赌博的四季：当一个「够不着的目标」，同时教你买彩票和买保险

[2025 JFE] Aspirational Utility and Investment Behavior
Andreas Aristidou, Aleksandar Giga, Suk Lee, Fernando Zapatero
Jun He June 01, 2026
行为金融 偏度偏好 实验金融 效用理论
Note

本文读的是 Aristidou, Giga, Lee & Zapatero (2025, Journal of Financial Economics)：他们在标准效用上加了一个「志向点（aspiration）」——一旦财富越过某条线，效用就跳一下——并证明，你离这条线有多远，决定了你想要正偏度还是负偏度的资产。同一套机制既能解释「为什么有人同时买彩票和买保险」，又能部分解释处置效应与低收入家庭的入市之谜，还在两个实验室实验里得到了验证。

1 引言：保险和彩票，为什么常常是同一个人买的

先讲一个快八十岁的老谜题。

1948 年，Friedman 和 Savage 注意到一件让标准效用理论很尴尬的事：同一个人，会一边掏钱买保险，一边掏钱买彩票。买保险，说明他厌恶风险；买彩票，又说明他偏好风险。一个理性的、凹效用 (concave utility) 的人怎么能同时干这两件事？为了圆这个场，他们干脆给效用函数中间安了一段「凸」的区间——于是在某个财富水平上，人会突然变得爱冒险。

这个「凸段」后来成了行为金融里反复出现的母题。前景理论 (Prospect Theory, Kahneman and Tversky, 1979) 用价值函数在参照点附近的弯折来制造它；Levy (1969) 直接把效用写成前三阶矩的函数。可问题是：那段凸性到底从哪儿来？ 是人脑天生的偏误，还是有更朴素的经济学理由？

本文的回答很「接地气」：来自志向。

Tip

这里有一个常被忽略的点。Friedman–Savage 的谜题，只有透过「波动率」这副眼镜看才成立；换成「偏度（skewness）」这副眼镜，谜题几乎自动消解——买彩票是做多右偏，买保险是做空左偏，两者合起来不过是「净偏好右偏」。本文真正要讲的，正是这副被前人忽略的偏度眼镜。

接着，一个自然的问题是：人为什么会有志向，志向又凭什么在效用上「砸出一个坑」？

2 一个「志向」是怎么长出来的：地位、商品与不可分性

作者从一个很具体的微观场景出发：地位 (social status)。

人不只在乎自己消费多少（记作 \(C\)），还在乎自己在小圈子里站第几排——这是 Roussanov (2010) 那一脉「为社会地位而冒险」的思路。但本文多走了一步：地位往往要靠地位商品（status good，记作 \(S\)）来兑现，而这些东西通常又贵又不可分。你不能买半套学区房来证明自己跻身中产，也不能买四分之一艘游艇来宣告进入上流。

作者用一份美国社会阶层的调查把这件事量化了：下层占 28%，中层占 52%，上层占 19%；与之匹配的「标志性地位商品」价值分别约为 $S_L=\$12{,}000$、$S_M=\$532{,}000$、$S_U=\$2{,}929{,}000$。这三个数字，就是横在每一层人面前的三道「门槛」。

Table 1

Table 1

把「消费」和「地位」放进一个简单的对数效用里，并要求总开销不超过财富 \(W\)：

$$U(C, S) = \log(C) + \big[\log(S)\big]_{S_L,\,S_M,\,S_U}, \qquad C + S \le W$$

第二项是地位带来的效用，因为地位商品不可分，它被写成一个阶梯函数（在 \(S_L, S_M, S_U\) 处各跳一级）。解出这个优化问题，得到的关于财富的最优效用 \(U^*(W)\)，就会在财富刚刚够得着某个地位商品时猛地往上一窜。

这一窜，就是「志向」。它和 Ng (1965) 那篇老文章如出一辙——后者仅凭「支出的不可分性」就推出了几乎一模一样的志向型效用。换句话说，只要世界上存在不可分的大件（学区房、游艇、甚至一个大学学位），志向型效用就几乎无处不在。

3 志向效用的数学表达：一道被「折扣」压住的坎

然后，作者把上面那套地位故事抽象掉，只留下骨架。设一个期望效用最大化的人，初始禀赋为 \(C_0\)，他有一个志向 \(R\)（且 \(R>C_0\)）。低于 \(R\) 的回报会被他「打折扣」对待。最核心的方程长这样：

$$ U(C) = \begin{cases} \cssId{a1}{\delta}\, \cssId{a2}{u(C)}, & C < \cssId{a3}{R} \\[4pt] u(C), & C \ge R \end{cases} $$

直觉很清楚：在 \(C=R\) 这一点，效用从 \(\delta u(R)\) 一跃而至 \(u(R)\)，凭空多出一段 \((1-\delta)u(R)\) 的跳跃。这道坎，就是 Friedman–Savage 苦苦寻找的那段凸性的来源。

但真正关键的一步在于「凹化」(concavification)。作者借用了 Diecidue and van de Ven (2008) 的微观基础：只要两条效用曲线拥有相同的凸包 (convex hull)，用鞅式赌博 (martingale gambles) 去优化，它们给出的最优解就完全一样。 形象地说，跨过那道坎的两点之间会架起一座「桥」（论文里的 BD 线段），在这座桥下方的财富区间里，人是风险偏好的——他愿意接受一个公平的赌博，去博一个越过 \(R\) 的机会。

于是问题就变得极其干净：在那段凸区间里，人到底会挑一个什么形状的赌博？

4 赌博的四季：你离目标有多远，决定了你想要什么偏度

这是全文的「核心中的核心」，作者把它浓缩成一张叫「赌博的四季 (The Four Seasons of Gambling)」的图。

为了让「形状」可选，作者引入了一组叫二项鞅 (binomial martingales) 的证券：均值和方差都固定，只有偏度可调。这样一来，人挑证券就等于纯粹地在挑偏度。结论是这样推进的：

第一种情形——志向近在咫尺。 如果 \(R\) 只比当前禀赋 \(C_0\) 高出一点点，那么最优策略是挑一个「大概率小赢、小概率大亏」的证券：它以很高的概率正好落在 \(R\) 上方。这种「高概率的小收益」恰恰是负偏度（左偏）。用作者的话说，此时人是在「卖出偏度」。这也正是买保险的影子——用一个小概率的大损失，换一个高概率的安稳。

第二种情形——志向遥不可及但仍有希望。 当 \(R\) 离 \(C_0\) 越来越远，对称的小赌已经够不着目标了，人只能「搏一把长线」(reach for a long shot)：挑一个「小概率大赢、大概率小亏」的证券。这就是正偏度（右偏），就是彩票。一个拿着死工资、却向往豪车游艇的中产，没有别的「现实路径」爬上阶梯，那买张彩票就成了唯一「靠谱」的选择。

Figure 3: ‘‘The Four Seasons of Gambling’’ (Thm 1 and 2). Fix any point of𝛿. As 𝑅 increases (moving downward,𝑖.𝑒.as the aspiration moves farther away)

Figure 3: ‘‘The Four Seasons of Gambling’’ (Thm 1 and 2). Fix any point of𝛿. As 𝑅 increases (moving downward,𝑖.𝑒.as the aspiration moves farther away)

如图 3 所示，固定折扣 \(\delta\)、让志向 \(R\) 由近及远地移动，最优的偏度需求会依次穿过几个「季节」：从近处的负偏度（卖偏度），到中段的正偏度（买彩票），再到目标彻底无望时回归标准的凹性行为（干脆不赌）。同一个人，仅仅因为目标的远近不同，就会在「买保险」和「买彩票」之间切换——Friedman–Savage 的谜题，至此被一个机制一口气解释干净。

值得停下来强调一句：这和经典的均值—方差分析针锋相对。在后者里，只要期望收益是零或负，理性人就该躲开风险；而在志向效用里，一个期望收益为零的公平赌博，照样会被欣然接受——因为它是够到目标的唯一阶梯。

5 一个反转：跳得越高，反而越不想要彩票

到这里你可能会以为：志向带来的「跳跃」越大，人就越想冒险、越爱彩票。然后反转出现了。

作者证明：如果越过志向带来的效用跳跃很大（也就是 \(\delta\) 很小、志向很「强烈」），人反而会选择偏度更低、甚至负偏度的证券。

为什么？因为跳跃越大，意味着「够到目标」这件事本身越重要、越输不起。这时人不再满足于「小概率搏一个大的」——万一没搏中，损失的是那段无比珍贵的跳跃。于是他被迫去挑那些以更高概率达到 \(R\) 的证券，哪怕代价是：一旦失败，消费水平会更低。这种证券，偏度低，甚至是负的。

这是个挺反直觉、也挺深刻的预测：志向越是「生死攸关」，人越会变得「求稳地冒险」——他要的不是最大的赢面，而是最高的到达概率。类似的比较静态分析，作者对风险厌恶程度和初始财富也都做了一遍。

6 把模型搬进实验室：用一笔慈善捐款「种」出志向

讲到这儿，一个老实人会问：现实里，研究者几乎永远观察不到一个人的真实投资、他的志向、以及他离目标还有多远。那这套理论怎么验证？

作者的办法很巧：在实验室里人为「种」出一个志向。

他们给大学生一组简单证券，均值和方差都锁死、只让偏度变化，让被试去挑。然后用一个非货币、却暖心的奖励来制造志向门槛——他们告诉被试：如果你的实验收益超过某个「捐款门槛 (Donation threshold)」，我们就以你的名义，向你选的慈善机构捐一笔钱。这笔捐款就扮演了志向点 \(R\) 的角色（文献里把捐款直接进效用的做法称作「暖光给予」warm-glow giving，见 Andreoni, 1990）。

具体的证券设计可以从附录里读到：比如某一轮里，所有选项的均值都固定在 18、方差固定在某个水平，只有偏度在 −2.7 到 +2.7 之间变化；负偏度选项的中奖概率高（如 (0.8, 0.2)，高概率小赢），正偏度选项的中奖概率低（如 (0.2, 0.8)，低概率大赢）。被试要做的，就是在这条「偏度光谱」上选一个点。

作者同时做了组内 (within-subject) 和组间 (between-subject) 两种设计，关键在于操纵捐款门槛离被试当前位置的远近。结果和理论预测高度一致：

这种「真金白银上场会改变行为」的实验思路，和本博客读过的两篇是同一家族——关于实验室里如何用真实下注反推偏好，可参见《用真金白银投出来的前景理论》；关于「下注的赌注变大反而让人更上头」，可参见《当真金白银上场，人反而更「上头」了》。

7 一鱼三吃：处置效应与「穷人为什么不入市」

一个好机制的标志，是它能顺手解释别的谜题。志向效用至少又啃下了两块。

第一块是处置效应 (disposition effect, Shefrin and Statman, 1985)，即「过早卖出盈利、死扛亏损」。志向能解释它的时间维度 (temporal component)：志向像一个清晰的里程碑——「投资一旦超过那只名牌包的价格我就卖」——于是人一旦盈利越过 \(R\) 就急着兑现（卖在赢时），亏损时则迟迟不肯了结（扛在输时）。但作者很诚实地承认了局限：模型解释不了横截面维度 (cross-sectional component)，即在一篮子股票里具体该卖哪只、留哪只。因为要做到这点，得给每只股票单独安一个心理账户和目标，而这件事「太不理性」，和模型「除了志向之外都很理性」的底色冲突。

第二块更漂亮，是它和入市行为的联动。 Heimer (2016) 提过一个对前景理论的尖锐质疑：被前景理论判定为「会有处置效应」的人，恰恰是最不可能、最悲观、最不愿意入市的那群人——可你得先入市，才谈得上处置效应啊。所以一个合格的解释，必须同时生成强烈的入市动机。志向效用天然满足这一点：那段凸性让人变得风险偏好，主动去搏，从而一边入市、一边表现出处置效应。

顺着这条线，低收入家庭那个老谜题也松动了：他们入市率低、入市了又几乎不分散——主流理论觉得这「次优」得离谱。但在志向叙事里，这恰恰是最优的替代：与其买分散化、零偏度的组合，不如把钱投向更正偏的「彩票」（无论是个股还是真彩票）。而 Bali et al. (2023) 的证据进一步说明，志向不是穷人的专利——富人也在股市里主动冒险，去够他们「上流生活」那个更高的志向。图 6 用一个单期的简化，把 CRRA 和志向效用下的股债配置摆在一起对比，差别一目了然。

Figure 6: This single-period simplification ofFig. 5compares the optimal bond-stock portfolio allocations in a standard CRRA utility 1) against that o

Figure 6: This single-period simplification ofFig. 5compares the optimal bond-stock portfolio allocations in a standard CRRA utility 1) against that o

8 文献脉络

把这条线捋一捋：最早是 Friedman and Savage (1948) 为「保险+彩票」之谜在效用里硬塞进一段凸性；Ng (1965) 给出了「不可分支出」这个更朴素的微观理由。随后两条路分叉——一条是 Kahneman and Tversky (1979) 的前景理论、Shefrin and Statman (1985) 的处置效应、Lopes (1987) 的 SP/A 理论，从心理偏误和概率加权切入；另一条是 Constantinides (1990)、Campbell and Cochrane (1999) 的习惯形成，以及 Roussanov (2010) 的地位寻求，从「相对财富」切入。

文献脉络时间线
文献脉络时间线（按发表年份排布；红色为本文）

本文的位置在两条路的交汇处：它接过 Diecidue and van de Ven (2008) 对「志向是效用上的一个间断点」的微观基础，用凹化原理把它和偏度需求精确地连起来；又借 Roussanov (2010) 式的地位故事给那段凸性一个社会学的、而非纯心理偏误的根基；最后用 Bali et al. (2023) 的横截面证据把叙事从穷人延伸到整个财富分布。可以说，它是在 Friedman–Savage 的老瓶里，装了一瓶有微观基础、又能被实验检验的新酒。

评论与延伸（Q&A + 研究方向）

(a) 几个可能的疑问

Q：志向效用和前景理论，到底差在哪？

两者都有一段凸性、都谈「参照点」，但来源根本不同。前景理论的弯折来自对损益的心理感受和概率加权，是「非理性」的；志向效用里那道坎来自地位商品的不可分性这一客观经济事实，凸性是凹化后内生出来的，agent 在其余地方完全理性。这也是为什么本文能解释处置效应的时间维度，却解释不了横截面维度——它「太理性」了。

Q：「卖负偏度=买保险」这个等价，会不会只是文字游戏？

不算。关键洞见是 Friedman–Savage 之谜只在「波动率」视角下才是谜：买保险和买彩票在方差上一升一降，看着矛盾。但翻译成偏度，买保险=做空左偏、买彩票=做多右偏，两者其实指向同一个「净偏好右偏」。换一副眼镜，矛盾就消失了——这本身就是贡献。

Q：实验里用「慈善捐款」当志向，外部效度够吗？

这是最该担心的地方。捐款门槛是个非货币、利他性质的目标，和现实中「买学区房」「跻身上流」这种自利、可消费的志向未必是一回事；而且不同人对「捐款能否激发志向」的反应差异巨大——作者自己也把结果里的强异质性归因于此。所以实验证明的是「志向一移动、偏度偏好就跟着移动」这个定性方向，而非任何具体量级。

Q：那个「跳得越高反而越不爱彩票」的反转，会不会只是参数挑出来的？

它是比较静态的解析结论，不是数值巧合：跳跃越大（δ 越小），到达目标的边际价值越高，agent 越要最大化「到达概率」而非「赢面」，于是转向高概率、低偏度的证券。直觉上站得住，但它依赖「志向是单一、固定的一道坎」这个设定——如果现实中人有多重、可调整的志向，这个反转会被稀释。

Q：模型解释不了处置效应的横截面，这算硬伤吗？

算一半。它诚实地划出了边界：志向能让你「在盈利时卖、亏损时扛」，但没法告诉你该卖组合里哪一只。要补上这块，得给每只股票配独立的心理账户和目标，而那需要放弃模型「理性」的底色。这既是局限，也反过来说明它和纯行为模型的分工。

Q：这套理论对资产定价有何含义？

作者点到了：如果志向在财富分布上是「多重」的（穷人想翻身、富人求上流），其中某些可能普遍到足以被加总定价。这与「富人为社会地位而追逐特质波动率」（Roussanov, 2010）一脉相承，意味着偏度可能不只是个体选择，而能渗进横截面定价——但这一步本文只是猜想，未做实证。

(b) 几个可能的研究问题与提案

1. 把「志向偏度」搬进公司债市场。 【经济故事】个人投资者对正偏度的偏好，在股票里已被反复验证（彩票股），但高收益债（high-yield）本质上就是一类「左偏+小概率违约大亏」的资产，零售/养老资金的志向位置或许能预测他们在信用利差上的需求。 【可行性】中。需要把零售持有人层面的持仓（如 TRACE 配合基金持仓）与偏度度量结合，识别上靠「志向距离」的代理变量（如距离某个净值里程碑的远近），不容易但 doable。

2. 外资持有人的「志向」是否不同？ 【经济故事】不同国别的投资者，地位参照系和志向门槛可能系统性不同；若外资在某市场偏好正偏度资产，可能扭曲该市场的偏度定价。 【可行性】中偏低。需要分国别的持仓数据与偏度暴露，识别外资「志向」近乎不可观测，只能借汇率/财富冲击做间接检验。

3. 流动性冲击如何重置志向，进而改变偏度需求？ 【经济故事】当一次财富冲击让投资者突然「够不着」原有目标，按本文逻辑，他应从负偏度（卖偏度）切换到正偏度（搏长线）——这能在面板里检验。 【可行性】高。用经纪商账户数据，以外生财富冲击（如局部裁员、房价波动）为事件，看冲击后账户的偏度暴露（彩票股/期权占比）是否系统性上移。

4. 实验复现 + 真实货币志向。 【经济故事】把本文的慈善门槛换成自利的货币志向（达到某金额解锁一笔现金奖励），检验反转预测（跳跃越大越不爱彩票）是否还成立。 【可行性】高。标准实验室设计，成本可控，直接对准本文最反直觉、也最易被质疑的那条预测。

写在最后

这篇文章最让我欣赏的，是它的「节俭」：只往标准效用里加了一道由不可分性撑起的坎，就一口气把保险与彩票、处置效应的时间维度、入市与不分散三件事串了起来，且每一步都讲得清清楚楚、可被实验检验。凹化原理用得干净，「四季」那张图把一个连续的比较静态结论讲成了一个人人能记住的隐喻——这是好理论该有的样子。

担忧主要在识别和外部效度。实验用慈善捐款当志向，激发强度因人而异，能证明方向却给不出可外推的量级；而模型那条「太理性」的底色，让它在处置效应的横截面上止步。后续我最想看到的，是把「志向距离」用真实数据里可观测的里程碑（净值整数关口、退休目标、首付门槛）操作化，看偏度需求是否真的随距离切换——如果能在公司债或零售期权数据里复现「四季」，这套理论的分量会重得多。

参考文献