收益率曲线为什么总是「太规矩」？——给利率添上第二个平方根

[1989 JFE] A Nonlinear General Equilibrium Model of the Term Structure of Interest Rates
Francis A. Longstaff
Jun He June 03, 2026
利率期限结构 一般均衡 固定收益 GMM
Note

本文读的是 Longstaff (1989, Journal of Financial Economics)：在 Cox-Ingersoll-Ross 的一般均衡框架里，作者把状态变量从「平方根过程」换成「带漂移的反射布朗运动」，得到一个收益率关于无风险利率非线性的闭式期限结构模型（双平方根模型, DSR）。仅凭这一处非线性，模型就能生出驼峰、波谷等更现实的曲线形状，并且在 1964–1986 年美国国库券数据上，其拟合的均方根误差（如 12 个月期）从平方根模型的 117.5 个基点降到 81.9 个基点。

1 引言：一条「太规矩」的曲线

任何一个做过固定收益的人，心里都有一张收益率曲线的「样子图」：它有时上行、有时下行、有时中间鼓起一个包、有时又先升后降再升。现实里的期限结构，形状是相当任性的。

可问题在于，理论模型常常画不出这种任性。

Cox, Ingersoll, and Ross（下称 CIR）在 1985 年献给学界两份礼物。一份是 CIR (1985a)——一个连续时间的一般均衡（general equilibrium）定价框架，它的妙处在于无风险利率及其动态不是外生硬塞进去的，而是作为均衡的一部分内生决定的。这样一来，那些会引发套利的利率路径就被自动排除在外；而这正是 Vasicek (1977)、Brennan and Schwartz (1979) 这类局部均衡（partial equilibrium）方法没法保证的。（关于债券价格与波动率在这些模型里的符号纠葛，可参见《债券价格和波动率，到底是「正」还是「负」？》。）

另一份礼物是 CIR (1985b)——他们在这个框架下给了一个具体的例子：假设技术冲击的状态变量服从平方根过程，于是利率也服从平方根过程，债券价格有了漂亮的闭式解。这就是大名鼎鼎的平方根模型（square root model, SR）。

礼物很好，但有个遗憾：SR 模型推出的收益率，是无风险利率 \(r\) 的线性函数。线性意味着规矩——它能给的形状很有限：要么单调上行，要么一个驼峰，仅此而已。更要命的是，它隐含的期限溢价（term premium）一定是到期期限的单调递增函数。可 Fama (1984) 早就发现，国库券的事前与事后溢价在大约九个月的期限上鼓起了一个包。模型和数据，对不上。

那怎么办？

2 一个自然的念头，和一个更聪明的替代

首先想到的，自然是加状态变量。一个变量画不出复杂形状，那就两个、三个。可这条路代价很大：每加一个状态变量，可解性就差一截，要估的参数也多一堆。性价比很低。

接着，Longstaff 给了一个更直接、也更省的念头：不加变量，只改非线性。

他保留了 CIR (1985a) 框架里几乎所有假设——代表性投资者的对数效用、技术变化由单一状态变量 \(X\) 驱动。唯一改动的，是 \(X\) 的动态。CIR 让 \(X\) 走平方根过程；Longstaff 让它走一个带漂移的反射布朗运动（reflected Brownian motion with drift）：在零以上像随机游走，碰到零就立刻反弹回正值，同时又有一个长期平稳分布。

$$dX = m\,dt + s\,dZ$$

这里 \(m,s\) 为常数（\(m<0\)），\(Z\) 是标准维纳过程。为什么是这样一个过程？因为它「短期像随机游走、长期又向中枢回归」——(log) 股价在短期内就像带漂移的随机游走 [Fama (1976)]，长期却有平稳成分 [Fama and French (1988)]。这是对很多经济变量行为的合理刻画。

然后，关键的一步：和 CIR 一样，均衡里无风险利率正比于状态变量方差，于是

$$r = cX^2$$

\(c\) 是一个正常数。注意这是平方关系——这就是「double square root」里第二个平方根的来历。

3 模型的核心：那个多出来的 \(\sqrt{r}\)

到这里，剩下的全是数学。对 \(r=cX^2\) 用伊藤引理（Itô's Lemma），把 \(X\) 的动态翻译成 \(r\) 的动态。

我们一步步来。由 \(r=cX^2\)，有 \(\partial r/\partial X = 2cX\)，\(\partial^2 r/\partial X^2 = 2c\)，而 \((dX)^2 = s^2\,dt\)。代入伊藤公式：

$$dr = 2cX\,(m\,dt + s\,dZ) + \tfrac{1}{2}\cdot 2c\cdot s^2\,dt = (2cmX + cs^2)\,dt + 2csX\,dZ$$

再把 \(X=\sqrt{r/c}\) 回代，并令 \(\sigma \equiv 2s\sqrt{c}\)、\(\kappa \equiv -2m\sqrt{c}>0\)，整理就得到 DSR 模型的利率过程：

$$dr = \left(\frac{\sigma^2}{4} - \kappa\sqrt{r}\right)dt + \sigma\sqrt{r}\,dZ$$

这个式子值得停下来看几眼。它和 SR 过程、和 Vasicek、Brennan-Schwartz 一样，是一个被「弹性地拉向中枢」的均值回归过程。但回复力（restoring force）正比于 \(\mu-\sqrt{r}\)，而不是别人那种 \(\mu-r\)——这一处非线性，正是后面所有反直觉结论的源头。它还顺带带来几个性质：扩散系数在 \(r=0\) 处消失，所以负利率被排除；瞬时方差恰好是 \(\sigma^2 r\)，与利率水平直接挂钩；而且只需要两个参数 \(\kappa\) 和 \(\sigma^2\) 就能描述全部动态——因为中枢 \(\mu^2=\sigma^4/16\kappa^2\) 已经被这两个参数锁死了。

但真正关键的一步，在债券定价上。沿用 CIR (1985b) 的基本估值方程，用标准的分离变量法求解，Longstaff 得到贴现债券价格的闭式解：

$$ P(r,T) = \cssId{a1}{A(T)} \cdot \exp\!\Big( \cssId{a2}{B(T)\,r} \;+\; \cssId{a3}{C(T)\sqrt{r}} \Big) $$

于是收益率到期收益率（yield to maturity）就是

$$Y(r,\tau) = -\frac{1}{\tau}\Big(\ln A(\tau) + B(\tau)\,r + C(\tau)\sqrt{r}\Big)$$

看到那个 \(C(\tau)\sqrt{r}\) 了吗？正因为它，收益率不再是 \(r\) 的一条直线，而是同时依赖 \(r\) 和 \(\sqrt{r}\) 的曲线。这就是全文反复要讲透的那一个核心：一个 \(\sqrt{r}\)，让收益率曲线挣脱了「线性」的束缚，于是单调、驼峰、先升后平再升、甚至「一个包加一个谷」的形状，统统能被画出来——而代价，只是改了状态变量的设定，没多加一个参数。

4 于是，三个反转出现了

非线性一旦进来，几条教科书里的「常识」就被掀翻了。

第一，债券价格不一定与利率反向变动。 我们都以为利率涨、债券价格必跌（\(P_r<0\)）。可 Longstaff 证明，在 \(r\) 较小时 \(P_r\) 可以为正。这并非数学怪胎，而是均衡的要求：当 \(r\to 0\) 时，必须有 \(P_r>0\)，债券才能挣得均衡的预期回报——否则若强行规定 \(P_r<0\)，下一瞬间 \(r\) 几乎必然上行，债券持有人将稳赔，这与或有权益市场的均衡相悖。\(P_r\) 的正负，以 \(r\) 跨过某个阈值为界翻转。

第二，债券风险不一定随期限单调递增。 SR 模型里期限越长风险越大；DSR 里则未必。瞬时债券收益方差是 \(\sigma^2\big(B^2(\tau)r + B(\tau)C(\tau)\sqrt{r} + C^2(\tau)/4\big)\)，由于这条非线性，收益方差与期限（久期）的关系可以是单调的，也可以出现更复杂的形态——比如下图这种「先升后降再升」的非单调曲线。

Figure 3: Example of a nonmonotonic relation between discount bond return variance and maturity

Figure 3: Example of a nonmonotonic relation between discount bond return variance and maturity

第三，局部预期假说（local expectations hypothesis, LEH）可以对一部分债券成立、对另一部分不成立。 存在一个特殊期限 \(\tau^*\)，使得该债券在局部上「无风险」：它的扩散项恰好为零，于是

$$\frac{dP}{P} = r\,dt$$

也就是说，持有这只 \(\tau^*\) 期债券，回报与不停滚动瞬时到期债券完全一样——它在 CIR (1980)、Ramaswamy and Sundaresan (1986) 的意义上被「免疫」了。LEH 只对它成立，对别的期限并不成立。

期限溢价也跟着活了过来：它同时依赖期限 \(\tau\) 和利率 \(r\)，可以单调递增，也可以鼓出一个包，甚至在长端转为负值。这恰好对得上 Fama (1984) 关于「九个月驼峰」的发现——而这正是 SR 模型死活给不出来的形状。

5 数据说话：双平方根真的赢了吗

理论再漂亮，也得过实证这一关。

Longstaff 用 Hansen (1982) 的广义矩估计（generalized method of moments, GMM）来估参数。思路很干净：模型对各期限国库券的期望收益率给出解析表达式，把它们令等于样本里的平均收益率，解出参数。对 DSR 模型，用三、四、五个月的国库券平均收益率构成三个方程，解出 \(\kappa\)、\(\sigma^2\) 和市场风险价格 \(\lambda\)。这个办法的好处是：它用的是被时间聚合后的利率过程的真实分布，而非离散近似；估计对条件异方差稳健；并且简单直观。标准误用 Newey and West (1987) 的异方差—自相关一致估计来算。值得一提的是，DSR 模型参数间高度相关，导致标准误偏大——而这会让后续检验偏向于不利于 DSR，是个保守的设定。

数据是 Fama (1984) 构造、后被 CRSP 收录的美国国库券到期收益率，样本 1964 年 6 月到 1986 年 12 月，共 259 个月度观测。

先看两个模型隐含收益率本身差多少。如图 4，SR 与 DSR 对同一只 12 个月国库券给出的收益率，差异可以相当大：研究期内平均绝对差超过 112 个基点，1980–1981 年间更是数次突破 250 个基点。这说明两个模型对均衡利率行为的含义是根本不同的，绝非细枝末节之争。

Figure 4: Difference between the yields implied by the Cox, Ingersoll, and Ross (1985b) Fquare root

Figure 4: Difference between the yields implied by the Cox, Ingersoll, and Ross (1985b) Fquare root

那么谁离真相更近？把理论收益率减去实际收益率，看误差的统计量。如表 2 所示，对 6 到 12 个月的各期限，DSR 的均方根误差（RMSE）一律低于 SR：以 12 个月期为例，SR 是 117.5 个基点，DSR 是 81.9 个基点；6 个月期则是 80.4 对 58.6。不仅如此，DSR 的误差与利率水平 \(r\) 的相关性也低得多（DSR 为 0.259–0.571，SR 高达 −0.733–−0.805），一阶自相关也更小（DSR 0.260–0.510，SR 0.755–0.869）。换句话说，DSR 的残差更「干净」——既不那么系统性地随利率水平漂移，也不那么黏。

Table 2

Table 2

不过 Longstaff 很诚实：两个模型都没有完全捕捉国库券收益率的水平与变动。一个旁证是，当期限从六个月翻倍到十二个月，DSR 的 RMSE 上升了 39.8%，SR 上升了 46.1%——误差随期限稳步放大。把这个趋势外推到更长期限，暗示着像 Brennan and Schwartz (1979) 那样引入一个与期限相关的因子，或许能更好地描述长端；又或者，这些模型在「用与被建模收益率相近期限的数据来估参数」时表现最好。

最后，作者还做了一个不依赖参数估计的检验。SR 模型（以及很多模型）隐含收益率变动线性于 \(\Delta r\)；DSR 则隐含收益率同时线性于 \(\Delta r\) 和 \(\Delta\sqrt{r}\)。于是只要回归

$$\Delta Y_{\tau t} = \delta_0 + \delta_1\Delta r_t + \delta_2\Delta\sqrt{r_t} + \varepsilon_t$$

检验 \(\delta_2=0\) 是否成立即可。结果强烈支持：控制住 \(\Delta r\) 之后，\(\Delta\sqrt{r}\) 对收益率变动仍有显著解释力（六到十二个月各期限上 \(\delta_2\) 的 \(t\) 值多在 1.8–2.7 之间），即利率与收益率确为非线性关系。

6 文献脉络

这条线索的起点，是把利率写成一个均值回归扩散过程的努力。Vasicek (1977) 给出第一个解析的期限结构模型，但它允许负利率；Brennan and Schwartz (1979) 等局部均衡方法则可能隐含负的远期利率。真正的范式转换来自 CIR (1985a)，他们用一般均衡把利率动态内生化，从根上排除了套利；CIR (1985b) 随即给出平方根这个可解的特例。与此同时，Fama (1984) 在数据里发现了期限溢价的「九个月驼峰」，给所有「溢价单调递增」的模型出了一道难题。

文献脉络时间线
文献脉络时间线（按发表年份排布；红色为本文）

Longstaff (1989) 正好站在这个交叉口：他接受 CIR 的一般均衡内核，却用一个反射布朗运动 + 平方关系，把收益率掰成非线性，从而一举容纳了 Fama 的驼峰。后来的故事也很值得一提——这个漂亮的闭式解，其实在边界条件上藏着一处瑕疵，后来被人专门撰文修正（详见《漂亮的闭式解，解的却是另一道题——一桩利率模型的边界条件公案》）。而「利率的漂移到底是不是非线性」这个 Longstaff 点燃的问题，也成了之后二十年的一桩公案（参见《利率会不会「拐弯」？——一个被换了把尺子量出来的老问题》与《利率会拐弯，是数据说的，还是先验替它弯的？》）。非线性这条路的另一支，则通向了二次型期限结构模型（参见《利率为什么「跌不破零」却又能「负相关」——二次型期限结构模型的破局》）。

7 评论与延伸（Q&A + 研究方向）

(a) 几个可能的疑问

Q：DSR 和 CIR 平方根模型到底差在哪？

同一个一般均衡框架、同一个单状态变量、同样的对数效用。唯一的区别是状态变量的动态：CIR 让它走平方根过程，收益率因此线性于 \(r\)；Longstaff 让它走带漂移的反射布朗运动加上 \(r=cX^2\)，收益率因此同时依赖 \(r\) 和 \(\sqrt{r}\)，是非线性的。一处设定之差，换来形状自由度的飞跃。

Q：既然要更丰富的形状，为什么不老老实实加一个状态变量？

因为代价不对等。多加状态变量会显著牺牲可解性、并增加待估参数的数量。Longstaff 的卖点恰恰是「不加变量、不加参数」——非线性是「免费」买来的形状自由度。事实上他还指出，由于收益率是 \(r\) 与 \(\sqrt{r}\) 的线性组合、而两者线性无关，DSR 在某种意义上像一个「两因子」模型，却只用了一个状态变量。

Q：「利率上升、债券价格反而上升」这种反直觉结论，可信吗？

它只在 \(r\) 很小时出现，而且不是 bug 是 feature：在 \(r\to0\) 处，均衡要求 \(P_r>0\)，否则债券拿不到应有的预期回报。强行规定价格处处随利率反向，反而会与或有权益市场的均衡相矛盾。这是「内生定价」对「外生设定」的一次纠偏。

Q：GMM 只拟合一阶矩（平均收益率），这够稳吗？

它的好处是用了温和聚合后利率过程的真实分布，不靠离散近似，且对条件异方差稳健、对某些测量误差也稳健。代价是 DSR 参数间高度相关，标准误偏大。但作者论证，这反而让检验偏向不利于 DSR，所以是个保守而非讨巧的设定。

Q：DSR 的 RMSE 仍有 60–80 个基点，凭什么说它「赢了」？

「赢」是相对意义上的：在每一个期限上 DSR 的 RMSE、误差自相关、与利率水平的相关性都低于 SR。但作者明确承认两者都没完全拟合收益率的水平与变动，误差还随期限放大——这正暗示需要一个与期限相关的额外因子。它是更好的一步，不是终点。

Q：这个闭式解后来出过问题吗？

出过。这个模型在边界条件 / 闭式解的推导上后来被发现有瑕疵，并有专门的「修正与补充」一文加以更正。漂亮的解析式，未必就是对的解析式——这恰恰提醒我们，闭式解的诱惑下要格外小心边界与适定性。

(b) 几个可能的研究问题与提案

1. 非线性短端 → 公司债信用利差的期限结构。 【经济故事】结构化信用模型（违约边界、可赎回）几乎都以某个短端利率过程为输入。如果短端真的非线性于 \(\sqrt{r}\)，那么信用利差的期限结构、以及利差对利率水平的敏感度，都会被重写。【可行性】中。需要 TRACE 公司债成交数据 + 同期国债曲线，把 DSR 短端嵌入一个简约（reduced-form）违约强度模型，检验 \(\Delta\sqrt{r}\) 是否对利差变动有增量解释力。识别上要小心利率与信用因子的共动。

2. 外资持有人与期限结构的非线性。 【经济故事】若外资对久期 / 利率水平的需求是非线性的（比如在低利率区追逐收益），其需求冲击可能恰好在 \(\sqrt{r}\) 这一维度上对收益率施压。【可行性】中/低。可用 TIC 或各国国债持有人结构数据，做需求体系（demand system）估计；难点在把「外资需求」与同期宏观因子干净地分离。

3. 流动性溢价是否非线性于利率水平。 【经济故事】危机中利率往往很低，而流动性溢价飙升——两者的关系可能高度非线性。把 DSR 那种「\(\sqrt{r}\) 项」的思路搬到流动性溢价上，或许能解释为什么平静期与危机期的溢价—利率关系判若两条曲线。【可行性】中。需要公司债流动性度量（如价格冲击类指标）+ 利率水平，做状态相依回归（可参考《把「成交价」从「成交量」里解放出来——重新丈量公司债的流动性》的度量思路）。

4. 用现代数据与贝叶斯方法重估「一阶矩 GMM」。 【经济故事】Longstaff 的估计停在 1986 年、且标准误偏大。把样本延伸到含零利率下限（ZLB）的时期，DSR「负利率被排除、\(r=0\) 可反弹」的性质恰好有了用武之地。【可行性】高。数据现成（CRSP/FRED 国债曲线），方法上可用模拟矩或贝叶斯，正面回答「非线性漂移到底站不站得住」。

8 我的判断

这篇论文最漂亮的地方，是它的「吝啬」：不靠堆因子、不靠加参数，只在状态变量的设定上动一处刀，就把一个 \(\sqrt{r}\) 请进了收益率表达式，从而一次性买到了驼峰、波谷、价格与利率的非单调关系、以及「LEH 部分成立」等一连串现实特征。这是理论经济学里典型的「四两拨千斤」。

但担忧也真切。其一，识别几乎完全压在「\(r=cX^2\)」这个特定函数形式上——非线性的全部红利，都来自这个被人为选定的平方关系；换一个非线性映射，结论会不会变？文章没有回答。其二，实证检验的核心是「\(\Delta\sqrt{r}\) 是否显著」，可 \(r\) 与 \(\sqrt{r}\) 高度相关，这类回归对测量误差和样本期极为敏感，\(t\) 值在 1.8–2.7 之间也并非铁证。其三，也是最该记住的一点：这个闭式解后来被发现并不完全自洽，需要修正——这意味着用它的人，得回到原始的边界条件去核对，而不能拿现成公式照搬。

我接下来最想看到的，是把这套「非线性、单因子也能两因子」的思路，放到含 ZLB 与负利率的现代样本里再审一次，并诚实地与多因子仿射模型、二次型模型同台竞速。毕竟，一个模型能在 1964–1986 年赢过 SR，不等于它能在利率触底、又转头上行的这二十年里继续站得住。

参考文献