用了十年数据，期权价格还是错了六成——一把 1956 年的老刀，怎样削掉它

1 一个让人不安的开场

先设想一个让做衍生品的人都很熟悉的场景。

你手里有一只期权——比如一只挂在三年期贴现债券上的一年期欧式看涨期权。它的定价不靠拍脑袋：Cox、Ingersoll 和 Ross (1985)（下称 CIR）早就给出了闭式解，价格是短期利率那条扩散过程参数的明确函数。你也不缺数据，手上摆着十年出头的周度利率序列。你用的更是计量经济学里的「金标准」——最大似然估计 (maximum likelihood estimation, MLE)，渐近性质好得无可挑剔。

万事俱备。可当你把估出来的参数代回 CIR 的期权公式，算出来的价格，比真值低了六成。

这不是危言耸听，而是本文 Table 1 第一行白纸黑字的结果：真实的均值回复速度 k = 0.1，期权真值是 2.392，而 MLE 给出的均值只有 0.9426——偏差 −60.6%。

问题出在哪？不是你的公式错了，不是你的数据脏了，也不是离散化 (discretization) 那点老生常谈的近似误差。真正的元凶，是一个常被一句「渐近无偏」就轻轻放过的东西——有限样本偏差 (finite sample bias)。而本文要讲透的，正是这一件事：在债券期权定价里，估计偏差才是最被低估的敌人，它甚至比设定误差更值得你操心。

2 偏差从哪里来：一个「贴着单位根」的老问题

要理解这六成是怎么来的，得先回到一个比期权古老得多的话题。

首先，在最普通的一阶自回归 (first-order autoregression, AR(1)) 模型里，MLE / 最小二乘对自回归系数 φ 的估计是向下偏的。这件事 Hurvicz (1950)、Orcutt (1948) 早就用解析和蒙特卡洛两种办法证过；Kendall (1954) 还给出了一阶近似下的偏差公式：

$$E(\hat{\phi}) - \phi = -\frac{1+3\phi}{T} + O\!\left(T^{-2}\right)$$

据此一个最自然的纠偏就是把它加回去：

$$\hat{\phi}_K = \hat{\phi} + \frac{1+3\hat{\phi}}{T}$$

关键在那个 1+3φ：φ 越靠近 1，偏差越大。而且 Andrews (1993)、Orcutt & Winokur (1969) 还发现，一旦回归里多塞进截距、时间趋势，偏差会进一步被放大。

接着，一个自然的问题是：连续时间的扩散模型，会不会也染上这个毛病？答案是——会，而且更狠。原因藏在离散化的代数里。一个均值回复型扩散，离散观测下满足的差分方程和 AR(1) 几乎同形，其自回归系数恰好是

$$\phi = \exp(-k\Delta) \approx 1 - k\Delta$$

这里 Δ 是观测间隔（周度 Δ=1/52，月度 Δ=1/12）。在实务里 k 往往非常接近零，于是 φ 就死死贴着 1——一个标准的「近单位根 (near unit root)」情形，正是 AR 偏差最猖獗的地带。

但真正致命的一步在于换算。k 的偏差大致等于 φ 的偏差再乘上 1/Δ。周度数据 1/Δ = 52——φ 那点看起来不起眼的偏差，被放大了五十多倍。这就是为什么 Chapman & Pearson (2000) 哪怕用了 7500 个观测，估出来的 k 仍然显著上偏；Ball & Torous (1996) 也发现 m、σ 都能估得很准，唯独 k 的抽样分布严重上偏。

3 模型这一节：CIR 里，价格如何「听命于」k

本文的舞台是一族常弹性方差 (constant elasticity of variance, CEV) 模型——也就是 Chan et al. (1992) 用来横向比拼各种短率模型的那个框架：

$$dr(t) = k\big(m - r(t)\big)\,dt + s\,r^{g}(t)\,dB(t)$$

其中 r(t) 是瞬时无风险利率，B(t) 是标准布朗运动，θ = (k, m, g, s)。r(t) 以速度 k 向无条件均值 m 回复，k 就是那个我们反复在说的均值回复参数。

把 g 设为 1/2，就得到本文主战场——CIR 的平方根模型：

$$dr(t) = k\big(m - r(t)\big)\,dt + s\,r^{1/2}(t)\,dB(t)$$

为什么偏偏挑平方根模型来做实验？因为它「干净」：Feller (1951) 与 CIR (1985) 给出了它的转移密度与边际密度的闭式解——

$$p\big(r(t+\Delta)\mid r(t)\big) = c\,e^{-u-v}\left(\frac{v}{u}\right)^{q/2} I_q\!\left(2\sqrt{uv}\right)$$

其中 c = 2k/\big(s^2(1-e^{-k\Delta})\big)、u = c\,r(t)e^{-k\Delta}、v = c\,r(t+\Delta)、q = 2km/s^2 - 1，I_q(\cdot) 是 q 阶第一类修正贝塞尔函数。有了它，作者可以直接从连续时间模型模拟离散观测（绕开模拟误差），也可以精确做 ML 估计（绕开离散化偏差）。再加上债券价格 P(t,s) 与债券期权价格 C(t,τ;s,K) 同样有解析解——这样一来，蒙特卡洛里量出来的任何偏差，就只能归因于估计本身，干净利落。

那么价格究竟怎样「听命于」k？本文的 Figure 2 把它画得很清楚：债券价格与期权价格都是 k 的非线性、单调递减函数。这带来两个要命的后果：

• 第一，k 一上偏，债券价格与期权价格就一起下偏——偏差被原封不动地传递了过去；
• 第二，期权价格对 k 的敏感度远高于债券价格，而且 k 越小，敏感度越大。

这正解释了那组对照数字：同样是 k 上偏 391.2%，债券价格只低估了 2.48%，期权价格却低估了 60.6%。债券厚实迟钝，期权薄而敏感——同一阵风，吹弯的是期权。

4 关键的一步：一把不需要知道「偏差长什么样」的刀

到这里，问题已经很清楚：得给 k（以及最终的价格）纠偏。

但传统纠偏法都有软肋。Kendall (1954) 那种靠展开式的办法，需要你先写出偏差的解析表达式——可在 CIR 期权这种层层嵌套贝塞尔函数的复杂结构里，这个展开式根本写不出来。Andrews (1993) 的中位数无偏 (median-unbiased) 估计依赖精确的中位数函数，而且只能用在参数上，对期权价格这种依赖整个分布细节的复杂量无能为力。MacKinnon & Smith (1998) 的偏差函数逼近、自助法 (bootstrap) 又都贵。

于是反转出现了：作者搬出了一件 Quenouille (1956) 就发明、却从没人用在连续时间模型上的老工具——刀切法 (jackknife)。它的精妙之处恰恰在于「不需要知道偏差长什么样」。

做法朴素到近乎粗暴。把长度为 T 的样本切成 m 段互不重叠、各自等长（ℓ = T/m）的子样本；记全样本估计为 \hat{\theta}_T，第 i 段子样本的估计为 \hat{\theta}_{\ell,i}。然后做一个加权组合。

为什么这能消偏？一步步看。假设偏差有如下展开：

$$E(\hat{\theta}_T) = \theta + \frac{a_1}{T} + \frac{a_2}{T^2} + \cdots$$

那么长度只有 ℓ = T/m 的子样本，其领头偏差就被放大了 m 倍：

$$E(\hat{\theta}_{\ell,i}) = \theta + \frac{a_1}{\ell} + O\!\left(\ell^{-2}\right) = \theta + \frac{m\,a_1}{T} + O\!\left(T^{-2}\right)$$

只要把全样本「放大一点」、再减去子样本均值的某个倍数，那个讨厌的 a_1/T 就能精确对消：

$$E(\hat{\theta}_{\text{jack}}) = \frac{m}{m-1}\left(\theta + \frac{a_1}{T}\right) - \frac{1}{m-1}\left(\theta + \frac{m\,a_1}{T}\right) + O\!\left(T^{-2}\right) = \theta + O\!\left(T^{-2}\right)$$

把这一步翻译成估计量，就是本文的核心方程：

注意这里没有出现 a_1、a_2 的任何具体形式——这正是刀切法的全部魅力。你不必知道偏差是 1+3φ 还是别的什么牛鬼蛇神，只要它能展开成 1/T 的幂级数，这把刀就削得动。

更进一步，也是本文最实用的一招：既然刀切法对「量」没有任何形式上的要求，那就干脆不要纠 k，直接纠期权价格 P 本身。把上式里的 \hat{\theta} 换成期权价格的估计，立刻就把「估计误差 + 非线性」一并带来的偏差也一起削掉了——这是只纠参数的中位数无偏法做不到的。Lo (2003) 曾把刀切法用在 Black–Scholes 上，但用在利率衍生品和均值回复参数上，本文是头一回。

5 它到底有多管用

光有道理还不够，得看蒙特卡洛。

本文固定 m = 0.08（无条件均值 8%），让 k 取 0.1, 0.2, …, 0.6，对应的周度自回归系数落在 0.9981 到 0.9885——全在近单位根区。Table 1 给的是周度、样本量 600（十年出头，正是 LIBOR / 互换数据的典型跨度）下的结果。

Table 1: gives the weekly frequency results with sample size 600. This

读第一行就够震撼了。真值 k = 0.1：MLE 的均值是 0.4912（上偏 391.2%），而刀切估计把它拉回到 0.0765，几乎贴着真值。期权那一栏，真值 2.392，MLE 只有 0.9426，刀切估计是 1.2989——离真值还有距离，但已经把六成的偏差砍掉了一大块。把数据换成月度、拉到 50 年（600 个月度观测），MLE 对 k 的偏差仍有 84.5%，期权仍低估 24.4%——长样本根本救不了你。这一点和长期限预测回归里「样本越长、偏差反而越顽固」的近单位根困境如出一辙（可参见《用更多的数据，买来更大的偏差》）。

但天下没有免费的午餐：纠偏往往要拿方差去换。Table 1 里刀切估计的标准差确实更大，于是在周度、k=0.1 这一格，期权的均方根误差 (root mean squared error, RMSE) 刀切（1.7423）反而略高于 MLE（1.7148）。作者对此很坦诚，并专门设计了一个降方差版本的刀切，使得偏差校正不至于被暴涨的方差吃掉。在直接对期权价格做刀切的月度 CIR 实验里（本文 Figure 1），刀切估计的 RMSE 比 MLE 小 12.1%，同时还带来 11.5% 的偏差缩减——鱼与熊掌可以兼得。

子样本个数 m 怎么选，是另一处需要权衡的旋钮：m 越大，偏差削得越狠，但每段子样本越短、方差代价越高。本文专门考察了 m=2 等小值的表现。

Table 9: reports the results with m¼2. The jackknife estimate of k is

最后一个、也是我个人觉得最有意思的结论：作者把模型故意设定错（用错误的扩散项），刀切法依然能在 k 的估计和期权定价两头同时减小偏差。换句话说——在债券期权定价里，纠偏可能比把扩散项设定对，还要来得重要。这句话颇有点反直觉的分量。本文还把整套办法搬到了双因子仿射 (two-factor affine) 模型，并用美元互换与 LIBOR 数据做了实证，发现刀切与标准法给出的债券、期权价格差异「很大」，足以影响实务决策。

6 文献脉络

把这条线捋一捋，会发现本文站在两股水流的交汇处。

一股来自离散时间的偏差研究：Orcutt (1948)、Hurvicz (1950) 最早把 AR 估计的向下偏差摆上台面，Kendall (1954) 给出了一阶偏差公式，Andrews (1993) 则把它推进到精确中位数无偏估计——这是「人们如何纠 AR 偏差」的主干。

另一股来自连续时间模型的估计：CIR (1985) 与 Feller (1951) 奠定了平方根模型的解析基础，此后 Chan et al. (1992) 做了短率模型的横向大比拼；而 Ball & Torous (1996)、Chapman & Pearson (2000) 等人则相继发现，正是那个均值回复参数 k，在各种方法下都被系统性地上偏。

本文的位置，就在两股水流的合处：它第一次把 Quenouille (1956) 的刀切法引进连续时间模型，既治了 k 的偏差，又顺手把这个偏差对衍生品价格的非线性传导一并解决了。它要回答的问题不再是「k 估偏了没有」（那已是共识），而是「这点偏差到底让你的期权价格错了多少，又能不能用一把便宜的老刀削掉」。

7 评论与延伸（Q&A + 研究方向）

(a) 几个可能的疑问

Q：这里说的「偏差」，和老生常谈的「离散化偏差」是一回事吗？

不是，而且本文反复强调这正是它的要点。离散化偏差来自「用差分方程近似连续过程」；本文里因为平方根模型有闭式转移密度，作者直接对连续模型做精确 ML，离散化偏差被彻底绕开了。剩下的、也是真正大头的，是有限样本估计偏差——它源于近单位根下的统计性质，与离散化无关，量级却大得多。

Q：既然渐近无偏，为什么不直接多取点数据？

因为这里的偏差对样本量「免疫」得出奇。k 接近零意味着 φ = exp(-kΔ) 贴着单位根，而近单位根情形下偏差消退极慢。本文用 50 年月度数据，k 仍上偏 84.5%、期权仍低估 24.4%。在金融实务可得的任何样本里，「等数据攒够」都不是出路。

Q：刀切法和自助法 (bootstrap)、中位数无偏估计比，凭什么胜出？

三个字：又通用又便宜。它不需要偏差的解析展开（Kendall 式办法要），不限于参数、能直接作用在期权价格这种复杂量上（中位数无偏做不到），计算成本也只与初始估计同量级，远低于自助法。代价是可能抬高方差，但作者给出了降方差的改良版。

Q：直接对期权价格做刀切，和先纠 k 再代公式，哪个好？

本文的发现是前者更优。先纠 k 只处理了参数偏差，而期权价格里还有「估计误差 + 非线性」共同制造的额外偏差；直接对价格动刀，把这两块一并削掉。Figure 1 显示直接法的 RMSE 比 MLE 小 12.1%。

Q：模型设定错了，纠偏还有意义吗？

有，而且本文给出一个略带挑衅的结论：在错误设定扩散项的情况下，刀切法仍能同时减小 k 与期权价格的偏差，其重要性甚至可能超过「把扩散项设定对」。这提醒做衍生品的人，别只盯着模型形式，先把偏差这件事处理好。

Q：这套办法只能用在利率衍生品上吗？

不。作者明确指出，任何「定价量依赖于连续时间系统估计、且存在有限样本偏差」的场合都适用——含随机利率的股票期权、货币期权、各类利率衍生品都在射程之内。它对估计方法也不挑食，MLE、GMM 之类都能套。

(b) 几个可能的研究问题与提案

1. 把刀切法搬到公司债的信用利差期限结构上。 【经济故事】信用风险的结构模型（如带均值回复的违约强度过程）同样依赖一个回复速度参数，而公司债数据比国债更短、更脏，近单位根偏差只会更严重——它会系统性地扭曲 CDS 与信用期权的定价。 【可行性】中。结构上与本文几乎平行，刀切法可直接移植；难点在于信用强度过程往往没有闭式解，需要数值定价，且要把流动性噪声从价格里剥离。数据可用 TRACE 与 Markit CDS。

2. 外资持有比例高的新兴市场国债，偏差是否更毒？ 【经济故事】新兴市场利率序列短、且常因资本流动呈现更强的持续性（φ 更贴近 1），按本文的逻辑，k 的上偏会更夸张，从而让当地利率衍生品定价更不可靠——这对依赖这些价格做风险管理的外资是实打实的成本。 【可行性】中。识别清晰（横截面比较「序列持续性 × 偏差量级」），但优质的新兴市场利率衍生品价格数据稀缺，可能要退而求其次用模型隐含价格做蒙特卡洛论证。

3. 在流动性危机里，估计偏差与流动性折价谁更主导债券定价误差？ 【经济故事】危机期间利率序列更持续、样本窗口被迫缩短，估计偏差与流动性折价同时发作。把两者拆开、各自归因，能告诉风险管理者「危机里你算错的价，有几分是统计假象、几分是真实的流动性溢价」。 【可行性】中偏低。需要把本文的偏差量化与一套干净的流动性度量结合，识别两条渠道存在共线性风险，但思路本身很有现实意义。

4. 机器学习定价器会不会「学进」这个偏差？ 【经济故事】如今越来越多人用神经网络做衍生品定价的代理器（可参见《把结构模型「蒸馏」成一张查找表》）。若训练标签本身来自有偏的 ML 参数估计，偏差会被原样「蒸馏」进网络——刀切式的样本切分能否作为一种廉价的纠偏正则？ 【可行性】高。纯模拟即可验证，数据完全自造，与本文的蒙特卡洛框架天然衔接。

8 我的判断

本文的贡献在于把一个被「渐近无偏」掩盖了几十年的实务隐患，量化得无可辩驳：391.2% 的参数偏差、60.6% 的期权定价偏差、以及「50 年数据也救不回来」这三组数字，单独拎出任何一组都足够让做衍生品的人坐直身子。而它给的解药——刀切法——朴素、通用、便宜，还能直接作用在价格本身上，几乎是「拿来即用」。这种「问题量级 + 廉价解法」的组合，是篇好的方法论文该有的样子。

要说对识别的担忧，我有两点。其一，全部偏差量级都建立在平方根模型设定正确的蒙特卡洛之上；尽管作者用错误设定做了稳健性检验并声称结论不变，但现实里扩散项的形式可能错得更离谱，那时「纠偏比设定更重要」这句话还成不成立，证据其实有限。其二，刀切法靠的是「子样本偏差是全样本 m 倍」这个展开式假设，可在极端近单位根（k 真的逼近 0）时，偏差的 1/T 展开本身是否还可靠，是个理论上没完全压实的角落——而那恰恰是利率数据最常落脚的地方。

后续我最想看到的，是把这套办法接到真实的、带流动性摩擦的市场价格上，而不止于模拟与互换利率：当价格里同时混着估计偏差、流动性折价和设定误差时，刀切法削掉的究竟是哪一块、削得干不干净。这一步迈过去，它才算从一个漂亮的统计修正，变成交易台上真正敢用的工具。

参考文献

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Ball, C. A., & Torous, W. N. (1996). Unit Roots and the Estimation of Interest Rate Dynamics. Journal of Empirical Finance 3(2), 215–238.

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Chapman, D. A., & Pearson, N. (2000). Is the Short Rate Drift Actually Nonlinear? Journal of Finance 55(1), 355–388.

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