利率会拐弯，是数据说的，还是先验替它弯的？

1 一个被反复确认的「事实」

先从一个让无数固定收益研究者着迷的问题说起：短期利率，到底是怎么「走」的？

它的方差，我们可以用高频数据估得相当准。可它的漂移 (drift)——也就是「下一刻平均会往哪儿动、动多快」——却出了名地难缠。原因很简单：短期利率极其持久 (persistent)，一段样本里它可能几十年都赖在一个区间里慢慢蹭，你几乎看不到几次完整的「回到均值再被推开」的循环。要从这么黏的序列里把漂移的真实形状辨认出来，是一件近乎奢望的事。

如果我们只想给债券定价，这个麻烦其实可以绕开——用 Hull and White (1990) 或 Heath, Jarrow, and Morton (1992) 那样的无套利方法，直接从横截面的债券价格里「倒推」出风险中性测度下的漂移就行。但如果我们想从价格里学到东西、想检验诸如预期假说这类把长短端联系起来的理论，那就躲不过去了：你必须在真实测度下估计这条漂移曲线。

于是，过去二十多年里，一批最聪明的计量工具被搬来对付它。Aït-Sahalia (1996b) 和 Stanton (1997) 各自提出了基于非参数的方法，去估计短期利率的非线性漂移与扩散。两篇文章不约而同地发现：漂移的非线性至关重要。Aït-Sahalia 甚至直言，针对 Chan et al. (1992) 那一类线性漂移模型，「现有模型被拒绝的主要根源，正是漂移的强非线性」。在他的估计里，利率在几乎整个历史区间内都表现得像随机游走，只有在变得很高或很低时才会被拉回中段。Stanton (1997) 得到的图景类似——15% 以下几乎没有均值回复，更高处才出现明显的负漂移。Conley, Hansen, Luttmer, and Scheinkman (1997，下称 CHLS) 的结论更极端：漂移只在 3% 以下或 11% 以上才不为零。

这幅图后来几乎成了教科书插图：利率在中间「躺平」，两端被强力收束。看上去，这是一个被多种方法反复确认的「稳健事实」。

但真正关键的一步在于——这些方法，有没有一个共同的、藏在角落里的假设？

2 平稳性，其实是一句关于漂移形状的先验

有。它们几乎都假设了利率过程的平稳性 (stationarity)。

平稳性听起来人畜无害，甚至颇有经济学魅力：利率总不能无限漂走吧，它该有个长期归宿。可问题是，正式的统计检验并不怎么支持它。Pagan, Hall, and Martin (1996) 报告的各种短期利率 Dickey–Fuller 统计量大多落在 0 到 -2 之间，不足以在 95% 水平上拒绝单位根；连 Aït-Sahalia 那套数据的 Dickey–Fuller 统计量也只有 -2.29，仍高于 5% 的临界值 -2.88。也就是说，我们其实没有把握说利率是平稳的。

接着，一个自然的问题是：假设平稳，到底「免费」吗？

Jones 在这里点破了一层窗户纸：平稳性不是一个中性的技术条件，而是一句关于漂移形状的实质性先验。 想想看，要让一个扩散过程平稳，它的漂移就必须在两端「兜得住」——高了要往下拉，低了要往上推。在本文的主模型里，一个充分条件就是二次项系数 \(\alpha_2<0\) 且 \(1/r\) 项系数 \(\alpha_3>0\)；Aït-Sahalia (1996b) 用的正是这组限制。换句话说，你一旦要求平稳，就等于事先规定了漂移在两端必须弯回来。再去「发现」两端有强非线性回复，多少有点循环论证的味道——无论这个限制看上去多么合理，强加它的分析都冒着把待答问题机械地假设掉的风险。

（关于「数据本身从未触及那些极端区间、漂移的弯却是被假设逼出来的」这层警觉，可参见《数据从没越过那两条线，利率的漂移却「凭空」弯了》。）

更糟的是，即便利率真的平稳，它的高持久性也让小样本推断变得不可靠。Pritsker (1998) 发现，在 Vasicek (1977) 型利率的设定下，Aït-Sahalia (1996b) 那个渐近显著性水平的设定检验，在某些情形下会以约 50% 的概率拒绝为真的原假设。Chapman and Pearson (2000) 则更直接：Stanton 和 Aït-Sahalia 的估计量都存在一种有限样本偏误，会让一条本来是线性的漂移「看起来」是非线性的；他们因此认为，现有证据不足以把非线性漂移当成一个「稳健的程式化事实」。

到这里，张力已经拉满：一边是被反复确认的非线性，一边是「这非线性可能是假设和小样本一起造出来的」。要在二者之间做个了断，需要一把不依赖渐近近似、也能在非平稳下给出准确推断的尺子。Jones 造的，正是这把尺子。

3 模型与方法：把贝叶斯请进扩散过程

先把要检验的模型摆出来。传统的单因子利率，被写成一个带常弹性方差 (constant elasticity of variance, CEV) 的线性漂移扩散：

$$ dr_t = \kappa(\mu - r_t)\,dt + \sigma r_t^{\gamma}\,dB_t . $$

其中 \(\mu\) 是利率漂向的长期均值，\(\kappa\) 是回复速度，\(\sigma\) 度量波动，方差弹性由 \(2\gamma\) 决定。\(\gamma=0\) 即 Vasicek (1977)，\(\gamma=0.5\) 即 Cox, Ingersoll, and Ross (1985)，这一类模型由 Chan et al. (1992) 系统检验过。

Aït-Sahalia (1996b) 主张用灵活的函数形式去逼近未知的真实形状，于是漂移被展开成一个含 \(r_t^2\) 和 \(1/r_t\) 的多项式。本文沿用 CHLS 的设定——Aït-Sahalia 的漂移配上 CEV 扩散——作为贯穿全文的主模型：

值得一提的是，CHLS 注意到：当 \(\gamma>1.5\) 时，连 \(\alpha_2<0\) 这条限制都可以不要——此时过程的平稳可以是「波动诱致」而非「漂移诱致」的。Jones 估出的 \(\gamma\) 恰恰在 1.5 附近，这让「平稳性到底来自漂移还是来自波动」成了一个可以掰扯的真问题。他因此分别考察了强加这两种平稳性的后果。

然后，是真正关键的一步：怎么估？

扩散过程估计的根本难点，在于它的转移密度 (transition density) 通常没有解析式，似然函数因而也写不出来；而贝叶斯后验是先验乘似然再归一化，似然写不出，贝叶斯分析自然也卡住了。Jones 的解法是把三件简单的数值工具拼起来：欧拉离散 (Euler approximation)、Gibbs 抽样器、以及 Metropolis–Hastings 算法——这一支统计技术统称马尔可夫链蒙特卡洛 (Markov chain Monte Carlo, MCMC)。

第一步，把连续过程在长度为 \(h\) 的小步上欧拉离散：

$$ r_{(k+1)h} - r_{kh} = h\,\mu(r_{kh},\phi) + \sqrt{h}\,\sigma(r_{kh},\phi)\,\varepsilon_k,\qquad \varepsilon_k \sim \text{i.i.d.}\ N(0,1). $$

由 Pedersen (1995)、Brandt and Santa-Clara (2002) 的结果，当步长 \(h\to 0\) 时，欧拉近似的似然会收敛到真实扩散的似然。这意味着只要把步长取得足够细，离散化偏误就可以忽略——而这一点对短期利率尤其要紧：日度数据到底够不够「高频」、离散化偏误是否可忽略，本身就是一个只能靠实证去回答的问题（这层「采样频率该多高」的纠结，可参见《一秒一笔的数据，为什么只敢拿 5 分钟用一次？》）。

第二步，是本文方法的灵魂——用高频数据做增广 (data augmentation)。现实里我们往往只有月度或日度的观测，频率不够细。Jones 借用 Tanner and Wong (1987) 的数据增广算法：把观测到的低频数据 \(R^o\) 之间，填进许多条更高频的、未观测的「桥」\(R^u\)。马尔可夫链于是在两个条件分布间交替抽样：先抽参数 \(p(\phi \mid R^o, R^u)\)，再抽路径 \(p(R^u \mid \phi, R^o)\)。其中参数那一步由贝叶斯法则给出：

$$ p(\phi \mid R^o, R^u) \;\propto\; L(\phi; R^o, R^u)\,p(\phi), $$

而欧拉近似让似然 \(L\) 恰好是一串高斯转移密度的乘积，于是这个条件密度高度可处理。至于高维的路径分布 \(p(R^u \mid \phi, R^o)\) 形式未知，Jones 改造了 Jacquier, Polson, and Rossi (1994) 为随机波动率模型设计的循环 Metropolis 链：逐点地、一个一个地把 \(R^u\) 的元素抽出来。

这套「增广」的妙处，在 Jones 笔下被讲得很形象：它不像模拟矩估计那样让模拟路径自由地往前漂、也不像模拟极大似然那样只钉住一端，而是把每条模拟路径的两头都钉在观测数据上，像在低频数据之间架桥。两端都钉死，桥的方差就被大幅压低，蒙特卡洛积分因而更高效。更重要的一点他反复强调：增广高频数据是为了减小离散化偏误，而不是给样本添信息——每条高频路径确实带来信息，但通过对具体路径求期望积分掉，这点信息会在最终后验里被「洗」掉。

这样得到的，是一套即便对非平稳模型也能给出精确有限样本推断的贝叶斯方法。而稳健性的检验思路，借自 Leamer (1985) 与 Poirier (1995)：用一组各自代表某种「先验无知」的先验分别去跑，如果结论对先验设定高度敏感，那就说明并不存在一个「客观」的结论。

4 反转：换一个先验，非线性就消失了

现在把尺子对准那个被反复确认的「事实」。

Jones 用一系列先验重做估计。结论是冷峻的：生成非线性漂移的那些先验，其实可以合理地被解读为「带信息量」的——尤其是那些被广泛当作「无信息」「平」的先验，连同平稳性假设，恰恰是把非线性顶起来的两根柱子。而当他换上一个近似的 Jeffreys 先验、又不强行假设平稳时，结果是：几乎没有任何证据支持利率存在均值回复。

换句话说，那条人人都见过的「中段躺平、两端收束」的漂移曲线，与其说是数据在说话，不如说是「平稳 + 平先验」这套默认配置替数据说的。全面有效的参数分析，未必比被诟病的非参数分析更可靠——结论可能很大程度上是被隐含的先验信念驱动的，而那些先验里含着关于漂移形状的、绝非微不足道的信息。

这正呼应了 Chapman and Pearson (2000) 的怀疑，只是 Jones 用一条完全不同的、贝叶斯的路径抵达了同一个怀疑的终点（关于「换一把尺子，老结论就翻案」的类似故事，也见《利率会不会「拐弯」？——一个被换了把尺子量出来的老问题》）。

5 第二记重拳：非线性只是「日度数据」的幻觉

如果说第四节是釜底抽薪，那么本文最后的发现则是补了一刀。

Jones 指出：支持非线性漂移的证据，主要是高频（日度）数据的特征，而不是月度数据的特征。同一个扩散模型，本该自动决定所有时间跨度上的条件分布——这正是用扩散框架同时看不同频率数据的好处。可现实是，日度和月度给出的结论对不上。

为什么？因为日度数据里含着一个暂时性的噪声成分，它大约占了短期利率日度变动的一半。这部分波动是短命的、会很快消散的，因此它不会反映在更长期限收益率的波动里——长端收益率本质上是对未来短端的平均预期，暂时性噪声在平均中被抹平了。一旦你把这种瞬时噪声误当成短期利率扩散的一部分，再去逐点估计漂移，自然就会「看见」并不存在的非线性。这本身就暴露了单因子模型的一处明显误设。

于是反转之后还有反转：Jones 顺势提出一个简单的两因子扩展——给短期利率加一个潜在的、非线性的随机均值过程 (latent nonlinear stochastic mean)。这个广义模型既调和了不同采样频率下的矛盾结果，又进一步否定了先前那些被「确认」过的非线性。利率确实可能向某个目标回复，但那个目标本身在随机游走，而非一条固定的、两端翘起的漂移曲线在拉它。

（顺带一提：「盯着漂移看了十年、真正说了算的却是波动率与潜变量」这条更广的教训，在 Durham (2002) 那一支里讲得很透，可参见《盯着漂移看了十年，真正说了算的却是波动率》；而用残差去「测谎」利率模型设定的思路，则见《残差不会撒谎：一把能戳穿利率模型的「万能尺」》。）

文献脉络

把这条线索捋一遍，会看到一段「先建模、再质疑、最后用更干净的工具复核」的典型科学演进。

最早是 Vasicek (1977) 和 Cox, Ingersoll, and Ross (1985) 给短期利率写下线性漂移的扩散模型——简单、优雅、可解析。Chan et al. (1992) 把这一类 CEV 模型系统地比了一遍，发现它们在描述短端动态上常常力不从心。

接着，一个自然的方向是放开函数形式。Aït-Sahalia (1996b) 与 Stanton (1997) 各自祭出非参数方法，得到了那条著名的「中段随机游走、两端强回复」的非线性漂移；CHLS (1997) 用 Hansen and Scheinkman (1995) 的矩条件给出了更极端的版本。非线性漂移俨然成了共识。

然后，质疑接踵而至。Pritsker (1998) 和 Chapman and Pearson (2000) 通过蒙特卡洛指出，这些非参数估计在高持久、小样本下并不可靠，甚至会把线性漂移「错认」成非线性。

本文 (Jones, 2003) 正站在这条质疑线的最前端，但它换了一种武器：不是再做一次蒙特卡洛，而是搬来一套基于数据增广的贝叶斯方法，把「平稳性」和「平先验」这两个隐藏的助推器逐一拆解，最终给出「非线性主要是日度噪声的产物」的诊断。它既是对 Aït-Sahalia–Stanton–CHLS 这条主线的复核，也是把贝叶斯 MCMC 引入连续时间利率计量的一次方法论推进。

评论与延伸（Q&A + 研究方向）

Q：「平稳性是一个关于漂移形状的先验」——这话是不是太玄了？

不玄，它有硬约束在背后。一个扩散过程要平稳，漂移就必须在状态空间两端把过程「兜」回来；在本文模型里这对应 \(\alpha_2<0\)、\(\alpha_3>0\)（或 \(\gamma>1.5\) 的波动诱致平稳）。所以「假设平稳」在数学上等价于「事先排除了某些漂移形状」。你若再去检验两端有没有非线性回复，等于一部分答案是自己提前填进去的。

Q：那 Jones 是不是在说「利率根本不均值回复、就是单位根」？

不是。他的措辞很克制：在近似 Jeffreys 先验且不假设平稳时，「几乎没有证据」支持均值回复——这是「证据不足」，不是「证明不存在」。本文的姿态是 Leamer 式的：如果结论对先验设定如此敏感，就说明数据本身没有给出一个稳健、客观的答案，而非反过来断言某个答案为真。

Q：用日度数据不是应该更准吗？为什么这里反而成了麻烦的来源？

因为日度短端价格里混进了与扩散无关的微观结构与暂时性扰动——本文估出这部分约占日度变动的一半。它在更长期限收益率里被平均掉、不留痕迹，说明它不是利率「真过程」的一部分。把它当扩散去拟合，逐点漂移就会被噪声扭出虚假的非线性。这也正是单因子模型被证伪、需要两因子潜在均值的理由。

Q：数据增广会不会偷偷往样本里「塞信息」，把后验做窄了？

这是最常见的误解，Jones 专门澄清过。增广的目的只是降低离散化偏误，不是加信息：每条高频路径确实携带信息，但通过对路径求期望积分掉，这点信息在最终后验里被洗掉。它和模拟矩估计、模拟极大似然属于同一思想谱系，区别在于它把模拟路径的两端都钉在观测上，从而方差更小、计算更省。

Q：既然 Chapman and Pearson (2000) 已经用蒙特卡洛质疑过了，本文的增量在哪？

增量有两层。其一是方法：贝叶斯 MCMC + 数据增广能对非平稳模型给出精确有限样本推断，这是依赖平稳性的渐近频率派方法做不到的。其二是诊断：本文把「非线性」明确归因到两个具体来源——隐含先验（含平稳性）与日度暂时性噪声——并给出一个能调和频率差异的两因子模型，而不只是说「现有证据不够」。

Q：这对预期假说之类的理论意味着什么？

意味着用一条「两端强回复」的非线性漂移去解释长短端关系，可能建立在并不稳健的事实之上。如果真实图景是「向一个随机游走的潜在均值回复」，那么把短端非线性当作期限结构异象的解释（如某些区制转换故事）就需要重新掂量证据基础。

（b）几个可能的研究问题与提案

1. 把这套增广贝叶斯搬到公司债短端利差。【经济故事】信用利差同样高度持久、且高频报价里混着大量交易噪声与流动性扰动；若用单因子线性/非线性漂移去拟合，很可能重演本文的「日度幻觉」。【可行性】中。TRACE 提供日内成交，但报价稀疏、买卖跳动严重，数据增广恰好能在稀疏观测间架桥；难点是利差的噪声结构比国债更复杂，需要谨慎建模暂时性成分。

2. 「漂移非线性 vs. 暂时性噪声」在外资重仓 vs. 本土主导市场的对比。【经济故事】若外资持有人交易更集中、信息传导更快，其参与度高的市场短端噪声成分是否更小、漂移更「线性」？这能把本文的噪声诊断与持有人结构挂钩。【可行性】中至低。需要跨国短端利率 + 持有人结构面板，识别上要处理市场开放度的内生性，可借「可投资度」一类外生变动。

3. 用本文的两因子潜在均值模型给流动性溢价定价。【经济故事】既然日度短端有一半是不传导到长端的暂时性波动，那这部分波动是否正对应了短端的流动性/便利性溢价？把潜在均值的随机性与短端流动性指标对齐，可能给「短端便利收益」一个结构化的度量。【可行性】中。模型现成，难在找到与潜在因子对齐的、可信的流动性代理。

4. 先验敏感性作为「模型可识别性」的常规体检。【经济故事】本文的真正方法论遗产，是把「结论对先验的敏感度」当成证据强弱的诊断。这套思路可推广到任何高持久、弱识别的金融时间序列（如实际利率、汇率漂移）。【可行性】高。只需在既有 MCMC 框架上加跑几组对照先验，几乎零额外数据成本，doable。

参考文献

Aït-Sahalia, Y. (1996b). Testing Continuous-Time Models of the Spot Interest Rate. Review of Financial Studies 9(2), 385–426.

Chan, K. C., Karolyi, G. A., Longstaff, F. A., & Sanders, A. B. (1992). An Empirical Comparison of Alternative Models of the Short-Term Interest Rate. Journal of Finance 47(3), 1209–1227.

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Leamer, E. E. (1985). Sensitivity Analysis Would Help. American Economic Review 75(3), 300–313.

Pedersen, A. R. (1995). A New Approach to Maximum-Likelihood Estimation of Stochastic Differential Equations Based on Discrete Observations. Scandinavian Journal of Statistics 22(1), 55–71.

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