利率会换挡：当「换挡」本身也成了一种被定价的风险

1 引言：一台只有一个挡位的车

先讲一个让人不太舒服的事实。

过去三十年里，研究短期利率的实证文献几乎众口一词：利率数据不是「一个世界」，而是「两个世界」——一个低波动、平静的世界，和一个高波动、动荡的世界，二者之间来回切换。这就是所谓的 机制转换 (regime switching) 模型，从 Hamilton (1989) 到 Gray (1996)，再到 Ang and Bekaert (2002a)，证据一篇比一篇扎实。

可是，到了给整条收益率曲线定价的 动态期限结构模型 (dynamic term structure model, DTSM) 这边，情况却完全相反。为了能写出零息债价格的闭式解、为了估计上的可行性，绝大多数实证 DTSM 仍然死守着「单机制」(single-regime) 的设定——整台车只有一个挡位，无论上坡下坡、晴天雨天，发动机的脾气始终如一（综述见 Dai and Singleton, 2003）。

于是一个很自然的张力就摆在那里：我们一边相信利率会换挡，一边却用一台只有一个挡位的车去给债券定价。 这不矛盾吗？

接着，一个更要命的问题是：就算我们勉强给模型装上两个挡位，「换挡」这个动作本身要不要标价？ 早期的几篇尝试——Naik and Lee (1997)、Bansal and Zhou (2002)——都给出了否定的答案：换挡是有的，但换挡的风险不被市场定价（用他们的话说，机制转移风险的市场价格为零）。Ang and Bekaert (2005) 在一个并行的研究里也做了同样的假设。

这篇论文的全部锋芒，就在于把这个被默认掉的假设撬开。

2 一个会换挡、又无套利的高斯框架

我们先把车的构造看清楚。

设有两个机制 \(s_t \in \{L, H\}\)（低波动 L、高波动 H），还有一个 \(N\) 维的风险因子向量 \(Y_t\)。作者的第一个聪明之处，是先在风险中性测度 \(Q\) 下把 \(Y\) 的分布参数化好，保证债券价格有闭式解；再在历史测度 \(P\) 那边叠上灵活的风险价格，去描述真实世界的收益率动态。

在风险中性世界里，给定当前机制 \(s_t = j\)，\(Y\) 服从

$$ Y_{t+1} = \mu^{Q}_{tj} + \Sigma^{j}\,\varepsilon_{t+1}, \qquad \varepsilon_{t+1}\sim N(0, I), $$

其中 \(\mu^{Q}_{tj} \equiv E^{Q}_t[Y_{t+1}\mid s_t=j]\)，而 \(\Sigma^j \equiv \Sigma(s_t=j)\) 是一个随机制变化、但不随时间变化的波动率矩阵。注意这里：机制内部是高斯的、波动率是常数，可一旦允许在两个机制间跳来跳去，\(Y_t\) 和债券收益率的条件波动率就变成了随时间变化的随机量——波动率的「随机性」是从换挡里长出来的，而不是硬塞进单个机制里的。

这里还藏着一个与主流不同的时点约定。Hamilton (1989) 的传统做法，是把 \(t+1\) 期状态的分布建立在未来机制 \(s_{t+1}\) 的条件上；而本文反其道而行，建立在当前机制 \(s_t\) 上。差别看似细微，含义却很关键：在作者的约定下，\(t\) 时刻所有的条件变量都落在投资者 \(t\) 时刻的信息集 \(I_t\) 里——投资者知道自己当下身处哪个机制。正是这一点，让定价核里各个部件有了一个干净、可解释的结构（下一节我们会看到）。

接着是定价。在三条假设（\(Y\) 的漂移结构、机制转移概率在 \(Q\) 下为常数、短率是 \(Y\) 的仿射函数）之下，零息债价格有了漂亮的指数仿射闭式解：

$$ D^{j}_{t,n} = e^{-A^{j}_n - B_n'\,Y_t}, $$

其中系数满足如下递推：

$$ A^{j}_{n+1} = \delta^{j}_0 + (\kappa^{Q}\theta^{Qj})'B_n - \tfrac{1}{2}B_n'\,\Sigma^{j}\Sigma^{j\prime}B_n - \log\!\Big(\sum_{k} \pi^{Qjk}\,e^{-A^{k}_n}\Big), $$

$$ B_{n+1} = \delta_Y + B_n - \kappa^{Q\prime}B_n, $$

初值 \(A^j_0 = 0,\ B_0 = 0\)。

请盯住 \(A^j_{n+1}\) 的最后那一项 \(-\log\big(\sum_k \pi^{Qjk}e^{-A^k_n}\big)\)。这就是「换挡」在债券价格里留下的指纹：今天身处机制 \(j\)，明天可能跳到机制 \(k\)，每条路径都按风险中性概率 \(\pi^{Qjk}\) 加权——债券价格因此是各个机制下「平行价格」的一个对数加权平均。换挡的可能性，被无套利条件干净地折进了贴现因子里。（关于「用一个递推把曲线拆成几个可解释部件」的思路，可对照《把利率曲线拆成三个人：稳态、习惯、与期待》。）

3 真正关键的一步：给「换挡」标个价

到这里，模型还只是「能换挡」。真正关键的一步，在于 \(P\) 和 \(Q\) 之间那座桥——Radon-Nikodym 导数 \((dP/dQ)_{t,t+1}\)。作者把它写成

$$ \Big(\frac{dP}{dQ}\Big)_{t,t+1} = e^{\,\Lambda_{t,t+1} + \frac{1}{2}\lambda_t'\lambda_t + \lambda_t'\Sigma_t^{-1}(Y_{t+1}-\mu^{Q}_t)}, $$

它由两个市场价格驱动：\(\lambda_t = \lambda(Y_t, s_t)\) 是 因子风险的市场价格 (market price of factor risk, MPF)，\(\Lambda_{t,t+1} = \Lambda(Y_t, s_t; s_{t+1})\) 是 机制转移风险的市场价格 (market price of regime-shift risk, MPRS)。由它倒推出的定价核就是全文的心脏：

为什么说这两个部件配得上「市场价格」这个名字？作者用两笔最干净的交易把它们「指认」了出来。

其一，因子风险的价格。 考虑一个支付 \(e^{-b'Y_{t+1}}\) 的证券，它只暴露在因子风险上。算一算它的对数预期超额收益（相对一期短率），结果是

$$ \log\frac{E_t[e^{-b'Y_{t+1}}\mid s_t=j]}{P^{j}_t} - r^{j}_t = -\,b'\Sigma^{j}\lambda^{j}_t. $$

由于 \(b'\Sigma^j\) 正是这个证券对因子风险的「暴露量」，那么 \(\lambda^j_t\) 就是每单位因子风险暴露所对应的超额收益——这正是「风险的价格」的定义。

其二，换挡的价格。 再考虑一个只在「明天跳到机制 \(k\)」时支付 1、否则支付 0 的证券。它的对数预期超额收益恰好等于

$$ \log\frac{E_t[\mathbf{1}\{s_{t+1}=k\}\mid s_t=j]}{P^{j}_t} - r^{j}_t = \Lambda^{jk}_t. $$

也就是说，\(\Lambda^{jk}_t\) 天然就是「从机制 \(j\) 换到机制 \(k\)」这一动作的风险价格。它与历史/风险中性转移概率之间有一个极其简洁的关系：

$$ \pi^{Pjk}_t = \pi^{Qjk}\,e^{\Lambda^{jk}_t}, \qquad \Lambda^{jk}_t = \log\frac{\pi^{Pjk}_t}{\pi^{Qjk}}. $$

这个式子的味道很值得品。早期文献令 \(\Lambda^{jk}_t = 0\)，等价于强行规定 \(P\) 测度与 \(Q\) 测度下的换挡概率一模一样。本文松绑之后，换挡概率在两个测度下可以系统性地不同，这个差额就是换挡风险的补偿。

更进一步，作者把因子风险价格设成 Duffee (2002) 的「本质仿射」(essentially affine) 形式，并允许它随机制变化：

$$ \lambda^{j}_t = (\Sigma^{j})^{-1}\big(\lambda^{j}_0 + \lambda^{j}_Y\,Y_t\big), $$

而历史测度下的换挡概率则采用 Gray (1996) 以来常用的 logistic 形式，让它直接依赖于潜在因子 \(Y_t\)（而非收益率本身）：

$$ \pi^{Pjk}_t = \frac{1}{1+e^{\eta^{jk}_0 + \eta^{jk}_Y Y_t}},\qquad \pi^{Pjj}_t = 1-\pi^{Pjk}_t,\quad j\neq k. $$

于是预期超额收益被自然地拆成两块：一块来自因子风险，一块来自换挡风险。这正是单机制模型（\(\Lambda^{jk}_t \equiv 0\)）结构性缺失的那一块。

4 数据与估计

数据是美国国债零息债收益率的月度序列，样本跨度约从 1970 年到 2005 年（即图 1 横轴覆盖的区间）。识别上的便利来自模型本身：因为有了闭式债券价格，作者可以写出收益率的解析似然函数，并据此做极大似然估计。

作者比较的是两个嵌套关系明确的模型：单机制三因子高斯模型 \(A_0(3)\)，与它的两机制对应物 \(A^{RS}_0(3)\)。后者在前者基础上多了三样东西——机制依赖的波动率矩阵 \(\Sigma^j\)、状态依赖的换挡概率 \(\pi^{Pjk}_t\)、以及被定价的换挡风险 \(\Lambda^{jk}_t\)。

5 主要结果：动荡时更动荡，平静时更平静

把两个模型隐含的预期超额收益画在同一张图上（论文图 1，分别针对 2 年期和 10 年期零息债），故事一下子就讲清楚了。

第一，动荡年代的大起大落，单机制模型几乎全都漏掉了。 \(A^{RS}_0(3)\) 的超额收益在三个时段出现剧烈的上下尖峰——1970 年代中期、1980 年代初的「美联储实验」(Fed experiment) 时期、以及 1980 年代中期；2 年期的摆幅大致在 \(\pm 2\%\)、10 年期在 \(\pm 4\%\) 量级。而单机制的 \(A_0(3)\) 对这些大摆动基本无动于衷。捕捉到这些摆动的核心，正是被定价、且状态依赖的换挡风险。

第二，平静的 1990 年代，反过来了。 这一次是 \(A_0(3)\) 的超额收益波动得远比 \(A^{RS}_0(3)\) 厉害。两机制模型之所以能在平静期「沉得住气」，是因为它允许因子风险溢价（以及背后的因子风险价格）在 H、L 两个机制里有截然不同的行为——这种差异在单机制模型里按构造是不存在的。

合起来一句话：省略换挡风险，会让单机制模型在机制转换的当口低估超额收益的波动，又在风平浪静时高估它。

第三，一个被「常数换挡概率」掩盖了的不对称。 在 \(\pi^P\) 为常数的传统文献里（如 Ang and Bekaert, 2002b；Bansal and Zhou, 2002），标准结论是 \(\pi^{PHH} > \pi^{PHL}\) 且 \(\pi^{PLL} > \pi^{PLH}\)——两个机制都很「黏」、都高度持续。本文用状态依赖的 \(\pi^P_t\) 复现了 \(E[\pi^{PLL}_t] > E[\pi^{PLH}_t]\)，但发现：虽然 \(E[\pi^{PHH}_t]\) 仍大于 \(E[\pi^{PHL}_t]\)，二者的差距远没有常数 \(\pi^P\) 模型里那么大。换句话说——高波动机制其实没有低波动机制那么持久。而且这个不对称在一个纯描述性（不定价）的收益率模型里同样存在，说明任何强加常数 \(\pi^P\) 的模型，都在系统性地遗漏利率周期里一个真实而重要的不对称。

第四，收益率波动率的「驼峰」是个低波动机制现象。 得益于因子相关结构上更高的灵活性，\(A^{RS}_0(3)\) 能复现债券收益率变动的波动率期限结构里那个著名的「驼峰」(hump)，并探讨它的机制依赖性——结果是这个驼峰基本上只在低波动机制里出现。这恰恰是 Bansal and Zhou (2002) 那类 CIR 式模型做不到的：相互独立、均值回复的因子设定，几乎强制所有机制下的波动率期限结构都向下倾斜。（关于「曲线拟合得好不代表波动率拟合得好」这个一再出现的教训，可参见《收益率曲线拟合得再好，也可能对波动率「充耳不闻」》 与《波动率到底藏在哪里？》。）

6 文献脉络

这条线索可以分成两支，本文做的是把它们「焊」在一起。

一支是机制转换的实证传统：Hamilton (1989) 开宗立派，把机制转换引入非平稳时间序列与商业周期分析；随后 Cecchetti, Lam and Mark (1993)、Gray (1996)、Garcia and Perron (1996)、Ang and Bekaert (2002a) 一路把它用到利率上，反复确认「两个世界」的存在。但这一支大多是描述性的——它告诉你利率会换挡，却不告诉你换挡的风险值多少钱。

另一支是无套利的仿射期限结构传统：Dai and Singleton (2000) 给仿射模型做了系统的分类与规范分析，Duffee (2002) 与 Dai and Singleton (2002) 证明「本质仿射」模型里足够持续而多变的因子风险溢价，能解开 Campbell and Shiller (1991) 的预期假说之谜，Ang and Piazzesi (2003) 又把宏观变量请进了无套利 VAR。这一支精于定价，却长期困在单机制里。

最接近本文的，是 Bansal and Zhou (2002)：他们也做带机制转换的 DTSM，但用的是近似的 CIR 式框架、假设 \(\pi^P\) 为常数、且不给换挡风险定价。本文的位置因此很清楚——它在一个高斯、可精确定价的框架里，同时放开了状态依赖的 \(\pi^P_t\)、被定价的换挡风险 \(\Lambda^{jk}_t\)、以及机制间灵活的因子相关结构，从而第一次能把「换挡风险」与「因子风险」对预期超额收益的贡献分开来看。

7 评论与延伸（Q&A + 研究方向）

(a) 几个可能的疑问

Q：所谓「给换挡定价」，和「让换挡概率随状态变化」是一回事吗？

不是。这是本文两个相互独立的松绑。让 \(\pi^P_t\) 随因子 \(Y_t\) 变化（状态依赖），刻画的是真实世界里换挡时机的可预测性；而给换挡定价（\(\Lambda^{jk}_t \neq 0\)），刻画的是投资者要为「踩中换挡」索取多少补偿，体现为 \(\pi^P_t\) 与 \(\pi^Q_t\) 系统性地不同。早期文献两者都关掉，本文两者都打开。

Q：机制内部波动率是常数，凭什么说模型有随机波动率？

关键在「换挡」本身。给定单一机制，\(Y\) 的条件方差 \(\Sigma^j\Sigma^{j\prime}\) 确实是常数；但因为下一期可能跳到另一个 \(\Sigma^k\) 不同的机制，按 \(P\) 测度算的条件方差就成了各机制方差的混合——它随当前状态、当前机制而变，也就是随机波动率。波动率的随机性是「机制混合」涌现出来的，不是塞进单个机制的。

Q：为什么坚持用「当前机制」而不是 Hamilton 的「未来机制」来设定条件分布？

为了让定价核可解释。在「当前机制」约定下，\(t\) 时刻的所有条件变量都在投资者 \(t\) 时刻信息集内（他知道自己此刻在哪个机制），于是 \(M_{t,t+1}\) 能干净地拆成短率、换挡风险价格、因子风险价格三块，和连续时间文献完全对得上。作者也指出，在连续时间极限下两种约定等价；在纯描述性模型里二者似然函数也几乎一致，差别只在某些初始条件概率的诠释上。

Q：「高波动机制不那么持久」这个结论，会不会只是模型设定逼出来的假象？

作者专门做了一道防御：同样的不对称在一个纯描述性、不涉及定价的收益率模型里也出现。这说明它不是定价结构的产物，而是数据里真实存在的特征——任何强加常数 \(\pi^P\) 的模型（无论描述性还是定价性）都会把它抹掉。

Q：和 Bansal–Zhou (2002) 到底谁优谁劣？

不是简单的优劣，两个模型在因子风险价格的设定上互不嵌套。Bansal–Zhou 是「完全仿射」的 CIR 式、风险价格正比于波动率，但允许 \(\delta^j_Y\)、\(\kappa^{Qj}\) 随机制变化，代价是只能用线性化做近似定价；本文是高斯「本质仿射」、能精确定价，代价是机制内波动率为常数。各有取舍。

Q：换挡风险被定价，对预期假说检验意味着什么？

意味着「整体上拒绝预期假说」可能掩盖了机制间的异质性。Duffee (2002) 和 Dai and Singleton (2002) 已说明持续而多变的因子溢价能解释 Campbell–Shiller 之谜；本文进一步暗示，预期理论的检验在 H 与 L 两个机制里可能给出不同的结果，笼统地做全样本检验会把这层结构平均掉。

(b) 几个可能的研究问题与提案

1. 把「换挡风险定价」搬到公司债与信用利差上。 【经济故事】信用利差里既有违约预期，也有风险溢价；如果违约/流动性环境本身在「平静—危机」两个机制间切换，那么「踩中危机切换」这件事就该有自己的价格，正如本文里换挡有价格一样。这能把信用利差的周期性补偿从纯违约部分里剥出来。 【可行性】中。需要 TRACE 成交数据 + 评级/违约数据，可在本文的两测度框架上叠一个信用机制；识别难点在于把违约机制与利率机制分开，月度数据下两层机制的同时识别会很吃样本。

2. 外资持有人是不是「机制切换」的推手？ 【经济故事】本文让 \(\pi^P_t\) 依赖潜在因子 \(Y_t\)，但没问这些因子背后是谁在交易。若外资在美债市场的持有份额本身就是高/低波动机制切换的前兆变量，那么「换挡概率」就有了一个可观测的经济驱动。 【可行性】中。数据可用 TIC（美国国际资本流）月度持有 + 本文的收益率因子；识别上可把外资份额放进 logistic 的 \(\eta^{jk}_Y\) 设定里检验其边际贡献，难点是外资流入与利率波动的内生性。（与《外资真是「蝗虫」吗？》 关心的长期影响是互补的两个角度。）

3. 流动性机制 vs. 波动率机制：是同一个挡，还是两个挡？ 【经济故事】本文的「高波动机制」会不会其实是「低流动性机制」的影子？把流动性（如做市商资产负债表、买卖价差）作为第二维机制变量引入，可检验波动率机制是否就是流动性机制。 【可行性】中。可借鉴 COVID 期间公司债流动性危机的微观证据（参见《差点死掉的那个市场》）。难点是多机制模型的维度爆炸与识别。

4. 换挡风险价格的「价值」检验。 【经济故事】本文用 in-sample 似然展示了换挡定价的统计重要性；但它在样本外的久期/利差择时上值不值钱，是一个独立且更苛刻的问题。 【可行性】高。直接用本文模型做滚动样本外预测，与单机制 \(A_0(3)\) 比较夏普比率即可，数据现成、识别清楚。

我的判断

这篇论文的贡献是结构性的，而非边际性的。它把「机制转换」与「无套利定价」这两条多年来各走各路的文献，用一个能精确定价、又能写出解析似然的高斯框架真正缝在了一起；而那个被前人默默关掉的开关——给换挡本身定价——一旦打开，立刻把单机制模型在动荡期与平静期两头都「拟合不好」的毛病解释清楚了。「高波动机制不那么持久」「驼峰是低波动现象」这两个发现，单凭它们就足以让任何强加常数 \(\pi^P\) 的建模者重新掂量自己的设定。

对识别，我有两点保留。其一，潜在因子 \(Y_t\) 同时驱动收益率水平、波动率、和换挡概率，三者在月度样本里同时识别的难度不小；论文里也坦承 \(Q\) 测度下有一个根接近非平稳。两机制 × 三因子 × 状态依赖换挡的参数空间相当大，估计对初值与样本期的敏感性值得更多展示。其二，机制本身是潜变量——「高/低波动」是模型推断出来的，不是外生标定的；它与真实经济事件（美联储实验、衰退）的对应有多稳健，需要更直接的外部验证。

我接下来最想看到的，是它的样本外表现：换挡风险的价格究竟是统计上的好看，还是真能转化为债券择时的经济价值；以及，当把这套「会换挡、且换挡有价」的逻辑搬到信用市场与外资持有结构上时，那条被定价的暗线是否依然站得住。

参考文献

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Cecchetti, S., P. Lam, and N. Mark (1993). The Equity Premium and the Risk-free Rate: Matching the Moments. Journal of Monetary Economics 31, 21–45.

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Gray, S. (1996). Modeling the Conditional Distribution of Interest Rates as a Regime Switching Process. Journal of Financial Economics 42, 27–62.

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