信用定价的基石。但评级是粗粒度的，相邻档之间利差的「倒挂」时有发生，到底是真实的定价异象，还是抽样误差？ - 【可行性】中。数据易得（评级 × 期限的利差面板），但评级内部异质性大、样本随时间漂移，需要按行业/年份分层。识别策略与本文同构：把「单调」写成 \(R\alpha\ge 0\) 做联合检验，而非逐档比 t 值。

3）外资持有比例与债券流动性的「单调」关系。 - 【经济故事】一个流行猜想是：外资持有越多，流动性越好（或越差）——但这种「单调」断言往往只靠把样本分成几组、逐组看显著性得来，正是本文警惕的检验设计。 - 【可行性】中。需要持有人层面数据（如各国托管/申报数据）与债券流动性指标。把「按外资持有分位，流动性单调」改写成不等式约束的联合检验，能避免分组检验里那种「挑出一两组显著」的脆弱结论。

4）把蒙特卡洛权重换成现代自助法（bootstrap），做一次方法学复刻。 - 【经济故事】1992 年算 \(\bar\chi^2\) 权重要靠蒙特卡洛近似与查表；今天的算力下，能否用 wild bootstrap 直接逼近不等式约束 Wald 的有限样本分布，并比较其相对 Kodde-Palm 上下界的功效？ - 【可行性】高。纯计量复刻，数据可用原文国库券序列或任意期限结构数据。doable，且能给出一份「老方法 vs 新算力」的功效对照，对实证工作者有直接价值。

参考文献

• Fama, Eugene F. (1984). Term premiums in bond returns. Journal of Financial Economics 13(4), 529–546.
• Gourieroux, Christian, Alberto Holly & Alain Monfort (1982). Likelihood ratio test, Wald test, and Kuhn-Tucker test in linear models with inequality constraints on the regression parameters. Econometrica 50(1), 63–80.
• Kodde, David A. & Franz C. Palm (1986). Wald criteria for jointly testing equality and inequality restrictions. Econometrica 54(5), 1243–1248.
• McCulloch, J. Huston (1987). The monotonicity of the term premium. Journal of Financial Economics 18(1), 185–192.
• Richardson, Matthew, Paul Richardson & Tom Smith (1992). The monotonicity of the term premium: Another look. Journal of Financial Economics 31(1), 97–105.
• Wolak, Frank A. (1989). Testing inequality constraints in linear econometric models. Journal of Econometrics 41(2), 205–235.