从一张期权报价单里，读出投资者今天有多怕

1 一个被「平均」抹掉的问题

先讲清楚定价核（pricing kernel，又称随机贴现因子 stochastic discount factor）到底是什么。在无套利的世界里，任何资产今天的价格，都等于「定价核 × 未来支付」的期望：

$$P_t = E_t[M_t\, X_{t+1}]$$

这条式子（论文的 Eq. 1）几乎是现代资产定价的全部。它把两件事缝在一起：一头是概率——未来各种状态发生的可能性；另一头是偏好——投资者对每一种状态下「一块钱」的珍惜程度。定价核 \(M_t\) 就是后者：它在「坏状态」里取大值（那时的一块钱最金贵），在「好状态」里取小值。它的斜率，正是我们常说的风险厌恶。

于是一个很自然的念头是：能不能把这条「投资者的心电图」直接画出来？

传统的做法，是顺着 Lucas (1978) 的消费资本资产定价模型往下走：定价核等于跨期边际替代率，在幂效用 (power utility) 假设下 \(M_t = e^{-\rho}(C_{t+1}/C_t)^{-\gamma}\)。Hansen & Singleton (1982, 1983) 就是这么干的——把总消费增长率当成状态变量，用 GMM 去估那个常数风险厌恶 \(\gamma\)。

但这条路有个尽人皆知的硬伤：总消费数据测不准。Ermini (1989)、Wilcox (1992)、Slesnick (1998) 都翻过这本账——编码错误、定义口径、季节调整、时间加总……每一道工序都往里掺沙子。定价核的分母（每单位概率的状态价格）一旦测错，整条核就跟着歪。

接着，一个聪明的绕道出现了。Aït-Sahalia & Lo (2000) 和 Jackwerth (2000) 说：别用消费了，用期权。期权价格里本来就藏着市场对未来的定价；再配上一段历史收益的直方图当概率，两者一除，就能非参数地把定价核（或「风险厌恶函数」）投影到股指收益状态上反解出来。这一步漂亮，绕开了消费数据，也绕开了对效用函数的硬性设定。

可是——这正是本文的张力所在——他们的核是「平均」出来的。Aït-Sahalia & Lo 和 Jackwerth 都用过去约四年的实现收益去平滑出概率，并把状态价格与概率在样本期里平均。这意味着两件尴尬事：

其一，概率信念被设成「过去四年等权、之前全忘」。于是 1987 年 10 月的股灾，会一直影响信念到 1991 年 10 月，然后在 1991 年 11 月一夜之间彻底消失。可随机波动率文献（如 Bollerslev et al., 1992）早就告诉我们，近的事更重要、远的事衰减但不归零——这个矩形窗口与证据相悖。

其二，也是更要命的：既然在时间上做了平均，他们估出来的，至多是样本期里那条「平均定价核」。年度以下的时间变化，他们看不见。可定价核如果真像习惯形成 (habit formation) 模型——Abel (1990)、Constantinides (1990)、Campbell & Cochrane (1999)——所预言的那样会随商业周期呼吸，那么一条静止的平均核，既画不出这种呼吸，也没法在任意一天给资产正确定价与对冲。

这正是本文要补的那一刀：把定价核从「一张长曝光的合影」，变成「一段每月一帧的录像」。

2 识别策略：让期权价格自己「说」出今天的核

Rosenberg 与 Engle 的做法，可以拆成三步，每一步都对准上面那个「平均」的软肋。

第一步，把定价核写成对期权价格的「最佳拟合」。 对一只支付为 \(g_i(r_{t+1})\) 的衍生品，价格是定价核、支付、概率三者的积分（Eq. 6）：

在某一天，市场上挂着 \(L\) 个期权价格。把定价核设成一个含参数 \(\theta_t\) 的函数，当天就去求一组参数，让模型价格与市场价格的平方误差最小——这就是「实证定价核」(empirical pricing kernel, EPK) 的定义（Eq. 8）：

$$\min_{\theta_t}\; \sum_{i=1}^{L}\, \big[P_{i,t} - \hat P_{i,t}(\theta_t)\big]^2$$

注意这个 \(t\) 下标：EPK 是某一天那条核的估计，而不是一年甚至更长时间里的平均。这就是它能「逐月录像」的根本原因。

第二步，给定价核挑两种形状。 一种是幂函数（Eq. 10）：

$$M^*_t(r_{t+1}, \theta) = \theta_{0,t}\, (r_{t+1})^{-\theta_{1,t}}$$

这里 \(\theta_{0,t}\) 是个标度，\(\theta_{1,t}\) 决定斜率。妙处在于，这个设定下投影风险厌恶恰好就等于那个斜率参数：\(\gamma^*_t = \theta_{1,t}\)。\(\theta_{1,t}\) 只要随时间动，风险厌恶就随时间动。它对应的一般定义（Eq. 5）是把 Arrow–Pratt 相对风险厌恶搬到投影核上：

$$\gamma^*_t = -\,\frac{r_{t+1}\, M^{*\prime}_t(r_{t+1})}{M^*_t(r_{t+1})}$$

另一种更灵活，用正交多项式（广义 Chebyshev 展开）的指数形式（Eq. 12）来逼近任意形状的核，同时保证核恒为正。两种设定互为参照：幂函数省俭，多项式灵活。

第三步——也是真正把这篇与前人拉开的一步——概率不再回望，而是前瞻。 他们不用历史直方图，而是给 S&P 500 收益过程上一个非对称 GARCH 模型，捕捉股指收益的三个老毛病：波动率随机且均值回复、对正负收益反应不对称（杠杆效应）、新息非正态。模型是（Eq. 13–14）：

$$\ln(S_t/S_{t-1}) - rf = \mu + \varepsilon_t, \qquad \varepsilon_t \sim f(0, \sigma^2_{t|t-1})$$

$$\sigma^2_{t|t-1} = \omega_1 + \omega_2 I_t + \alpha\, \varepsilon^2_{t-1} + \beta\, \sigma^2_{t-1|t-2} + \delta\, \mathrm{Max}[0, -\varepsilon_{t-1}]^2$$

那一项 \(\delta\,\mathrm{Max}[0,-\varepsilon_{t-1}]^2\) 就是 Glosten et al. (1993) 式的非对称：负的收益冲击会比正的同样大小的冲击，推高更多的明日波动率。新息则从一个经验新息密度里抽取（保留偏度、峰度等非正态特征），再用蒙特卡洛模拟出任意期限的未来收益密度 \(\hat f_t\)。

把这条前瞻密度喂进 Eq. 8，每个月都解一次——一条会动的定价核就这样被「录」了下来。它的对冲含义也顺理成章：用泰勒展开把期权价格对标的价格的一阶、二阶敏感度（delta 与 gamma）用有限差分算出来（Eq. 15–16），再用 EPK 给下一期的期权重新定价，就得到了一组随核而变的对冲比率。

（关于「定价核如何随状态而非随时间变形」，可对照《定价核的两副面孔：为什么同样跌 10%，在「平静市」里更让人心痛？》；而把 GARCH 这件事反过来从偏好里「长」出来，则见《GARCH 从哪儿来？》。）

3 数据与主要结果

数据：S&P 500 指数期权，逐月估计，样本期 1991–1995 年。标的收益过程的 GARCH 用最大似然估计（在正态新息下做 QMLE，按 Bollerslev & Wooldridge (1992) 仍是一致的）。

核心发现，正是那条会呼吸的核：

• 逆周期的风险厌恶。投资者并非恒定地厌恶风险。EPK 反解出的实证风险厌恶，与衰退指标正相关（信用利差走阔时，风险厌恶上升），与扩张指标负相关（利率期限结构变陡时，风险厌恶下降）。换句话说，市场越像要进入坏天气，投资者对「跌的那一头」的厌恶就越深——这与 Campbell & Cochrane (1999)、Campbell (1996) 习惯模型里「消费贴近习惯时风险厌恶飙升」的直觉高度吻合，而这恰恰是恒定风险厌恶的幂效用所无法产生的。

• 对冲表现显著改善。在他们设计的对冲测试里——用平价看跌期权和 S&P 500 指数组合去对冲虚值看跌期权——基于时变定价核构造的对冲比率，比基于时不变定价核的对冲比率，更能压低对冲组合的波动。也就是说，这条「会动的核」不只是好看，它真的把套保做得更稳。

下表是论文对实证风险厌恶的描述性统计，给出了样本期内这条风险厌恶序列的水平与波动：

Table 6: provides summary statistics for empirical risk aversion. Over the sample

4 文献脉络

把这条线捋直，故事其实很清楚。

最早，Lucas (1978) 立起了消费基础的资产定价框架，定价核就是边际替代率。沿着它，Hansen & Singleton (1982, 1983) 用总消费 + 幂效用 + GMM 把风险厌恶估成一个常数；Hansen & Jagannathan (1991) 则从市场数据反推出定价核均值与标准差的边界（这条「测谎」思路，可参见《定价核的「测谎仪」，为什么要请进期权？》）。但消费数据的测量误差，让这一支始终隔着一层毛玻璃。

与此同时，另一支偏好理论在生长：Abel (1990)、Constantinides (1990) 把习惯写进效用，Campbell & Cochrane (1999)、Campbell (1996) 则明确推出时变的相对风险厌恶——这给「核会随周期呼吸」提供了理论母体。

转机来自期权。Aït-Sahalia & Lo (2000) 和 Jackwerth (2000) 用期权价格 + 历史收益，非参数地反解出投影到股指收益上的定价核与风险厌恶函数，绕开了消费数据。可它们都在时间上做了平均，只能给出一条静止的平均核（Jackwerth 这条路反解出的风险厌恶为何会「咧嘴一笑」，见《为什么从期权里「读」出来的风险厌恶，会咧嘴一笑？》）。

Rosenberg & Engle (2002) 站的就是这个位置：保留「用期权反解投影核」的思路，但把回望的直方图换成 Engle (1982)→Bollerslev (1986)→Glosten et al. (1993) 这一脉发展出来的前瞻 GARCH 密度，于是第一次把定价核从「平均」中解放出来，看见了它的逐月时间结构。

5 评论与延伸（Q&A + 研究方向）

(a) 几个可能的疑问

Q：这条「投影核」和真正的定价核是一回事吗？

不必相等，但对「支付只依赖股指收益」的资产，二者定价含义完全一致（Cochrane, 2001）。代价是：一旦你想给依赖其他状态变量的资产定价，投影核就不够了。本文的所有结论，都应当理解为「在股指收益这一维度上」成立。

Q：所谓「逆周期风险厌恶」，会不会其实是 GARCH 概率模型设定错了，把概率的变化误记成了偏好的变化？

这是最该担心的地方。本文把时间变化拆成「概率（GARCH）」与「偏好（EPK 斜率）」两块，但这条拆分依赖 GARCH 对真实物理概率的刻画是否准确。如果 GARCH 系统性地低估了尾部或漏掉了跳跃，那么本该归给概率的部分就会被错记到风险厌恶头上。结论的稳健性，系于这条密度建模。

Q：和 Aït-Sahalia–Lo、Jackwerth 的最大区别，一句话是什么？

他们估的是「样本期内的平均核」，本文估的是「每一天的核」。差别全在概率：回望的等权直方图 vs. 前瞻的 GARCH 预测密度。

Q：为什么要同时用幂函数和正交多项式两种设定？

幂函数省俭、且风险厌恶就等于一个斜率参数，解释直观；正交多项式（Chebyshev）灵活、能逼近任意形状的核，用来检验幂设定是否过度受限。两者互为稳健性检验。

Q：1991–1995、只有五年、且只用 S&P 500，结论能外推吗？

谨慎。样本短、单一指数、且不含 1987 或 2008 这类极端期。逆周期的方向性结论也许稳健，但水平与幅度未必能搬到其他市场或危机期。

Q：它对实务到底有什么用？

一条会动的核，意味着 delta/gamma 对冲比率也会随市场状态而变。本文的对冲测试显示，用时变核做出的对冲组合波动更小——这是把「定价核估计」直接变现成风险管理收益的一个干净例子。

(b) 几个可能的研究问题与提案

1. 把 EPK 思路搬进公司债 / 信用市场。 - 【经济故事】股指期权反解出的是「股权收益状态」上的偏好。但信用市场的核心状态是「违约 / 复苏」，且公司债持有人的风险厌恶在危机里很可能更剧烈地逆周期。若能用 CDS 或信用指数期权反解出投影到「信用损失状态」上的定价核，就能直接观察信用市场投资者的风险厌恶如何随周期呼吸。 - 【可行性】中。需要流动的信用衍生品价格 + 一个违约/损失的前瞻概率模型（GARCH 思路可换成信用强度模型）。难点在于信用衍生品的非线性支付与流动性，2008、2020 两段样本是天然的实验窗口。

2. 外资持有人会不会有「不一样的核」？ - 【经济故事】本文假设了一个代表性投资者。但若市场被本土与外资两类投资者分割，他们对同一收益状态的风险厌恶可能不同，且外资在危机里更容易「逃」。能否在持有人结构变化的事件（如纳入/剔除某指数、资本账户开放）前后，比较反解出的核的移动？ - 【可行性】中偏低。期权反解给的是市场总量的核，难以直接拆到持有人层面；需要借助持有人结构的外生变动 + 跨市场期权数据做间接识别。（与外资行为相关的讨论，可对照《外资真是「蝗虫」吗？》。）

3. 用更高频、含跳跃的密度替换 GARCH，重估「逆周期」是否还在。 - 【经济故事】本文 1991–1995 样本里几乎没有大跳跃。若把概率模型升级为含跳跃的随机波动率（捕捉尾部），逆周期风险厌恶的幅度会被「吃掉」多少？这直接回应了上面那条最大的识别担忧。 - 【可行性】高。期权数据与含跳模型都已成熟，是一个干净、可立即做的稳健性复刻。

4. 把「核的逆周期」与流动性周期挂钩。 - 【经济故事】信用利差走阔时风险厌恶上升——但信用利差本身又含流动性成分。究竟是「怕风险」还是「怕卖不掉」在推动核的移动？若能把流动性指标作为第三块单独建模，或可把偏好里的「风险厌恶」与「流动性厌恶」分开。 - 【可行性】中。需要同时期的流动性度量与期权数据；识别上要小心二者的共线性。

6 我的判断

这篇论文真正的贡献，不在于又估了一条定价核，而在于把时间维度还给了它。在它之前，期权反解的核要么是平均的、静止的，要么概率用的是一扇会「一夜失忆」的矩形窗口。Rosenberg 与 Engle 的洞见简单而有力：定价 = 概率 × 偏好，那就把概率交给一个会前瞻、会呼吸的 GARCH 去单独刻画，剩下的时间变化，才干净地归给偏好。于是「风险厌恶逆周期」这件原本只能在习惯模型里假设的事，第一次被从市场价格里测了出来。

对识别，我最大的保留也正在这条拆分上：所有「偏好逆周期」的结论，都把宝押在「GARCH 把物理概率刻画对了」这个前提上。样本里若有被漏掉的跳跃或尾部，本该算给概率的部分就会被错记成风险厌恶——而 1991–1995 这段相对平静、又只有五年的样本，恰恰不是检验尾部的好场子。

后续我最想看到的，是把这套「概率与偏好分而治之」的框架，搬到含跳跃的高频密度上重做一遍（看逆周期还剩多少），以及搬到信用市场上去——毕竟「坏状态里的一块钱最金贵」这件事，在违约的世界里只会比在股权的世界里更尖锐。

参考文献

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