换一把尺子量 beta，「小公司之谜」就消失了

[1989 JFE] The Relation Between the Return Interval and Betas: Implications for the Size Effect
Puneet Handa, S.p Kothari, Charles Wasley
Jun He June 01, 1989
资产定价 规模效应 CAPM 测量误差
Note

本文读的是 Handa, Kothari & Wasley (1989, Journal of Financial Economics)：所谓的「规模效应」对你用多长的收益区间去估 beta 极其敏感——把估 beta 的区间从「月」换成「年」，小公司那块「无法被风险解释」的超额收益，就在统计上消失了。换句话说，规模溢价之谜，很可能是一桩「量错了风险」的公案。

1 一个迟迟不肯散去的幽灵

故事要从一个让无数资产定价学者夜不能寐的「幽灵」说起。

Banz (1981) 发现，如果你把所有股票按市值排序，最小的那一档，其平均收益要比 资本资产定价模型 (capital asset pricing model, CAPM) 所预言的高出一大截——而且这个「高出来」的部分，单靠 beta 是解释不掉的。这就是著名的 规模效应 (size effect)，或者叫「小公司之谜」。它像一根刺，扎在 CAPM 的心脏上：如果一个模型连「公司大小」这种最朴素的特征都管不住，那它凭什么自称是风险与收益的完整刻画？

接着，一个自然的问题是：这个超额收益，到底是「真的」额外收益，还是我们把风险给量小了？

Roll (1981) 提出了一个温和但要命的猜想：小公司的 beta 可能被系统性地低估了。如果真是这样，那所谓的规模溢价，不过是「被漏掉的那部分风险补偿」披上了一件马甲。Reinganum (1982) 顺着这条线做了一次直接检验，发现规模效应确实会被「低估的风险」放大——尤其当你用短区间（比如日度）收益去估 beta 的时候。

到这里，剧情看似明朗：beta 量得不准，所以规模效应是个幻觉。但真正关键的一步，本文三位作者偏偏在所有人都默认「用月度收益估 beta 天经地义」的地方，钉下了一颗钉子——收益区间本身，会系统性地改变 beta。而且，这种改变不是因为短区间数据有非同步交易的噪声，而是一件更底层、更绕不开的事：买入持有收益 (buy-and-hold returns) 的方差和协方差，根本不会随区间「等比例」缩放。

2 为什么 beta 会随「区间」呼吸

我们先把这件事在纸上算清楚，因为它是全文的地基。

把收益定义成 价格相对数 (price relative)：从时点 0 到时点 n 的 n 期买入持有收益就是 \(R_i(n) = P_n/P_0\)。假设单期收益序列无自相关、分布平稳，记单期期望收益 \(\mu_i = E(P_1/P_0)\)，单期协方差 \(\sigma_{ij}\)。

第一步，n 期买入持有收益是单期收益相对数的连乘，于是 n 期的期望收益是单期的 n 次方：

$$\mu_i(n) = [\mu_i]^n$$

第二步，算 n 期收益之间的协方差。利用序列独立性，连乘的期望等于期望的连乘：

$$\sigma_{ij}(n) = E[R_i(n)R_j(n)] - E[R_i(n)]\,E[R_j(n)] = \big(E[R_i(1)R_j(1)]\big)^n - [\mu_i\mu_j]^n$$

而 \(E[R_i(1)R_j(1)] = \sigma_{ij} + \mu_i\mu_j\)，代回即得论文脚注 7 的那个漂亮结果：

$$\sigma_{ij}(n) = [\sigma_{ij} + \mu_i\mu_j]^n - [\mu_i\mu_j]^n$$

第三步，beta 照定义是「资产对市场的协方差除以市场方差」。把 \(j\) 换成市场代理 \(m\)，n 期 beta 就是：

$$ \beta_i(n) = \frac{\cssId{a1}{[\sigma_{im} + \mu_i\mu_m]^n} - \cssId{a2}{[\mu_i\mu_m]^n}}{\cssId{a3}{[\sigma_{mm} + \mu_m^2]^n - [\mu_m^2]^n}} $$

现在请盯住这个分式：分子和分母都是「某个底数的 n 次方再相减」，可两个底数并不相等。这意味着，当 \(n\) 从 1 变到 12 再变到 252 时，分子和分母不会等比例地一起变大。于是——beta 随 \(n\) 漂移，这是个纯粹的代数事实，与交易摩擦毫无关系。

Tip

一个反直觉的角落：如果用 连续复利收益 (continuously compounded returns，即价格相对数取对数)，方差和协方差就会等比例地随区间放大，beta 反而不随区间变化。本文的全部张力，恰恰来自实证里大家普遍使用的是买入持有收益——这才是 beta 会「呼吸」的根源。

那它往哪个方向漂？Levhari and Levy (1977) 早就给出了证明，本文把它的实证含义讲透了：

一句话：区间越长，高风险股票的 beta 越被推高，低风险股票的 beta 越被压低，两端的 beta 价差被拉大。

这正是数据所展示的。本文用按市值排序的 20 个组合（MV1 最小、MV20 最大），把 beta 在 8 种区间上各估一遍。最小市值组合 MV1 的 beta，从月度的 1.41 一路升到年度的 1.66；而最大市值组合 MV20 的 beta，从月度的 0.67 跌到年度的 0.56。两端朝相反方向张开，与理论严丝合缝。

Table 1

Table 1

注意，这里小公司 MV1 是高 beta 端（beta>1），所以拉长区间反而把它的 beta 抬得更高——而恰恰是「月度 beta 漏掉了这部分风险」。规模效应的幽灵，第一次露出了它的真身。

Warning

作者特意排除了一个常见的「替罪羊」。日度、周度 beta 的剧变通常被归因于非同步交易 [Scholes and Williams (1977)、Cohen et al. (1983)]。但本文聚焦的是月度及更长区间，并用「序列无关的收益成分」重估了一遍 beta，结果与原表几乎无差别——所以这里的 beta 敏感性，不是交易摩擦造成的，而是买入持有收益的代数本性。

3 测量误差如何「凭空」制造一个规模效应

讲清了 beta 会变，下一个问题就尖锐了：拉长区间，beta 的标准误也会变大（年数据观测点更少）。那么——会不会两件事其实是同一件事？也就是说，年度 beta 之所以「更能解释收益」，纯粹是因为它噪声更大、把规模变量挤了出去？

要回答它，得先把「测量误差」这把刀的作用方向算明白。考虑 Fama-MacBeth 式的第二轮横截面回归：

$$R_{pt} = \gamma_{0t} + \gamma_{1t}\,b_{p,t-1} + \gamma_{2t}\,MV_{p,t-1} + \varepsilon_{pt} \tag{3}$$

其中 \(b_{p,t-1}\) 是用 \(t-1\) 期之前数据估出的 beta，它以误差 \(u\) 测量「真」beta：\(b = \beta + u\)，\(u\) 均值为零、方差 \(\sigma_u^2\)、横截面无关；公司规模 \(MV\) 则被假设无测量误差。在这些假设下，beta 系数的概率极限是：

$$\text{plim}\,\hat\gamma_1 = \frac{\sigma_1^2\sigma_2^2 - \sigma_{12}^2}{(\sigma_1^2 + \sigma_u^2)\sigma_2^2 - \sigma_{12}^2}\,\gamma_1^* \tag{4}$$

这里 \(\sigma_1^2 = \text{var}(\beta_{p,t-1})\)、\(\sigma_2^2 = \text{var}(MV_{p,t-1})\)、\(\sigma_{12} = \text{cov}(\beta, MV)\)。分母比分子多了一项 \(\sigma_u^2\sigma_2^2\)，所以 beta 系数被朝零方向压缩，且 \(\sigma_u^2\) 越大、压得越狠——这是经典的衰减偏误。

但真正的反转藏在规模系数里：

$$\text{plim}\,\hat\gamma_2 = \gamma_2^* + \frac{\sigma_u^2\,\sigma_{12}}{(\sigma_1^2 + \sigma_u^2)\sigma_2^2 - \sigma_{12}^2}\,\gamma_1^* \tag{5}$$

现在做一次符号推演。Banz (1981) 早已记录：公司规模与 beta 负相关，即 \(\sigma_{12} < 0\)。分母可证为正，\(\gamma_1^* > 0\)（风险有正价格），而在没有任何理论把规模与期望收益联系起来时，规模的「真」系数 \(\gamma_2^* = 0\)。于是第二项是负的——

$$\gamma_2^* = 0 \;\Longrightarrow\; \text{plim}\,\hat\gamma_2 < 0$$

结论惊人：哪怕规模本身对收益毫无作用，只要 beta 被测量误差污染，回归也会自动吐出一个显著为负的规模系数。 而且 \(\sigma_u^2\) 越大，这个虚假的规模效应越强。这就为「为什么短区间 beta 下规模效应更猛」给出了纯统计学的解释。

到这里，棋局变得微妙。测量误差假说预言了两件事：用噪声更大的年度 beta，应当更难解释收益，且应当伴随更强的规模效应。如果数据反过来——年度 beta 不但没被噪声淹没，反而把规模效应赶走了——那测量误差就不是主因，区间差异反映的是 beta 的真实不同。这就成了一个可以让数据来裁决的经验问题。

4 让数据开口：当年度 beta 走上证人席

作者把月度 beta \(b_m\) 与年度 beta \(b_a\) 同时塞进第二轮回归：

$$R_{pt} = \gamma_{0t} + \gamma_{1t}\,b_{mp,t-1} + \gamma_{2t}\,b_{ap,t-1} + \varepsilon_{pt} \tag{7}$$

样本是 1941—1982 的 504 个月，逐月估计后取时间序列均值；考虑到 20 个市值组合残差间的截面异方差与互相关，作者同时报告 OLS 与 GLS（用残差协方差阵的 Choleski 分解做变换）结果。

Table 4

Table 4

结果是这样的：在全样本 GLS 回归里，年度 beta 的系数显著为正（约 0.71%/月，t ≈ 2.89），而月度 beta 的系数虽然数值不小（约 0.79%/月），其 t ≈ 1.76 在常规水平上与零无异。换句话说，当两把尺子同台竞技，统计精度更差的年度 beta 反而把月度 beta 比了下去——这与「年度 beta 只是噪声更大」的预测正好相反。OLS 与 GLS 结果高度一致，分子样本期里这一格局也大体稳定。

最后一步，也是全文的落点：把公司规模也加进来，与月度 beta、年度 beta 一起竞争。

Table 5

Table 5

答案干净利落：唯有年度 beta 的系数仍然显著为正；月度 beta 与公司规模，都退回到与零无法区分的位置。 规模效应不是被「修正」掉的，而是当我们用一把更长的尺子量风险时，它自己消失了。

回到前面 Table 2 的描述性证据就更直观了：最小组合 MV1 月均收益 2.40%、年度 beta 高达 1.66；最大组合 MV20 月均收益 0.88%、年度 beta 仅 0.56。小公司的高收益，配上一个被月度数据藏起来、却被年度数据照出来的高 beta——风险与收益，原来一直对得上账，只是我们之前用错了量风险的工具。

5 文献脉络

把这条线索摆开看，它其实是一场「规模效应到底是不是风险」的长期拉锯。

最早，Banz (1981) 与 Reinganum (1981) 把规模效应钉成了 CAPM 的头号异象。紧接着，Roll (1981) 抛出「小公司风险被低估」的猜想，Reinganum (1982) 顺势证实短区间下规模效应被放大，Roll (1983) 与 Blume and Stambaugh (1983) 则提醒大家：买入持有与每日再平衡算出来的收益能差出 50% 的小公司溢价——「怎么算收益」本身就是个雷区。

与此平行的另一条暗线，是 Levhari and Levy (1977) 早在十多年前就证明的「投资期限会改变 beta」，以及 Scholes and Williams (1977)、Cohen et al. (1983) 关于非同步交易如何扭曲短区间 beta 的工作。本文的高明之处，在于把这两条线接到了一起：它借用 Levhari-Levy 的区间—beta 代数，又用 Fama and MacBeth (1973) 的第二轮回归框架去检验，最终把「规模效应」改写成「区间错配下的 beta 测量问题」。Chan and Chen (1988) 关于「以规模作为风险工具变量」的讨论，则与本文的测量误差分析互为呼应。

文献脉络时间线
文献脉络时间线（按发表年份排布；红色为本文）

这条思路此后绵延不绝。后来人们意识到，beta 不只随区间变，还随时间、随商业周期变——风险一旦「会看天」，规模、价值这些异象往往就被收编进去（关于这一点，可参见《会「看天」的 beta：当风险收编了价值与规模，动量却躲进了商业周期》与《时变的 beta，被低估了二十年的风险》）。而「beta 偷偷换了脸会让定价检验失真」这件事，也几乎是「输家翻身」之谜的同一种病（见《「输家翻身」之谜：真相不是市场犯傻，而是 beta 偷偷换了脸》）。本文是这一整套「先怀疑尺子、再怀疑世界」方法论的早期范本。

6 评论与延伸（Q&A + 研究方向）

(a) 几个可能的疑问

Q：beta 随区间变，到底是统计假象还是真实的风险差异？

是真实的代数事实，不是估计噪声。只要用的是买入持有收益，eq (2) 的分子分母按不同底数取 n 次方，beta 必然随区间漂移；若改用连续复利收益，方差协方差等比例缩放，beta 就不随区间变。所以这不是「样本太小」的问题，而是收益的复利结构决定的。

Q：那年度 beta「赢了」，会不会只是因为它噪声大，把别的变量挤掉了？

这正是测量误差假说的预测，而数据否决了它。eq (5) 表明：噪声更大的 beta 应当制造更强的规模效应、且更难解释收益。但实证里恰恰相反——精度更差的年度 beta 显著为正（t≈2.89），还顺手把规模效应抹平了。方向不对，所以主因不是噪声。

Q：为什么是「年度」beta 这么神，而不是季度、半年度？

文中 Table 1 显示 beta 的漂移在月度→季度之间最剧烈，之后边际放缓但仍在继续。年度只是把这种「真实的长区间 beta」推到足够明显、足以在回归里压过规模变量的程度；并非年度有什么神圣性，而是区间越长、高低风险 beta 的价差被拉得越开。

Q：用 15 年重叠窗口估 beta，参数稳定吗？

作者承认这是个取舍。但他们指出，由于组合成分每年重排，参数非平稳问题没有「单只股票估 15 年」那么严重；并援引 Chan and Chen (1988)：5 年与 15 年月度 beta 的相关系数高达 0.88，说明拉长窗口尚可接受。

Q：这是否意味着 CAPM 被「救活」了？

谨慎地说，是「在这个检验里站住了」。本文说明：一旦风险的度量与投资者真实的持有期限匹配，规模这个特征就不再有增量解释力。但它没有证明月度投资者也该用年度 beta——它真正动摇的，是「月度 beta 是唯一正确尺子」这个隐含假设。

Q：买入持有 vs 再平衡，这个细节真有那么重要？

重要到能改写结论。Roll (1983) 报告两种算法的小公司溢价能差 50%。本文坚持用等权样本均值收益作市场代理、并严格按买入持有累计长区间收益，正是为了不让「再平衡」偷偷篡改协方差结构——否则连 eq (2) 的前提都不成立。

(b) 几个可能的研究问题与提案

  1. 公司债市场里的「区间—beta」错配
  2. 【经济故事】公司债收益的偏度与久期结构远比股票复杂，信用利差对「用日度还是月度估系统性风险」可能同样敏感。若高收益债的「信用 beta」在长区间下被显著抬高，那么文献里许多「信用利差无法被风险解释」的异象，可能也是区间错配的产物。

  3. 【可行性】中。需要 TRACE 逐笔成交构造干净的债券买入持有收益、以及一个公司债市场因子；识别上可直接平移本文的双 beta 第二轮回归。难点在于债券交易稀疏，长区间收益的非同步问题比股票更棘手。

  4. 外资持有人的「有效持有期」与他们感知的 beta

  5. 【经济故事】不同投资者的真实持有期限不同（高频做市商 vs 养老金 vs 主权基金）。若按本文逻辑，长期外资持有人「感知」到的 beta 与短线本土交易者并不相同，这可能为「外资偏好低 beta 大盘股」之类的现象提供一个纯测量层面的解释。

  6. 【可行性】中偏低。需要把持有期限映射到收益区间，并有投资者类型层面的持仓数据（如 13F 或托管层面数据）。识别困难在于持有期内生于风险偏好，需找外生冲击（如锁定期、税收期限）。

  7. 区间敏感性作为「异象稳健性」的统一筛子

  8. 【经济故事】把本文的检验做成一个通用诊断：对每个横截面异象，系统比较「短区间 beta」与「长区间 beta」下其 alpha 的存亡。能被长区间 beta 吸收的异象，更可能是风险；不能被吸收的，才值得当真。

  9. 【可行性】高。CRSP 数据齐备，方法就是把异象组合收益对多区间 beta 回归。是一个 doable、且能立刻产出大样本结论的项目。

  10. 流动性溢价与区间错配的纠缠

  11. 【经济故事】流动性差的小盘股既被怀疑「beta 低估」，又被怀疑「流动性溢价」。本文的代数提供了一个干净的分离：先用长区间 beta 吸走风险那一块，再看流动性变量是否还有增量解释力。
  12. 【可行性】中。需要 Amihud 非流动性等度量与多区间 beta 并置回归；识别上要小心流动性与 beta 测量误差的共线性。

7 参考文献