收益率曲线拟合得再好，也可能对波动率「充耳不闻」

1 一个「偏科」的好学生

先讲一个让做利率模型的人很尴尬的事实。

过去三十年，资产定价学界打磨出了一套极其精致的工具：仿射期限结构模型 (affine term structure model, ATSM)。它能把整条收益率曲线——从三个月到十年——拟合得相当漂亮，债券价格有解析解，估计起来也不算难。可一旦你换个角度，问它「收益率的波动率长什么样」，这位好学生立刻露了怯。

文献里早有大量证据指出：标准无套利期限结构模型隐含的波动率，和已实现波动率 (realized volatility) 或其他无模型估计对不上号 (Dai and Singleton, 2000, 2002; Duffee, 2002; Collin-Dufresne et al., 2009)。换句话说，它会拟合一阶矩，却拟合不好二阶矩。这是一个「偏科」的好学生：把收益率的均值答得很好，方差却答得一塌糊涂。

为什么会这样？这正是本文的起点，也是它最值得我们慢慢想清楚的一个点。

2 张力从哪来：均值和方差，骑在同一匹马上

要理解病根，得先看一眼这类模型是怎么写波动率的。

在最经典的设定里——也就是 Dai and Singleton (2000) 给出的那套 Aⱼ(3) 分类——状态变量 \(X_t\) 在风险中性测度下服从一个仿射扩散，而条件方差是状态变量水平的线性函数：

$$\sigma_{i,t}^2 = a_i + b_i' X_t$$

这个写法背后有它的道理。一大批文献都发现，利率高的时候波动率往往也高，收益率曲线曲率大的时候波动率也大 (Cox et al., 1985; Litterman and Scheinkman, 1991; Longstaff and Schwartz, 1992)。所以让方差「挂」在因子水平上，看起来顺理成章。

但麻烦也恰恰在这里。收益率的均值和方差，被同一组状态变量的水平驱动着。 你想让 \(X_t\) 把收益率曲线的形状解释好，又想让同一个 \(X_t\) 把波动率的时间变化解释好——这两件事互相打架。Joslin and Le (2021) 把这种张力说得很透：在无套利约束下，同时拟合一阶矩与二阶矩是这类模型内生的核心矛盾。

于是，一个自然的问题浮出水面：能不能让波动率不再骑在因子水平这匹马上？

3 关键一步：把 GARCH 的引擎装进无套利模型

本文的答案，简单到近乎「显然」，但效果出奇地好——把波动率因子写成一个 GARCH 过程。

时间序列的人对这套东西再熟悉不过：Engle (1982) 的 ARCH 和 Bollerslev (1986) 的 GARCH，是描述金融时间序列波动率聚集的看家本领。它的精髓在于，今天的方差不挂在某个「水平」上，而是由昨天的方差和昨天的平方扰动共同决定。

本文用一个三因子离散时间模型，物理测度 \(P\) 与风险中性测度 \(Q\) 下的状态变量分别服从

$$X_{t+1} = K_0^P + K_1^P X_t + \sqrt{\Sigma_{t+1}}\,\epsilon_{t+1}$$ $$X_{t+1} = K_0^Q + K_1^Q X_t + \sqrt{\Sigma_{t+1}}\,\epsilon_{t+1}$$

短端利率仍是仿射的：\(r_t = \rho_0 + \rho_1 X_t\)。真正的差别藏在条件协方差矩阵 \(\Sigma_{t+1}\) 上——它是对角阵，第 \(i\) 个对角元 \(\sigma_{i,t+1}^2\) 服从一个 GARCH(1,1) 动态：

把它和上一节那个 \(\sigma_{i,t}^2 = a_i + b_i' X_t\) 摆在一起对比，全文的「核心」就清清楚楚了：

而 \(\epsilon_{i,t}\) 又能从状态变量的观测里反推出来。把扰动写开，GARCH 递归变成可以从 \(X_{i,t}\) 的历史滤出的形式：

$$\sigma_{i,t+1}^2 = \omega_i + \beta_i \sigma_{i,t}^2 + \alpha_i \frac{\left(X_{i,t} - K_{0(i)}^P - K_{1(i,i)}^P X_{i,t-1}\right)^2}{\sigma_{i,t}^2}$$

为了简约，基准模型里只给第一个因子的波动率装上 GARCH 引擎（即对 \(i=2,3\) 令 \(\beta_i = \alpha_i = 0\)，方差退化为常数）。一个时变波动率因子，已经够用——这也是后面结果里最让人意外的地方。

4 它凭什么还能叫「无套利」：解析债券价格

读到这里，熟悉期限结构的读者一定会皱眉：GARCH 是出了名的「不好闭式求解」，你把它塞进债券定价，还能保留仿射模型那种解析解吗？

能——这正是本文技术上的漂亮之处，也是它和前人工作的分水岭。

通过设定一个本质仿射 (essentially affine, Duffee, 2002) 的风险价格，定价核取

$$m_{t+1} = \exp\!\left(-r_t - \tfrac{1}{2}\lambda_t'\lambda_t - \lambda_t'\epsilon_{t+1}\right), \qquad \lambda_t = \left(\sqrt{\Sigma_{t+1}}\right)^{-1}\!\left(\lambda_0 + \lambda_1 X_t\right)$$

\(n\) 期零息债券的价格可以写成一个对数线性 + 一个方差项的解析式：

$$\hat{P}_t^n = \exp\!\left(A_n(\Theta^Q) + B_n'(\Theta^Q) X_t + \sum_i C_{i,n}(\Theta^Q)\,\sigma_{i,t+1}^2\right)$$

注意指数里多出来的那一项 \(\sum_i C_{i,n}\sigma_{i,t+1}^2\)——这就是 GARCH 波动率因子留下的「指纹」。系数 \(A_n, B_n, C_{i,n}\) 满足一组递归关系：

$$A_n = -\rho_0 + A_{n-1} + B_{n-1}' K_0^Q + \sum_i\left(C_{i,n}\omega_i - \tfrac{1}{2}\log\left(1 - 2\alpha_i C_{i,n-1}\right)\right)$$ $$B_n = -\rho_1' + B_{n-1}' K_1^Q$$ $$C_{i,n} = \frac{B_{i,n-1}^2}{2\left(1 - 2\alpha_i C_{i,n-1}\right)} + \beta_i C_{i,n-1}$$

初始条件为 \(A_1 = -\rho_0,\ B_1 = -\rho_1',\ C_{i,1} = 0\)。这组递归之所以能闭合，关键在那个 \(\log(1 - 2\alpha_i C_{i,n-1})\) 项——它来自对正态扰动取期望时的高斯矩母函数，而 GARCH 把方差写成平方扰动的线性函数，恰好让这个期望仍然可解析地往前递推。于是 \(n\) 期收益率也是解析的：

$$\hat{y}_t^n = \mathcal{A}_n + \mathcal{B}_n' X_t + \sum_i \mathcal{C}_{i,n}\,\sigma_{i,t+1}^2$$

5 数据与「真值」基准

要检验波动率拟合得好不好，先得有个「真值」。

收益率数据用月频连续复利零息债券收益率，期限覆盖 3 个月、6 个月，以及 1、2、3、4、5、10 年。其中 3 个月和 6 个月来自 FRED，1 到 5 年及 10 年来自 Gürkaynak, Sack and Wright (2007, GSW) 数据集。样本从 1971 年 11 月到 2019 年 10 月——之所以从 1971 年 11 月起步，是因为这是 10 年期收益率不间断可得的最早时点；而这段样本恰好把上世纪 80 年代初那段「货币实验」的高波动时期囊括进来。

波动率的「真值」用两个无模型基准：一是沿 Schwert (1989) 在股票文献里的做法，用月内日度收益率变化的平方和构造的已实现波动率；二是 EGARCH(1,1)。从 Table 1 可以读到，已实现波动率均值在 23–27 个基点 之间、随期限呈驼峰形，EGARCH 波动率均值在 28–35 个基点 之间——两者都呈正偏、超额峰度，且已实现波动率的持续性明显低于 EGARCH。

期权部分另取一套数据：来自芝加哥商品交易所 (CME) 的美国国债期货期权，样本 1988 年 5 月到 2016 年 6 月，标的为 5 年和 10 年期国债期货，期权到期日小于 270 天、价值状态 (moneyness) 在 90%–110% 之间。一个值得记住的细节：这些期货标的国债的票息在 2000 年 2 月前固定为 8%、之后为 6%，对期权定价至关重要。

6 主要结果：长端的胜负手

现在揭晓那个反转。

第一，波动率拟合大幅改善，尤其在长端。 模型隐含波动率与已实现波动率的无条件相关性，跨期限平均达到 65%；若以 EGARCH(1,1) 为基准则是 80%。基于模型隐含与无模型波动率之差算出的均方根误差 (RMSE) 跨期限平均约 20 个基点。在 4–5 年和 10 年这些长期限上，新模型把 80 年代初的高波动期、以及 80 年代中到 2000 年的低波动期都抓得不错。

图 5 把这一点画得很直观——模型隐含的一个月条件波动率，随时间的起伏与「真值」基准相当贴合，长端尤其如此。

Figure 5: presents the one-month conditional volatilities implied by

第二，它把基准模型甩开了一大截。 作为对照，作者估计了本质仿射的 A₁(3) 模型（Dai and Singleton, 2000; Duffee, 2002），以及一个状态变量动态与新模型尽可能接近、只在波动率设定上不同的「受限 A₁(3)」模型。这两个基准与已实现波动率（EGARCH）的相关性平均只有 47%（68%）。在收益率波动率 RMSE 上，无套利 GARCH 模型跨期限平均领先基准 40% 以上。所有模型都难以同时抓住 80 年代初的超高波动和其后的低波动，但 GARCH 模型明显更接近真相——A₁(3) 和受限 A₁(3) 在 80 年代中到 2000 年的低波动期会系统性地高估波动率。

第三，波动率拟合的改善，没有以收益率（一阶矩）拟合的恶化为代价。 新模型的收益率 RMSE 只比两个随机波动率基准略高一点；而且它还很好地复现了 Campbell and Shiller (1991) 回归所刻画的债券风险溢价模式。这说明模型对收益率的条件均值与条件方差同时给出了像样的拟合——这恰恰是开篇那个「偏科好学生」做不到的事。

第四，也是最有说服力的样本外检验：给期权定价。 如果一个模型真把波动率抓对了，那它在「payoff 高度依赖波动率」的证券上就该占优。作者用国债收益率估出的参数去给国债期货期权定价，结果 GARCH 模型的表现「远远优于」(vastly superior) A₁(3) 模型。如表 11 所示，期权定价的 RMSE 在 GARCH 模型下显著更低。

Table 11: presents the RMSEs (root mean squared error) and the

注意这是个干净的「跨市场」验证：参数完全来自收益率市场，期权市场的数据没有进入估计，却被准确地定了价。

7 文献脉络

把这条线索捋一捋，会更清楚这篇论文站在哪。

源头是两支并行的河流。一支是波动率建模：Engle (1982) 的 ARCH 与 Bollerslev (1986) 的 GARCH，奠定了「方差由滞后平方扰动驱动」的范式。另一支是无套利期限结构：Duffie and Kan (1996) 的因子模型、Litterman and Scheinkman (1991) 对债券收益共同因子的刻画，到 Dai and Singleton (2000) 系统给出仿射随机波动率模型的 Aⱼ(3) 分类、Duffee (2002) 的本质仿射风险价格——这条线把收益率曲线拟合做到了极致，却也把「均值与方差共用因子水平」这个病根固化了下来。

两河交汇处，早有人试过。Heston and Nandi (2003) 用了和本文几乎一样的两因子 GARCH 期限结构设定，可惜只在两周样本上做校准，没能真正考察波动率建模。Ghysels et al. (2014) 让模型在 \(Q\) 下保持高斯、在 \(P\) 下用 GARCH——而本文在两个测度下用同一套动态。沿着「如何在无套利框架内建模利率波动率」这条主线，还站着 Collin-Dufresne and Goldstein (2002) 与 Collin-Dufresne et al. (2009) 的非张成随机波动率 (unspanned stochastic volatility)，以及 Creal and Wu (2015) 关于张成 vs 非张成的取舍；不过 Joslin (2018)、Joslin and Konchitchki (2018) 指出非张成约束过度限制了模型其他维度并被数据拒绝，Joslin and Le (2021) 则把无套利约束与一二阶矩之间的张力讲透。本文不去站张成/非张成的队，而是另辟一径——它的识别特征就是那个参数化的 GARCH 假设。在它之后，Realdon (2022) 和 Hansen (2023) 也开始研究带 GARCH 潜在因子的仿射期限结构模型。

（关于国债收益率的风险价格与数量如何拆解，可参见《风险的价格与数量：拆开中美国债的「风险-收益之谜」》；关于结构模型如何被用于期权定价的另一种思路，可参见《把结构模型「蒸馏」成一张查找表：深度代理与期权定价》。）

8 评论与延伸（Q&A + 研究方向）

(a) 几个可能的疑问

Q：GARCH 模型和仿射随机波动率模型，关键区别到底在哪？

只有一处，但是要命的一处：波动率的信息来源。仿射模型把条件方差写成因子水平的线性函数 \(\sigma_{i,t}^2 = a_i + b_i' X_t\)；GARCH 模型把它写成滞后方差加滞后平方扰动 \(\sigma_{i,t+1}^2 = \omega_i + \beta_i\sigma_{i,t}^2 + \alpha_i\epsilon_{i,t}^2\)。前者让均值和方差共用「水平」这个信息，互相掣肘；后者把方差解放出来，让它去听「平方扰动」的话。本文设计的「受限 A₁(3)」基准把状态变量动态调到和新模型尽可能一致，唯一差别就是这个——所以业绩差距能干净地归因到波动率设定上。

Q：离散时间 GARCH 怎么还能保住解析债券价格？「无套利」会不会打折扣？

不打折。无套利来自一个合法设定的定价核 \(m_{t+1}\)，债券价格是 \(E_t[m_{t+1}P_{t+1}^{n-1}]\) 的递归。之所以仍有闭式解，是因为扰动是正态的、方差又是平方扰动的线性函数，对正态变量取指数期望（矩母函数）后仍是可往前递推的形式——那个 \(-\tfrac{1}{2}\log(1-2\alpha_i C_{i,n-1})\) 项就是这一步的产物。所以「无套利」和「解析解」在这里并不矛盾。

Q：张成 vs 非张成波动率之争，这篇站哪边？

它有意不站队。作者明说，本文业绩不必然对张成/非张成的成本收益有结论性意义；它的识别特征是 GARCH 这个参数化假设本身。Creal and Wu (2015) 发现张成模型更会拟合曲线、非张成更会拟合波动率，而本文给出了第三条路：在张成框架里，靠改写波动率的「发动机」也能把波动率拟合做上去。

Q：基准模型只给第一个因子加 GARCH，会不会太省了？

出人意料地够用。仅一个时变波动率因子，模型隐含波动率与已实现波动率的平均相关性就到了 65%。作者也在稳健性里试了两个时变波动率因子，以及带杠杆效应的 Heston-Nandi (2000) 式扩展，但后者并未改善拟合——直觉是国债收益率数据里的偏度本就有限，不像股指期权那样需要杠杆项。

Q：波动率拟合变好，是不是偷偷牺牲了收益率本身的拟合？

没有。新模型的收益率 RMSE 只比随机波动率基准略高，而且 Campbell and Shiller (1991) 回归所刻画的风险溢价模式拟合得很好。这正是论文标题之外的隐含主张：一二阶矩的张力，可以靠换波动率设定来缓解，而不必在两者间二选一。

Q：用国债估的模型去给期权定价，为什么算一个有力的检验？

因为它是真正的样本外、跨市场验证。期权 payoff 对波动率极其敏感，而估计参数完全来自收益率市场、期权数据没进似然函数。如果波动率被抓错了，期权价格立刻穿帮。GARCH 模型在这里「完胜」A₁(3)，等于从第三方市场给波动率拟合盖了个章。

(b) 几个可能的研究问题与提案

1. 把 GARCH 波动率因子搬到公司债 / 信用利差期限结构

【经济故事】信用利差的波动率聚集比国债更剧烈（违约风险的非线性、流动性冲击），而现有信用期限结构模型大多沿用仿射随机波动率，同样会「偏科」。把本文的「方差 = 滞后平方扰动」引擎装进信用利差曲线，或许能同时拟合利差水平与利差波动率。 【可行性】中。数据有 TRACE 日度成交可构造已实现波动率、Markit 的 CDS 期限结构可做无套利校准；难点在违约强度与回收率的可识别性，以及流动性成分的剥离。doable，但需要先把「哪一个因子该带 GARCH」论证清楚。

2. 外资持有人结构与国债收益率波动率

【经济故事】外国官方与私人投资者的持有占比变化，可能系统性地改变国债二阶矩——危机期「资本外逃」式的抛售会放大平方扰动。可以在本文框架里，把 GARCH 的 \(\alpha\)（ARCH 项权重）做成外资持有强度的函数，检验「谁持有」是否改变了波动率的生成机制。 【可行性】中。TIC 数据（美国国际资本流动）按月给出外资持有，可与 GSW 收益率匹配；识别上的难点是持有结构的内生性，需要用供给侧工具（如发行节奏）或事件冲击。

3. 把这套模型隐含波动率拿去做流动性研究

【经济故事】本文给出了一个干净的、无模型外的条件波动率估计。一个自然延伸是：模型隐含波动率与市场观测到的 MOVE 指数（或国债买卖价差）之间的缺口，是不是流动性溢价的代理？当二者背离时，是否预示做市能力收紧？ 【可行性】高。所需材料都是公开的（GSW 收益率、MOVE、Treasury 买卖价差），本文的估计可直接复用；识别上属于预测性回归，门槛不高，但要小心生成回报变量 (generated regressor) 的标准误。

4. 杠杆效应在信用市场的回归

【经济故事】本文发现国债数据里加 Heston-Nandi (2000) 的杠杆项没用，因为偏度有限。但信用市场天然有强烈的非对称性（坏消息冲击远比好消息剧烈）。把杠杆项重新引入信用利差的 GARCH 期限结构，可能正好派上用场。 【可行性】中。需要高质量的 CDS 或公司债利差时间序列；技术上是本文模型的直接扩展，挑战在于估计的数值稳定性与杠杆参数的识别。

我的判断

先说贡献。这篇论文的可贵之处，在于它用一个「小到几乎不像创新」的改动，撬动了一个困扰文献二十年的老问题——而且做得极其干净。它没有引入额外的非张成约束、没有牺牲解析解、没有恶化收益率拟合，仅仅把波动率因子的「燃料」从因子水平换成滞后平方扰动，就把长端波动率拟合提升了 40% 以上，还顺手通过了期权定价这个跨市场检验。把「受限 A₁(3)」设计成只在波动率设定上有别的对照组，是全文最让我信服的一笔——它让因果归因变得无可争辩。

再说担忧。其一，识别上，GARCH 的波动率是从状态变量的滤波残差里反推的，而状态变量本身是潜变量，整条链路依赖卡尔曼滤波 (Kalman filter) 与本质仿射风险价格的设定——如果滤波对模型设定敏感，那 65% 这个相关性里有多少是「真信号」、多少是设定带来的，值得再追问。其二，作者坦言所有模型在 80 年代初货币实验那段都吃力，这提醒我们：GARCH 抓的是「常态下的波动率聚集」，对结构性断点（regime shift）仍力不从心——这或许正是 Dai et al. (2007) 那类区制转换模型的用武之地。

后续我最想看到的，是把这套引擎搬出国债、搬进信用市场：公司债利差的波动率聚集更猛、非对称更强，正是 GARCH 该大显身手的地方；而那里也恰恰是张成/非张成之争尚未尘埃落定、外资持有人结构正在快速变化的战场。如果「波动率因子的设定才是胜负手」这个论断在信用市场依然成立，那它的分量，会比在国债上重得多。

参考文献

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