亏时求稳，赚时博大：一张「反 S 形」效用，替市场组合翻了案
本文读的是 Post & Levy (2005, Review of Financial Studies)：他们用允许「局部风险偏好」的随机占优 (stochastic dominance, SD) 准则去检验市场组合到底有没有效率。结论很反直觉——能把规模、价值、动量这些异象一并「招安」的，不是名声在外的前景理论 S 形效用，而是一张被冷落了半个世纪的 反 S 形（Markowitz 型）效用：投资者对亏损区间风险厌恶、对盈利区间却反过来风险偏好。一句话，市场上的大盘股、成长股、过去的输家收益偏低，可能正源于投资者「熊市里求保护、牛市里博上涨」的那份双重心思。
1 一个不肯散去的老问题
先把舞台搭好。资本资产定价模型 (capital asset pricing model, CAPM) 自 Sharpe (1964)、Lintner (1965) 以来，是金融学的第一块基石。它说的事很干净：在均值—方差 (mean–variance) 的世界里，价值加权的市场组合应该落在有效前沿上，没人能既要更高的均值、又要更低的方差。
但这块基石早就被现实啃出了缺口。Fama and French (1992) 发现，按市值 (market capitalization)、账面市值比 (book-to-market equity, BE/ME) 排出来的组合，长期跑赢市场；Jegadeesh and Titman (1993) 又添上一个动量 (momentum)。把权重往小盘股、价值股、过去的赢家上挪一挪，你就能拿到一个均值更高、或者方差更低的组合。换句话说，价值加权的市场组合，看上去严重地均值—方差无效。
于是，一个自然的问题是：错的到底是「市场组合有效」这个结论，还是「均值—方差」这把尺子？
如果不愿意限制收益分布的形状，那么均值—方差 CAPM 要和期望效用理论自洽，效用函数就只能取二次型 (quadratic)。二次效用的毛病人尽皆知——它隐含的边际效用会在某处变成负的（钱越多越不开心），而且只关心前两阶矩。于是人们去抬高效用的阶数：Kraus and Litzenberger (1976)、Harvey and Siddique (2000) 用三次多项式把偏度 (skewness) 请了进来，Dittmar (2002) 干脆用四次多项式，把峰度 (kurtosis) 也算上。数据拟合确实好了一点。
（关于「让风险收编价值与规模、却收不住动量」的这条主线，可参见《会「看天」的 beta：当风险收编了价值与规模，动量却躲进了商业周期》；偏度这条暗线，则见《市场的下一步，藏在一万只股票的「歪斜」里》。）
可是——结果还是不行。市场组合照旧无效，规模、价值、动量效应纹丝不动。
2 三个被忽略的裂缝
为什么抬高效用阶数也救不回来？作者把矛头指向了三处「维持假设」的裂缝。
第一，边际效用递减（全局风险厌恶）。 这些扩展模型，几乎都还死守着「效用处处凹」的设定，也就是投资者全局风险厌恶：他们绝不接受期望为负的赌局（「不公平」的赌局）。可证据偏偏相反。Friedman and Savage (1948)、Markowitz (1952) 早就指出：一个人同时买保险、又买彩票，这意味着他的边际效用在某段区间是递增的——也就是效用函数有凸的一段，他是局部风险偏好 (local risk seeking) 的。心理学家 Kahneman and Tversky (1979) 后来用实验把这件事坐实了。甚至代理问题也指向同一个方向：如果给基金经理的薪酬方案是（局部）凸的——做好了奖励远大于做砸了的惩罚——那么经理在替委托人理财时，就会表现出局部的风险偏好 (Brennan, 1993)。
第二，概率变换 (probability transformation)。 期望效用理论假设人用真实概率。但实验证据说，决策者会主观地变换真实分布：最常见的模式是高估「大涨大跌」这类小概率事件、低估「不温不火」这类中间概率 (Tversky and Kahneman, 1992)。落到投资上，这会催生出对那些只在极端、低频的市场情景里表现优异的资产的「异常」需求。
第三，设定误差 (specification error)。 这是最隐蔽的一处。一旦你要给效用函数、概率分布、变换函数都写出明确的参数形式，经济理论却几乎给不出指引。三次多项式效用隐含投资者只在乎前三阶中心矩——可万一他们在乎峰度、在乎半方差 (semivariance) 呢？更糟的是，低阶多项式连最基本的全局约束都加不上：你没法把二次多项式约束成单调递增（保证不满足），也没法把三次多项式约束成全局凹（保证风险厌恶）(Levy, 1969)。
把这三条连起来看，作者其实在说同一件事：问题不在「阶数不够高」，而在我们一开始就替投资者认定了一个错的形状（处处凹）、还被迫硬塞一个参数化的壳子。 那能不能换一条路——既允许局部风险偏好，又完全不写死任何参数形式？
3 随机占优：只问形状，不问参数
能。这条路就是随机占优 (stochastic dominance, SD)。
SD 的迷人之处在于：它不要求任何参数化设定，只依赖关于偏好和信念的一般性形状假设。更妙的是，它不光在期望效用框架下成立，对许多非期望效用理论也成立——尤其是，它对某些主观概率变换是不变的 (Levy and Wiener, 1998)。
SD 的世界里有一大堆准则，每一个对应一组假设。本文只用三个，差别全在「对边际效用施加什么形状约束」。形式上，作者把一类效用函数写成
$$U(C)=\left\{u\in U_0:\; u'(x)\ge u'(y)\;\;\forall (x,y)\in C\right\},$$
其中 \(U_0=\{u:\,u'(x)\ge 1\;\forall x\in\mathbb{R}\}\) 只是把边际效用标准化到不小于 1（这一步无害，因为 SD 对正仿射变换不变），而集合 \(C\subseteq\mathbb{R}^2\) 才是真正刻画「形状」的那只手。三种形状对应三个准则：
二阶随机占优 (Second-order Stochastic Dominance, SSD)——全局风险厌恶，效用处处凹：
$$C_{SSD}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\; x\le y\right\}.$$
前景随机占优 (Prospect Stochastic Dominance, PSD; Levy, 1998)——S 形效用，对亏损凸、对盈利凹（即前景理论那条曲线，亏损区间风险偏好、盈利区间风险厌恶）：
$$C_{PSD}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2_-:\; x\ge y\right\}\cup\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2_+:\; x\le y\right\}.$$
Markowitz 随机占优 (Markowitz Stochastic Dominance, MSD; Levy and Levy, 2002)——反 S 形效用，对亏损凹、对盈利凸（亏损区间风险厌恶、盈利区间风险偏好）：
$$C_{MSD}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2_-:\; x\le y\right\}\cup\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2_+:\; x\ge y\right\}.$$
读到这里要停一下，因为这正是全文的张力所在。PSD 和 MSD 的曲线，恰好是彼此的镜像：前者是「亏了敢赌、赚了求稳」（Kahneman-Tversky 的招牌 S 形），后者是「亏了求稳、赚了敢赌」（Markowitz 1952 提出、却长期无人问津的反 S 形）。两条曲线都允许局部风险偏好，但风险偏好的区间正相反。
这里还藏着一个常被混淆的点：MSD 不等于累积前景理论 (Cumulative Prospect Theory, CPT)。CPT 用的是 S 形效用 + 反 S 形的概率变换。本文证明，MSD 准则对反 S 形的概率变换是不变的；而 Tversky and Kahneman (1992) 估出来的效用曲率很弱、概率变换的曲率很强。于是一个 CPT 决策者通常不会违反 MSD 规则。换句话说，接受 MSD 效率，既可以读成「效用是反 S 形」，也可以读成「概率变换是反 S 形」——后者恰恰是 CPT 的核心。
4 怎么把「形状」变成一道线性规划
形状假设有了，下一步是把它变成能跑数据的检验。这是 Post (2003) 的贡献被推广的地方。
逻辑链条是这样的：如果被检验的组合 \(\tau\)（这里就是价值加权市场组合 \(m\)）对某个 \(u\in U(C)\) 是最优的，那么组合优化的一阶必要条件必须成立——所有资产都得落在切超平面上或其下方：
$$\int u'(x^T\tau)\,(x^T\tau - x_i)\,dG(x)\le 0\qquad \forall i\in I. \tag{13}$$
这个条件的直觉很朴素：从市场组合往任何单个资产方向做边际偏移，都不能提高期望效用。把它换成时间序列样本（\(T\) 期观测，按对 \(\tau\) 的排序记号）的样本等价式：
$$\sum_{t\in Y} u'(x_t^T\tau)\,(x_t^T\tau - x_{it})/T\le 0\qquad \forall i\in I. \tag{14}$$
关键的一步在于：不必去搜遍所有效用函数。注意 (14) 里出现的只有边际效用在各期取值组成的梯度向量 \(b\equiv(u'(x_1^T\tau),\dots,u'(x_T^T\tau))^T\)。形状约束（凹/凸/反 S）无非是对这个向量各分量之间大小排序的约束。于是检验可以写成一道线性规划 (linear programming, LP)：
其中形状约束被打包进多面体
$$B(C)\equiv\left\{b\in[1,\infty)^T:\; b_t\le b_s\;\;\forall\, t,s\in Y:\;(x_t^T\tau,\,x_s^T\tau)\in C\right\}. \tag{16}$$
直觉上，\(B(C)\) 就是把「效用是这个形状」翻译成「边际效用 \(b\) 在各期之间该怎么排序」：在 \(C\) 指定的那些区段里，回报高的那一期，边际效用要更低（凹段）或更高（凸段）。Theorem 2 给出判据：市场组合经验上 \(U(C)\)–SD 有效，当且仅当 \(\xi(\tau,C)=0\)；只要 \(\xi(\tau,C)>0\)，它就无效。
这套检验只含线性目标和有限多个线性约束，桌面 PC、表格软件里的 LP 求解器就能跑——对几百个观测/资产的规模毫无压力。
这里有一处必须诚实交代的不对称。对凹的效用（SSD），一阶条件既必要又充分，\(\xi=0\) 就是全局最优的铁证。可对非凹的 PSD、MSD，一阶条件只必要：满足它的可能只是个局部最优。所以本文的 PSD/MSD 检验是必要条件检验——它有可能把一个其实无效的组合误判成「有效」。作者的补救是：只要假设投资者只能边际地偏离市场组合（比如委托代理约束把代理人的腾挪空间限死了），检验仍然是充分的。这道「只能小步偏离」的假设，是读这篇文章时要一直挂在心上的。
5 数据与那个反转
数据用的是 Fama-French 的价值加权市场组合，以及按规模、BE/ME、动量构造的基准组合；样本区间是 1963 年 7 月到 2001 年 10 月的月度超额收益。一个值得记住的数字：全样本里，市场组合的最低月超额收益是 −23.09%，最高是 +16.05%——区间不算窄，但也都落在 Markowitz「小到中等的盈亏」这一假设大致站得住的范围里（这正是 MSD 与 Markowitz 型效用自洽的前提）。
于是反转出现了。
- 在 SSD（全局风险厌恶） 下，市场组合被判为无效——这与均值—方差 CAPM 的失败一脉相承：只要你坚持投资者处处怕风险，就解释不了为什么大盘股、成长股、过去的输家收益这么低。
- 在 PSD（前景理论 S 形） 下，故事并没有被救活。名气最大的那条曲线，并不是答案。
- 但在 MSD（反 S 形） 下，市场组合无法被拒绝为无效——也就是说，存在一个对亏损风险厌恶、对盈利风险偏好的效用函数（或等价地，一个反 S 形的概率变换），能让价值加权市场组合成为最优选择。
把这件事翻译成人话：大盘股、成长股、过去的输家，是那种「在极端坏的市场情景里相对抗跌、又在极端好的情景里有想象空间」的资产。一个亏损区间求稳、盈利区间博大的投资者，会愿意为这种「下有保护、上有潜力」的特性付溢价——于是它们的平均收益偏低。这正对应摘要里那句「投资者在熊市里渴望下行保护、在牛市里渴望上行潜力」的双重心思。
（这份「保险 + 彩票」的双重心思，和《赌博的四季：当一个「够不着的目标」，同时教你买彩票和买保险》讲的是同一种人性；而「为什么有人甘愿不分散、专挑有彩票特征的资产」，见《为什么有人甘愿「不分散」？——把彩票心理写进资产定价》。）
6 文献脉络
把这条线索拉直来看，它其实是两股河流的交汇。
一股是偏好的形状。源头是 Friedman and Savage (1948)——同一个人为何既买保险又买彩票，逼出了「边际效用局部递增」的设想。紧接着 Markowitz (1952) 在《财富的效用》里画出了那条反 S 形曲线，却在随后几十年被均值—方差框架的光芒盖住、无人深究。直到 Kahneman and Tversky (1979) 的前景理论把「局部风险偏好」做成实验科学，再到 Tversky and Kahneman (1992) 的累积前景理论引入概率变换，行为这一支才真正壮大。
另一股是检验的工具。CAPM（Sharpe, 1964）立柱，Fama and French (1992) 砸出缺口，随机占优理论（Levy, 1998 集其大成）提供了「不写参数、只问形状」的语言，而 Levy and Levy (2002) 正式把反 S 形效用铸成 MSD 准则。真正让这套语言能跑实证的，是 Post (2003) 把 SSD 效率检验化成线性规划。
本文 (Post and Levy, 2005) 站的，正是这两股河流的汇合处：它把 Post (2003) 的 LP 检验从凹效用推广到一般 SD 效率（凹、凸—凹、凹—凸三类），再用它去问一个半个世纪悬而未决的问题——到底是哪一种形状的偏好，能让市场组合活下来。答案，落在了 Markowitz 1952 年那条被冷落的曲线上。
7 评论与延伸（Q&A + 研究方向）
(a) 几个可能的疑问
Q：MSD（反 S 形）和前景理论的 S 形，到底差在哪？为什么差这一点就翻了案？
差在风险偏好出现的区间。前景理论（PSD）是「亏损区间风险偏好、盈利区间风险厌恶」；MSD 正好镜像，是「亏损区间风险厌恶、盈利区间风险偏好」。结果是两种人对资产的需求完全不同：MSD 投资者既要下行保护、又要上行彩票，恰好能合理化大盘/成长/输家组合的低收益，而 PSD 不能。这就是为什么名气更小的那条曲线反而赢了。
Q：「检验市场组合效率」这件事本身有意义吗？毕竟在非凹效用下，个体有效不蕴含市场有效。
这是作者自己点破的软肋。Dybvig and Ross (1982) 证明 SSD 有效集一般不是凸的，所以即便人人都持有效组合，作为加权平均的市场组合也未必有效；PSD、MSD 同样如此。作者的辩护是「显示性偏好」：现实里大量资金通过被动指数基金、ETF 去追踪价值加权指数，这本身就揭示了一种对市场组合的偏好——那么问，什么样的效用能把这种选择合理化，就仍然有意义。
Q：PSD/MSD 检验只是「必要条件」，会不会把无效的组合误判成有效？
会，这是诚实的局限。对非凹效用，一阶条件只必要不充分，满足它的可能只是局部最优。作者的补丁是「投资者只能边际偏离市场组合」——若委托代理约束把代理人的腾挪空间锁死，检验就重新变得充分。这道假设可信与否，因人而异。
Q：那「概率变换」和「效用形状」到底是哪一个在起作用？这不就分不清了吗？
分不清，而且作者明说这是一个关于偏好与信念的联合假设。接受 MSD 效率，既可能因为效用是反 S 形，也可能因为概率变换是反 S 形。妙处在于：反 S 形的概率变换正是 CPT 的核心，且 Tversky-Kahneman 估计里概率变换的曲率远强于效用曲率，所以一个 CPT 决策者通常不违反 MSD。这反而让结论更稳——两条解释都指向同一个观测。
Q：为什么不直接用三次、四次多项式效用，非要绕道随机占优？
因为多项式有「设定误差」和「无法施加全局约束」两个硬伤：三次效用只看前三阶矩，关心半方差、峰度就失灵；而且你没法把三次多项式约束成全局凹来保证风险厌恶。SD 不写参数、只施加形状约束，正好绕开这两处陷阱——代价是它给的是「能/不能被拒绝」的定性结论，而非一个漂亮的点估计。
Q：把参考点设在零（用超额收益），会不会影响结论？
作者做了稳健性检查：把名义参考点降到零、或抬高到市场组合的平均收益，结论都没有显著变化。若参考点未知，还可以把它当成额外的模型变量估计（代价是可能损失检验势）。
(b) 几个可能的研究问题与提案
1. 把反 S 形偏好搬进公司债横截面。 【经济故事】股市里「下有保护、上有彩票」的资产收益偏低；公司债天生是「上行被票息封顶、下行是违约尾部」的非对称资产，几乎是反 S 形偏好的天然试验台。高收益债的「彩票」属性、投资级债的「保护」属性，会不会正好被 MSD 准则刻画？ 【可行性】中。数据用 TRACE + Mergent FISD 构造按评级/久期/利差排序的基准组合即可，LP 检验现成。难点在于债券月度收益的偏态极强、参考点设定更敏感，需要谨慎处理。
2. 外资持有人是不是「形状」更极端的一群？ 【经济故事】若代理与薪酬凸性是局部风险偏好的来源之一 (Brennan, 1993)，那么不同投资者群体的「效用形状」应当不同。外资机构常被认为更追逐动量、更偏好流动性好的大盘股——他们的隐含偏好会不会比本土投资者更靠近反 S 形？ 【可行性】中偏低。需要分投资者类型的持仓面板（如 13F、各国托管数据），把「市场组合」替换成各群体的实际加权持仓再跑 SD 检验。识别上要把「偏好形状」和「信息/约束」分开，并不容易。
3. 反 S 形偏好与流动性溢价的交互。 【经济故事】「下行保护」在危机里最值钱，而危机恰是流动性枯竭之时。投资者对反 S 形资产的溢价，会不会在流动性紧张的状态里被进一步放大？这能把行为偏好和流动性两条线索接起来。 【可行性】中。可借鉴本文的「按状态分子样本」思路（作者自己提到可用聚类按无风险利率、期限利差、信用利差切样本），在不同流动性状态下分别跑 MSD 检验，比较 \(\xi\) 的变化。挑战是子样本变短后检验势下降。
4. 用期权隐含分布替代历史 EDF。 【经济故事】本文用经验分布函数 (EDF) 近似真实分布，隐含「时序无关、独立同分布」的强假设。可期权价格里藏着市场的前瞻性主观分布——把 EDF 换成期权隐含的风险中性（再做风险调整）分布，SD 检验会不会得出不同的形状结论？ 【可行性】中。隐含分布的提取技术成熟，但把它接进 SD 检验需要解决风险中性到客观测度的转换，理论上不平凡。这条路与《为什么从期权里「读」出来的风险厌恶，会咧嘴一笑？》所揭示的「隐含风险厌恶存在风险偏好段」高度呼应——那篇的经验现象，正可作为本文反 S 形结论的一个独立旁证。
我的判断
这篇文章的贡献在方法，也在观念。方法上，它把 Post (2003) 的 LP 效率检验从凹效用推广到一般形状，给「允许局部风险偏好」的资产定价检验提供了一件不必写参数、计算又轻便的趁手工具；观念上，它把 Markowitz 1952 年那条被遗忘的反 S 形曲线重新摆上台面，并给出一个干净的实证站位：能合理化市场组合的，不是前景理论的 S 形，而是它的镜像。
但我对识别有两点不踏实。其一是那道「投资者只能边际偏离市场组合」的假设——它是把 MSD 的「必要条件」补成「充分条件」的唯一桥梁，可现实里被动资金的同质性是否强到这个程度，文章给的是论证而非证据。其二是「偏好 vs. 信念」的根本不可分：MSD 效率既能读成反 S 形效用，也能读成反 S 形概率变换，文章很坦诚地承认这是个联合假设，但这也意味着它无法单独为「风险偏好驱动价格」这个标题盖章——它只能说「某种反 S 形结构」与数据相容。
我接下来最想看到的，是把这套检验搬到信用市场和分投资者类型的持仓上去：公司债的非对称回报是反 S 形偏好近乎完美的试验台，而把「市场组合」替换成不同群体的真实持仓，才有机会把「形状」从匿名的代表性投资者，落到一个个具体的、可被识别的人身上。
参考文献
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