市场之外，长期投资者还在怕什么？——给 CAPM 装上第三颗「会怕波动」的心

1 一个老问题：为什么「市场组合」就够了？

先抛一个让无数资产定价学者夜不能寐的悖论。

教科书告诉我们，承担市场风险（beta）应当有回报。可是过去几十年的数据偏偏唱反调：高 beta 股票的平均收益并不高，甚至偏低；与此同时，价值股（value stocks）稳稳跑赢成长股（growth stocks）。如果你是个聪明的投资者，看到价值股、低 beta 股「白给」的超额收益，为什么不重仓它们、反而老老实实拿着大盘指数？

标准的单期 CAPM 在这里完全失语。它会说：你应该去套这些利。可现实里，养老金、捐赠基金这些长期机构投资者，偏偏大量地、长期地只持有市场组合。他们是傻吗？

本文的回答是：不傻，而且恰恰相反——他们是因为想得够长远，才不去套这个利。

2 长期投资者的两种恐惧

跨期资产定价（intertemporal asset pricing）最深刻的洞见，来自 Merton (1973)：一个长期投资者，不仅在乎自己财富的水平，还同样在乎这笔财富能挣多少回报。在一个收益率恒定的简单世界里，可持续消费 = 财富 × 回报率，两个因子地位完全对等。

问题是，现实世界的「投资机会」（investment opportunities）会变。它可以从两个方向恶化：

• 预期收益下滑：以后市场没那么好赚了；
• 波动率上升：以后市场更颠簸了。

一个相对风险厌恶大于 1 的「保守长期投资者」，会去寻找跨期对冲（intertemporal hedge）——那些在投资机会变差时反而表现好的资产。首先，这解释了 CV(2004) 那个著名的「价值-成长」故事：成长股在预期市场收益下滑时表现好，所以它对冲了第一种恐惧，于是长期投资者愿意接受它较低的平均收益。

接着，一个自然的问题是：第二种恐惧呢？ 此前这条文献几乎把波动率的时变性完全忽略了——而数据里波动率明明在剧烈地变。本文要补的，正是这块短板：把随机波动率（stochastic volatility）请进 ICAPM，让模型长出第三颗心。

3 模型：把「怕波动」一步步推导出来

这是一篇有模型的论文，值得把推导一步步走清楚。我们的目标，是写出对数随机贴现因子（stochastic discount factor, SDF）的创新项 \(m_{t+1}-E_t m_{t+1}\)。

第一步：偏好与 SDF。 投资者具有 Epstein–Zin (1989) 偏好，价值函数写成

$$V_t = \left\{(1-\delta)C_t^{\frac{1-\gamma}{\theta}} + \delta\left(E_t\left[V_{t+1}^{1-\gamma}\right]\right)^{1/\theta}\right\}^{\frac{\theta}{1-\gamma}}$$

其中 \(\delta\) 是贴现因子、\(\gamma\) 是风险厌恶、\(\psi\) 是跨期替代弹性（EIS），并定义 \(\theta=(1-\gamma)/(1-1/\psi)\)。对应的 SDF 为

$$M_{t+1} = \left(\delta\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-1/\psi}\right)^{\theta}\left(\frac{W_t-C_t}{W_{t+1}}\right)^{1-\theta}$$

第二步：把消费换成收益。 在条件联合对数正态的假设下，取对数线性近似，并用预算约束把消费替换掉（这是 Campbell (1993) 的经典技巧），可得 SDF 创新的表达式：

$$m_{t+1}-E_t m_{t+1} = -\frac{\theta}{\psi}(\Delta c_{t+1}-E_t\Delta c_{t+1}) + (\theta-1)(r_{t+1}-E_t r_{t+1})$$ $$= \frac{\theta}{\psi}(h_{t+1}-E_t h_{t+1}) - \gamma(r_{t+1}-E_t r_{t+1})$$

这里 \(h_{t+1}=\ln(W_{t+1}/C_{t+1})\) 是对数财富-消费比，它正是决定跨期对冲需求的那个变量。

第三步：把 \(h\) 向前求解。 用差分方程把 \(h\) 的创新解到无穷远，得到（沿用 CV 的记号）

$$h_{t+1}-E_t h_{t+1} = (\psi-1)\,N_{DR,t+1} + \frac{1}{2}\theta\,N_{RISK,t+1}$$

其中 \(N_{DR}\) 是对未来收益的修正（贴现率新闻），\(N_{RISK}\) 是对未来「风险」（未来对数收益方差 + 对数 SDF）的修正。关键的反转在这里出现：在 CV 的同方差（homoskedastic）世界里，\(N_{RISK}\) 是常数、悄无声息；可一旦允许波动率随机变动，它就活了过来，成了第三个独立的风险来源。

第四步：三 beta 的 SDF。 把上式代回，并用 Campbell–Shiller 分解 \(r_{t+1}-E_t r_{t+1}=N_{CF,t+1}-N_{DR,t+1}\)，最终得到本文的核心方程：

读懂这个方程，就读懂了全文。同一份市场风险，被拆成两类：对基本面（现金流）的坏消息，定价高；对贴现率的坏消息，定价低——这就是 CV 的「坏 beta、好 beta」。本文添的，是第三项：当投资者预期未来波动会上升时，SDF 走高（边际效用高）。于是，一个在「波动预期上升」时还能给你正收益的资产，是宝贵的对冲品，因而平均收益更低。

4 随机波动率：用一个标量把所有冲击「同呼吸」

要把 \(N_{RISK}\) 真正落地，得给数据生成过程一个结构。本文假设经济由一阶 VAR 描述：

$$x_{t+1} = \bar{x} + \Gamma(x_t-\bar{x}) + \sigma_t u_{t+1}$$

\(x_{t+1}\) 是状态变量向量，第一个元素是市场收益 \(r_{t+1}\)，第二个元素是市场收益的条件方差 \(\sigma_{t+1}^2\)，其余变量帮助预测一、二阶矩。最关键的一步是那个标量假设：单一的 \(\sigma_t^2\)（市场收益的条件方差）同时主宰所有冲击的方差——市场、波动率本身、所有状态变量的创新，方差都按同一比例伸缩。这让随机波动率过程变成仿射（affine）的，正如 Heston (1993)。

在这个结构下，风险新闻正比于市场方差新闻 \(N_V\)：

$$N_{RISK,t+1} = \omega\rho\,e_2'(I-\rho\Gamma)^{-1}\sigma_t u_{t+1} = \omega\,N_{V,t+1}$$

而那个比例系数 \(\omega\)，是风险厌恶 \(\gamma\) 的非线性函数，满足一个二次方程：

$$\omega\sigma_t^2 = (1-\gamma)^2\mathrm{Var}_t[N_{CF,t+1}] + \omega(1-\gamma)\mathrm{Cov}_t[N_{CF,t+1},N_{V,t+1}] + \omega^2\tfrac{1}{4}\mathrm{Var}_t[N_{V,t+1}]$$

于是 SDF 创新的可估形式变成：

$$m_{t+1}-E_t m_{t+1} = -\gamma\,N_{CF,t+1} - [-N_{DR,t+1}] + \tfrac{1}{2}\omega\,N_{V,t+1}$$

这里有个迷人的副产品。二次方程未必有实根——当且仅当

$$\gamma \le 1 - \frac{1}{\rho_n-1}\frac{\sigma_{cf}}{\sigma_v}$$

时，\(\omega\) 才有实解。给定本文的 VAR 估计，实解只在 \(\gamma\) 落在 0 到 7.2 之间时存在。换句话说，模型自带一个风险厌恶的「天花板」。论文证明，这个解的不存在并非对数线性近似的人为产物，而是模型的深层特征：当价值函数对波动率越来越敏感、这种敏感又反过来放大波动时，正反馈一旦过强，价值函数本身就不复存在了。

5 数据与新证据：低频波动率，藏在违约利差里

本文 VAR 系统里除了股票收益与已实现方差（realized variance），还放进了两个金融指标：平滑市盈率（price-smoothed earnings ratio）和违约利差（default spread，低评级减高评级债券的收益率之差）。

然后，论文抛出一个此前少有人讲的事实：波动率有一个被违约利差锁定的低频成分。直觉很朴实——风险债券相当于卖空了「长期违约」这个期权，所以风险债券的投资者在定信用利差时，天然会把波动率的长期成分纳入考量。只盯着过去股票收益的单变量波动率模型（GARCH、已实现波动率滤波等），恰恰滤不出这个低频成分。而它，对最在乎「投资机会持久变化」的长期投资者，至关重要。

下图把这个低频成分画了出来：用违约利差等变量构造的长期已实现方差（LHRVAR），刻画出波动率中那条缓慢起伏的曲线。

Figure 3: Modeling low-frequency variation in realized market variance: We measure long-horizon realized variance ( LHRVAR ) as the annualized discoun

有了这套模型，论文回头去解释那些异象。结果是：

• 价值 vs 成长：γ≈7 的中等风险厌恶，就足以让长期投资者打消超配价值股的念头。成长股同时对冲了「预期收益下滑」与「波动率上升」两种恐惧。
• 高 beta vs 低 beta：高 beta 股票之所以对保守的长期投资者有吸引力，是因为过去 50 年里它们对冲了波动率的上升。这就帮着解开了「市场 beta 在近几十年回报极低」这个谜（关于 beta 异象与波动率的纠缠，另见《波动率之谜，藏在 beta 异象的「时机」里》）。
• 一个时变的符号：价值减成长组合的波动率 beta 始终为负；而整个大盘的波动率 beta，在近几十年里从负转正——这正是单期视角看不到、却对长期投资者举足轻重的细节。

把样本平均收益与模型预测对在一张图上，三 beta 模型的定价表现相当贴合 45 度线：

Figure 4: Pricing tests: Each diagram plots the sample against predicted average excess returns. Test assets in Panels A–C are the 25 market equity (M

论文进一步把两 beta 模型（CV）与三 beta 模型放在一批知名股票异象上做正面较量，看波动率这第三个 beta 到底贡献了多少解释力。

Table 5: analyzes a number of well-known equity parameter estimates of the two-beta and three-beta mod-

值得一提的是，本文与同期的 BKSY（Bansal, Kiku, Shaliastovich & Yaron, 2014）形成鲜明对照：BKSY 在长期风险（long-run risk）框架下也研究随机波动率，但用的是同方差的波动率过程，结论是波动率风险对横截面溢价影响甚微、且价值-成长组合的波动率 beta 为正、大盘为负。本文用异方差的仿射结构，得到几乎相反的图景——波动率风险很重要，价值-成长波动率 beta 始终为负，大盘波动率 beta 近年转正。不同的建模假设，导出不同的世界。

6 文献脉络

这条研究的来路，是一条从「消费」一路走向「收益与波动」的暗线。

源头是 Merton (1973)：长期投资者会持有跨期对冲资产。接着，Epstein & Zin (1989) 把风险厌恶与跨期替代弹性拆开，给了后续一切以偏好基础。然后，真正关键的一步由 Campbell (1993) 迈出——他用预算约束把消费从一阶条件里「替换」掉，把模型变成一个 Merton 式的 ICAPM，无需消费数据就能定价。Campbell & Vuolteenaho (2004) 在此之上分出「坏 beta、好 beta」，用现金流新闻与贴现率新闻解释了价值溢价。

与此平行，长期风险文献从 Bansal & Yaron (2004) 出发，越来越强调随机波动率的重要性，并在 BKSY (2014) 中把波动率正式请进横截面定价。本文所处的位置，正是这两条线的交汇点：它给「近似闭式的 ICAPM」装上了长期风险模型早已具备的随机波动率能力——让 Campbell (1993) 那套框架，第一次能同时处理预期收益与波动率两种跨期风险。

7 评论与延伸（Q&A + 研究方向）

(a) 几个可能的疑问

Q：这第三个 beta，和「波动率因子」（如 VIX 创新）是一回事吗？

不完全是。本文的 \(N_V\) 是对未来市场方差预期的修正，且其风险价格被理论钉死为 \(\tfrac{1}{2}\omega\)，只随单一的 γ 变动——它不是一个自由拟合的因子，而是从长期投资者一阶条件里推出来的。这正是它免疫 Lewellen–Nagel–Shanken 批评的原因。

Q：为什么 EIS（ψ）不出现在风险价格里，论文却又说估不出它？

因为在这个模型里，三个因子的风险价格只依赖 γ（与 loglinearization 参数 ρ），与 ψ 无关，所以 ψ 不被识别。好处是顺带躲开了 Epstein–Farhi–Strzalecki (2014) 关于「γ 与 1/ψ 之间巨大楔子意味着对不确定性提前解决有不现实支付意愿」的批评——因为本文根本不需要那个楔子。

Q：γ 的上界 7.2 是巧合，还是有深意？

有深意。它来自二次方程实解的存在条件，而论文证明这与代表性投资者价值函数的存在条件精确吻合（在 ψ=1 的特例下可解析地证明）。波动率的正反馈太强时，价值函数会「爆掉」，模型自带了对极端风险厌恶的约束。

Q：把大盘指数当成「全部财富」，这个代理可信吗？

论文自己承认这是个软肋（Campbell 1996、Jagannathan–Wang 1996、Lustig et al. 2013 都强调过）。所以作者刻意把结论解读为微观层面的——它描述的是保守长期股票投资者（养老金、捐赠基金）在跨期考量下「为何不追价值策略」，而非一个完整的一般均衡解释。

Q：和 BKSY 几乎同期、结论却相反，谁更对？

分歧主要在波动率过程的设定。BKSY 用同方差过程，本文用异方差仿射过程；后者让波动率在接近零时「波动的波动」也下降，更难取负值。两者还在实证实现上有差异。本文第 7 节专门做了详细对照——这更像是一次关于「建模假设如何决定结论」的方法论案例。

Q：用违约利差预测波动率，会不会只是「信用利差本身在动」的同义反复？

论文给的机制是：风险债券短了「长期违约期权」，故信用利差里天然嵌着波动率的长期成分。所以违约利差是低频波动率的信息来源而非循环定义。当然，这条经济逻辑的强弱，仍取决于实证里 LHRVAR 与纯股票滤波结果的差异有多稳健。

(b) 几个可能的研究问题与提案

1. 把第三个 beta 搬进公司债横截面
2. 【经济故事】既然违约利差是低频波动率的信息源，那么信用债收益率本身是否对这个波动率 beta 有定价？高收益债在波动预期上升时往往暴跌，理应承担正的波动率风险溢价。

3. 【可行性】中。需要 TRACE 交易数据构造债券月度收益、用本文框架估出 \(N_V\)，再做横截面。难点是债券收益的流动性噪声会污染 beta 估计；可借鉴流动性调整的做法（参见《把「成交价」从「成交量」里解放出来》）。

4. 外资持有人与波动率对冲需求

5. 【经济故事】不同投资者的「视界」（horizon）不同：长期外资机构若更怕波动率上升，会更偏好对冲品。能否用持有人结构异质性，检验波动率 beta 的定价是否随边际投资者的视界变化？

6. 【可行性】中。需要 13F/外资持仓与本文的波动率新闻序列交互。识别上可借助持有人结构的外生变化（如指数纳入），但内生性仍是硬骨头。

7. 低频波动率成分的「源头」分解

8. 【经济故事】违约利差只是一个代理。还有哪些慢变量（信贷增长、宏观尾部风险）共同构成了波动率的低频成分？把它拆开，能更直接地检验机制。

9. 【可行性】高。纯时间序列工作，数据现成（违约利差、已实现方差、宏观变量），方法就是本文的 VAR 加诊断。风险在于多变量 VAR 的过度拟合。

10. 波动率 beta 符号反转的因果叙事

11. 【经济故事】大盘波动率 beta 从负转正，是金融结构变化（机构化、衍生品市场发展）所致吗？把「符号反转」当作待解释对象，去找它的驱动力。
12. 【可行性】中。需要长样本滚动估计 beta，再与制度变量对接；识别偏弱，更像是描述性证据加机制讨论。

我的判断

这篇论文的贡献，干净而克制：它把「随机波动率」这块长期风险模型早已拥有、而近似闭式 ICAPM 一直缺席的拼图补上了，并且做到一个参数定三个 beta——这种自我设限，在因子动物园泛滥的今天显得格外可贵（关于贴现率作为资产定价中心议题的视角，可参见《贴现率：资产定价的中心议题》；关于 beta 的时变定价，另见《时变的 beta，被低估了二十年的风险》）。最让我欣赏的，是那个「低频波动率藏在违约利差里」的实证发现——它把信用市场和股票波动率缝在了一起，很有延展性。

对识别，我有两点保留。其一，全套结果都建立在「大盘指数 = 全部财富」与「单一标量主宰所有冲击方差」这两个强假设上，前者作者已坦诚，后者（标量仿射结构）则把价值-成长 beta 的符号、大盘 beta 的反转都压在了同一个 \(\sigma_t^2\) 上，稳健性值得继续追问。其二，与 BKSY 截然相反的结论，提醒我们这类结果对建模假设高度敏感——读者更该把它读成「在某一组合理假设下，波动率风险很重要」，而非盖棺定论。

后续我最想看到的，是把这第三个 beta 拉出股票、放到公司债与信用市场里去检验：如果违约利差真的是低频波动率的信息源，那么承担波动率风险的溢价，理应在信用债的横截面上留下最清晰的指纹。

参考文献

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