利率会不会「拐弯」？——一个被换了把尺子量出来的老问题

1 引言：一根「不肯发散」的利率

先抛一个看上去并不性感、却折磨了利率经济学家二十多年的问题：短期利率（the short rate）的漂移项 (drift)，到底长什么形状？

这件事为什么要紧？因为短期利率的漂移同时干着两份活：一份是刻画利率随时间的走势（时间序列维度），另一份是给利率衍生品、给整条期限结构定价（横截面维度）。漂移的形状错了，这两件事就都做不对。

而真正点燃这场争论的，是一个经验观察：利率有着近乎单位根 (near-unit root) 的高持续性，看上去像随机游走、随时会跑到天上去；可现实里它从来没有发散——再高的利率最后总会被拉回来。一个自然的解释是：漂移不是线性的。非线性漂移 (nonlinear drift) 允许利率在不同水平上以不同速度均值回复——在极高和极低处快速回复，在中间区域几乎不动。这恰好呼应了央行的行为：利率太高就压、太低就托，中间则放任自流（Aït-Sahalia, 1996, 对此有专门讨论）。

故事到这里很完美。问题是：这套「非线性」，真的能从数据里被识别出来吗？

2 一场打了二十年、没打出胜负的官司

自 Aït-Sahalia (1996) 用「参数模型要去匹配非参数估计出来的边际密度」这一招，论证出漂移必须是非线性的之后，支持的证据接踵而至：Stanton (1997) 发现非参数估计的漂移在大部分利率区间几乎为零、却在极高处急剧下降；Jiang (1998) 用边际密度与漂移-扩散函数之间的关系，也得到一个呈现非线性的漂移估计；Conley et al. (1997)、Ang and Bekaert (2002) 则分别从波动率弹性和区制转换 (regime switching) 的角度，给非线性背书。

Pritsker (1998) 指出，Aït-Sahalia (1996) 那个基于非参数的检验，由于利率高持续性导致检验统计量收敛极慢，会过度拒绝线性漂移的原假设。Chapman and Pearson (2000) 干脆做了一次蒙特卡洛实验：用一个线性漂移模型生成数据，再去估计漂移——结果估计量在极高利率处被系统性地向下偏、在极低处向上偏，凭空造出了「非线性」的假象。Durham (2003) 用模拟极大似然 (simulated ML) 发现，漂移里除了常数项之外的项对拟合几乎没有贡献；Jones (2003) 用贝叶斯 MCMC 进一步说，非线性不过是先验设定和模型误设、加上高频数据共同催生的产物。Li, Pearson, and Poteshman (2004) 则发现，一旦把「利率停留在某个预设区间内」这个条件加进估计，线性漂移就再也拒绝不掉了。

二十年下来，两边谁也没说服谁。作者一针见血地点出了症结：漂移的估计天生需要极长的时间跨度，而利率的高持续性让事情雪上加霜；更要命的是，非线性恰恰是在利率的极高和极低水平上识别的，而这两端的观测值本来就稀少。于是无论你有几十年的时间序列，极端区间的漂移形状都只能被极不精确地识别出来。

接着，一个自然的问题是：如果时间序列这口井已经快被榨干了，能不能换一口井打水？

3 真正关键的一步：把「横截面」请进来

这就是这篇论文的核心动作，也是它和前人所有工作的分水岭。

前人几乎都只用单一一条利率的时间序列去估漂移。而本文的思路是：通过进一步设定风险价格 (price of risk)，把短期利率的动态映射到整条期限结构上去——于是贴现债券收益率的横截面里，也藏着关于短端利率动态的信息。漂移必须同时和数据的时间序列维度、横截面维度相容，这个「双重约束」理应带来更精确的估计。

为什么横截面有信息？作者用一张图（论文的 Figure 1）讲清了直觉：把三月期、六月期欧洲美元利率相对一月期利率的利差 (yield spread) 画在一月期利率的水平上，你会看到——低到中等利率区间没什么规律，但在高利率处出现了巨大的负利差，六月期尤其明显。

这意味着什么？顺着无套利的逻辑往下推：

• 假设风险中性漂移 (risk-neutral drift) 随利率上升而迅速下降；
• 那么在风险中性世界里，高位的利率更可能往下走，这就压低了 \(\int_t^T r_u\,du\) 的增长速度；
• 而债券价格是 \(E^Q_t\!\left[\exp\!\left(-\int_t^T r_u\,du\right)\right]\)，于是高利率时债券「平均被贴现得更少」，到期收益率相对短端利率偏低；
• 收益率减短端利率，得到的正是巨大的负利差。

换句话说，那张图里高利率处的负利差，几乎是在直接朝你喊：风险中性漂移是非线性的，而且在高位均值回复得很快。短端数据本身，就「隐含」了一个理想的风险中性漂移设定。

4 模型：一个 CEV 短利率过程，和它的两副面孔

这篇论文有一套清楚的连续时间模型，值得一步步拆开。

第一步：物理测度下的短利率过程。 沿用 Aït-Sahalia (1996, 1999) 和 Conley et al. (1997) 的标准设定，短期利率服从一个带非线性漂移、且方差具有常弹性 (constant elasticity of variance, CEV) 的随机微分方程：

这里漂移函数 \(\mu(r)=\alpha_{-1}/r + \alpha_0 + \alpha_1 r + \alpha_2 r^2\)。倒数项 \(\alpha_{-1}/r\) 管的是极低利率处的快速回复，二次项 \(\alpha_2 r^2\) 管的是极高利率处的快速回复——两端的「非线性」就靠它们。

第二步：用无套利钉住风险价格。 作者把无套利条件取为「风险价格函数 \(\lambda(r)\) 在 \(\{r:\sigma(r)=0\}\) 上有界」，于是当 \(\sigma(r)=0\) 时风险溢价 \(\lambda(r)\sigma(r)=0\)。再假设物理漂移 \(\mu(r)\) 与风险中性漂移 \(\mu^Q(r)\) 具有同一参数形式（这个简约假设后面会被放松），通过下面这个恒等式联系起来：

$$\mu^Q(r) = \mu(r) - \lambda(r)\,\sigma(r).$$

这一步是整篇文章的枢纽：物理漂移不能随便取值，它被风险中性漂移和风险溢价共同约束着。这是只用时间序列数据永远做不到的事。

第三步：风险价格的两种设定。 在 CEV 框架下，为了让 \(\mu(r)\) 和 \(\mu^Q(r)\) 保持同样的函数形式，风险价格只能取这两种形式之一：

$$\lambda(r_t) = \lambda_2\, r_t^{2-\gamma}, \quad (1<\gamma\le 2)$$

$$\lambda(r_t) = \lambda_1\, r_t^{1-\gamma} + \lambda_2\, r_t^{2-\gamma}, \quad (0<\gamma\le 1)$$

对应地，风险中性过程就成了（以 \(1<\gamma\le2\) 为例）：

$$dr_t = \left(\alpha_{-1}/r_t + \alpha_0 + \alpha_1 r_t + \beta_2 r_t^2\right) dt + \sigma r_t^{\gamma}\, dW_t^Q,$$

其中 \(\beta_i \equiv \alpha_i - \sigma\lambda_i\)。聪明之处在于：实证里报告的是 \(\beta_i\) 而不是 \(\lambda_i\)——因为我们真正关心的，是 \(\mu(r)\) 和 \(\mu^Q(r)\) 这两条漂移曲线各自的形状。\(\alpha_2\) 决定物理漂移的非线性，\(\beta_2\) 决定风险中性漂移的非线性，两者之差就是风险溢价的来源。

第四步：把横截面解出来。 贴现债券价格 \(P(r_t,t,T)\) 满足标准无套利偏微分方程

$$\tfrac{1}{2}(\sigma r_t^{\gamma})^2 \frac{\partial^2 P}{\partial r_t^2} + \mu^Q(r_t)\frac{\partial P}{\partial r_t} + \frac{\partial P}{\partial t} - r_t P = 0,$$

边界条件 \(P(r_T,T,T)=1\)。麻烦在于，非线性漂移让这个 PDE 一般没有闭式解——这正是用期限结构数据的最大障碍。作者搬出 Takamizawa and Shoji (2003) 的解析近似：对非线性漂移和扩散函数做局部线性化，于是 PDE 可以解析求解，得到

$$\tilde{P}(r_t,\tau) = \exp\{-A(\tau;r_t) - B(\tau;r_t)\, r_t\}, \quad \tau = T-t,$$

收益率随之有闭式 \(\tilde{Y}(r_t,\tau) = \{A(\tau;r_t) + B(\tau;r_t) r_t\}/\tau\)。有了闭式收益率函数，整套估计才能在可接受的计算量内跑起来。

5 估计：让模型同时「对得上」时间序列和横截面

数据是 H-15 美联储统计发布里的一月、三月、六月期欧洲美元 (Eurodollar) 存款利率，周频（取每周三的观测）。估计样本是 1971 年 1 月 6 日—1999 年 12 月 29 日，共 1513 个观测；2000 年 1 月 5 日—2005 年 12 月 28 日 的 313 个观测留作样本外检验。作者还用 3、6、12 月期美国国债收益率（1959–2001）做了稳健性，结论大体一致。

估计方法是极大似然，密度被拆成两块：\(f_T\) 是短端利率时间序列行为的转移密度 (transition density)，用 Aït-Sahalia (1999, 2002) 的解析近似（截到一阶）算出；\(f_C\) 则是加在期限结构模型上的测量误差 (measurement error) 密度。目标函数是

$$\sum_t \left\{\ln f_T(r_t; r_{t-\Delta}, \theta_T) + \ln f_C(y_t; r_t, \theta_C)\right\},$$

其中 \(y_t = (y_{3M,t}, y_{6M,t})\)。测量误差还被允许有一阶自相关与同期相关——这一步看似技术细节，其实是为了防止 \(\mu(r)\) 和 \(\mu^Q(r)\) 被横截面维度过度拉扯，否则本不存在的非线性项会被硬生生「拟合」出来。

6 结果：答案在这里一分为二

现在来看那个反转。先用单一一月期利率的时间序列估 Eq (1)：

• \(\gamma\) 的估计是 1.31（标准误 0.103），显著大于 1——这和 CKLS (1992) 等人「\(\gamma\) 介于 1 和 2 之间」的老结论一致。
• 但 \(\alpha_{-1}\) 和 \(\alpha_2\) 都估不准。\(\alpha_2\) 的估计是 −5.27，标准误却高达 8.82。原假设 \(\alpha_{-1}=\alpha_2=0\) 的似然比统计量是 0.67（p = 0.72, df = 2），完全拒绝不掉；甚至「漂移整个为零」的原假设也拒绝不掉（LR = 5.36, p = 0.25, df = 4）。

这恰恰印证了前面那场二十年官司里反方的担忧：只靠时间序列，极端区间的非线性根本识别不出来。

接着，把横截面请进来（模型 GF*）。 故事立刻变了：

• \(\alpha_2\) 估计为 −7.09，显著了。
• \(\beta_2\) 估计为 −4.04，也显著——这正是引言里那条「高利率负利差」逻辑的兑现。
• 波动率参数 \((\sigma,\gamma)=(0.72,1.30)\)，和只用时间序列时的 $(0.73,1.31)$ 几乎不变。这说明波动率几乎完全由时间序列维度决定，也和「波动率对测度变换不变」这一事实吻合。

但真正关键的一步藏在 \(\alpha_2\) 为什么突然显著里。由 \(\lambda_2=(\alpha_2-\beta_2)/\sigma\) 且其估计为负，模型隐含一个正的期限溢价 (term premium)；为了让期限溢价为正，在 \(\sigma>0\) 下必须有 \(\alpha_2<\beta_2\)，再叠加横截面支持的 \(\beta_2<0\)，约束就变成了 \(\alpha_2<\beta_2<0\)。也就是说，\(\alpha_2\) 虽然是物理漂移里唯一不共享的参数、本该只听时间序列的，却被横截面通过期限溢价间接钉住了。

作者做了一个诚实的检验：把 \((\alpha_{-1},\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2)\) 固定在横截面估出来的值上，只用时间序列重估 \((\sigma,\gamma)\)，再和无约束模型比对数似然。似然比统计量是 10.92（p = 0.03, df = 4）——在 5% 水平上被拒绝。结论很克制：用横截面约束去识别 \(\mu(r)\) 的形状，对时间序列来说并非没有代价。

至于倒数项 \(\alpha_{-1}\)，检验 \(\alpha_{-1}=0\) 的似然比只有 0.07，无论物理还是风险中性测度，都找不到低利率处快速回复的证据。

把这些拼起来，三句话的结论就成型了：

1. 物理漂移的非线性是脆弱的——只有当非线性项被横截面强烈影响时它才出现，而这类情形相当受限；一般而言非线性项对时间序列的拟合贡献甚微。
2. 风险中性漂移的非线性是稳健且必要的——靠那个二次项，高利率处的巨大负利差和低利率处的极小利差才能被一致地解释；若强行令 \(\alpha_{-1}=\beta_2=0\)，\(\mu^Q(r)\) 的斜率为负、利率在两端以恒定速度回复，那就既解释不了高利率的大负利差、也解释不了低利率的小利差。
3. 去掉暂时性冲击后，结论 (ii) 依旧成立——在更高频（日频）的数据上，剔除掉日度观测里夹带的暂时性冲击后，非线性风险中性漂移仍然更优，只是非线性程度有所减弱。

如下方表所示，即便换到日频数据、控制掉暂时性冲击，风险中性漂移那一截「快速回复」的非线性也没有消失。

Table 6: presents the estimation results. The behavior of r is more mean

（关于「同一条收益率曲线、换一把尺子就翻案」这种事，利率期限结构里并不少见，可参见《波动率到底藏在哪里？》与《收益率曲线拟合得再好，也可能对波动率「充耳不闻」》。）

7 文献脉络

把这条线索捋直了看，会发现它其实是「短利率建模」与「非线性之争」两条河的合流。

最早是 Vasicek (1977) 给出线性漂移、常波动率的均衡期限结构，Cox, Ingersoll, and Ross (1985) 把它推进到一般均衡并引入平方根扩散。CKLS (1992) 用统一框架比较各种短利率模型，奠定了「\(\gamma\) 介于 1 与 2 之间」的经验事实。真正的转折点是 Aït-Sahalia (1996)：他用边际密度论证漂移必须非线性，从此点燃了 Stanton (1997)、Conley et al. (1997)、Jiang (1998)、Ang and Bekaert (2002) 这一串支持非线性的工作。

然后反转出现：Pritsker (1998)、Chapman and Pearson (2000)、Durham (2003)、Jones (2003)、Li, Pearson, and Poteshman (2004) 接连指出，所谓「非线性」很可能是检验过度拒绝、估计偏误、先验设定或模型误设造出来的幻觉。两派僵持不下，根子都在「只用单一利率时间序列、极端区间观测稀少」这一死穴上。

本文 (2008) 的位置，就在这个僵局的「侧门」：它不去和任何一方正面辩论时间序列能不能识别非线性，而是借 Takamizawa and Shoji (2003) 的解析近似把横截面接进来，结果给出了一个比「是或否」更细的答案——物理漂移基本线性、风险中性漂移确需非线性。

8 评论与延伸（Q&A + 研究方向）

(a) 几个可能的疑问

Q：这篇文章到底是支持非线性漂移，还是反对？

都不是，它把问题拆开了。物理测度下，它站在「线性派」一边——非线性项对时间序列拟合贡献甚微，\(\alpha_{-1}=\alpha_2=0\) 拒绝不掉。但风险中性测度下，它坚定支持非线性——没有那个二次项 \(\beta_2 r^2\)，就解释不了高利率处的大负利差。这种「分测度」的回答，正是它超越前人非此即彼之争的地方。

Q：用横截面信息，会不会只是把识别误差从一个地方搬到了另一个地方？

这是最该警惕的点，作者自己也承认了。他用一个似然比检验直接量化了「代价」：把横截面估出的物理漂移强加给时间序列，LR = 10.92（p = 0.03），在 5% 水平被拒绝。也就是说横截面识别出的 \(\mu(r)\) 形状，对时间序列并非无成本——这是诚实而不是回避。

Q：「物理漂移线性、风险中性漂移非线性」在经济上说得通吗？

说得通。两者之差是风险溢价 \(\lambda(r)\sigma(r)\)。风险中性漂移描述的是定价世界里利率的「等价」走势，它要去拟合债券价格的横截面，自然被期限溢价的形状约束；物理漂移描述真实世界的均值回复，那部分信息主要来自时间序列，而时间序列在极端区间又太稀疏。两条曲线服务的目标不同、信息来源不同，形状不一样反而合理。

Q：为什么单看时间序列时 \(\alpha_2\) 估不准，加了横截面就显著了？

因为加横截面后，\(\alpha_2\) 不再只听时间序列的话。通过 \(\lambda_2=(\alpha_2-\beta_2)/\sigma\) 和「期限溢价为正」的要求，它被锁进了 \(\alpha_2<\beta_2<0\) 这个区间。约束多了，估计的标准误自然下来了——但这也意味着它的「显著」一部分来自横截面强加的结构，而非时间序列本身的信号。

Q：低利率处的快速回复呢，倒数项 \(\alpha_{-1}\) 怎么样？

没找到证据。检验 \(\alpha_{-1}=0\) 的似然比只有 0.07，无论哪个测度都拒绝不掉。也就是说，这篇数据（样本内利率最低 0.03）支持的非线性，主要是高利率端的故事，低利率端那条「倒数项」并没有被点亮。考虑到样本最低才 3%，离零还远，这个结果并不意外。

Q：解析近似会不会成为结论的软肋？

这是合理的担心。Takamizawa and Shoji (2003) 的近似精度随到期期限 \(\tau\) 增大而下降，所以作者只用一、三、六月期这种短端数据，把误差压在可控范围内。换句话说，这篇文章的结论严格说是「短端期限结构隐含的非线性」，外推到长端（多因子才描述得了）需要另作论证。

(b) 几个可能的研究问题与提案

1. 把这套「横截面识别漂移」搬到公司债的信用利差期限结构上。 【经济故事】公司债的违约强度（default intensity）同样有一个漂移，且大家普遍怀疑它在信用恶化时高度非线性（危机时违约率快速攀升）。能不能像本文用国债利差识别短利率漂移那样，用不同期限的信用利差横截面去识别违约强度漂移的形状？ 【可行性】中。数据上 TRACE 加 Markit CDS 可以拼出按期限的信用利差面板；识别上需要一个 reduced-form 强度模型加无套利约束。难点是公司债流动性噪声远大于国债，测量误差结构要做得更细——这恰好是本文 \(f_C\) 那套自相关测量误差建模能借力的地方。

2. 外资持有人结构会不会改变风险中性漂移的非线性？ 【经济故事】本文把风险中性漂移的非线性归因于期限溢价的形状，而期限溢价又取决于谁在持有债券。如果某国国债的外资持有比例骤升（如被纳入全球指数），其期限溢价的状态依赖性应当改变，进而风险中性漂移的非线性程度也该随之移动。 【可行性】中偏低。需要一个有外资持有比例变化的自然实验（指数纳入是不错的候选），再在前后两段分别估本文这类模型比较 \(\beta_2\)。难点是结构断点和参数稳定性的统计推断。（这条线索与《一起涨跌，不等于一起被定价》的国债定价视角天然相邻。）

3. 用本文的「分测度」诊断重做 Chapman-Pearson 式的蒙特卡洛。 【经济故事】既然本文声称横截面能识别出时间序列识别不了的东西，那就该反过来问：如果真实数据生成过程是线性物理漂移 + 非线性风险中性漂移，本文的估计程序会不会在物理漂移上也造出虚假非线性？ 【可行性】高。纯模拟实验，不需要新数据，把本文的 DGP 设定清楚跑蒙特卡洛即可。这是对本文识别可信度最直接、最 doable 的一次压力测试。

4. 把暂时性冲击显式建模，而不是「去掉」。 【经济故事】本文在日频数据里用一阶自相关测量误差来「吸收」暂时性冲击。但这些冲击本身（如货币市场流动性扰动）可能含有信息。能不能把它建成一个独立的快速均值回复因子，看它是否吸走了一部分被误判为「非线性漂移」的变动？ 【可行性】中。需要一个双因子（持久 + 暂时）短利率模型，估计负担上升，但本文的 ML 框架可以直接扩展。识别靠的是两因子在不同频率上的方差贡献差异。

我的判断

这篇文章最漂亮的地方，是它没有去赢那场二十年的辩论，而是换了个问法。当所有人都在「时间序列能不能识别非线性」这一个坑里反复拉锯时，它把横截面这口新井打了下去，结果逼出了一个比「是/否」更有信息量的答案：物理漂移线性、风险中性漂移非线性。从方法上看，把 Takamizawa-Shoji 近似嵌进 ML、同时拟合 \(f_T\) 和 \(f_C\)，是一套干净利落的工程。

但我有两点不放心。其一，正如作者自己用 LR = 10.92 诚实揭示的，横截面识别出的物理漂移对时间序列有代价——这等于承认 \(\mu(r)\) 的形状部分是被横截面结构「强加」的，那么风险中性漂移那个看似稳健的 \(\beta_2\)，会不会也部分来自测量误差设定和单因子假设？测量误差被建成自相关结构，本意是防止过度拟合，但它同时也成了一个吸收了大量横截面残差的「黑箱」，结论对它的设定有多敏感，文中交代得不够。其二，单因子假设让结论严格只适用于短端；而真正令人头疼的非线性争议，往往发生在覆盖长端的全曲线上。

后续我最想看到的，是把这套识别框架放到一个多因子期限结构里去——看看当中端、长端利率也被请进横截面后，风险中性漂移的非线性是被进一步坐实，还是像物理漂移那样、一经多源数据交叉验证就悄悄缩水。

参考文献

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