把'看不见的波动率'变成一张可以直接称重的表

[2001 JFE] The Distribution of Realized Stock Return Volatility
Torben G. Andersen, Tim Bollerslev, Francis X. Diebold, Heiko Ebens
Jun He June 02, 2026
波动率 高频数据 已实现波动率 长记忆
Note

本文读的是 Andersen, Bollerslev, Diebold & Ebens (2001, JFE)：当你把一天切成 79 段、用五分钟收益的平方一段段加起来，波动率就不再是一个需要靠模型猜出来的潜变量，而是一个几乎可以「直接观测」的数。一旦能观测，它的分布就露出了惊人的规律——已实现方差极度右偏，但它的对数几乎是正态的；用它把收益标准化之后，那条出了名的「肥尾」也奇迹般地消失了。

1 一个困扰了三十年的「测不准」

波动率是金融学里最重要、却也最尴尬的一个量。

说它重要，是因为资产定价、资产配置、风险管理——几乎每一块的核心都绕不开它。说它尴尬，是因为它看不见。你能观测到价格，能观测到收益，可「这一天的波动到底有多大」，从来没有人能直接读出一个数来。

于是过去三十年，整个领域都在做同一件事：给这个看不见的东西套一个模型。要么是 自回归条件异方差 (ARCH) 和它的各路子孙 GARCH，要么是 随机波动率 (stochastic volatility, SV) 模型，要么从期权价格里反推 隐含波动率 (implied volatility)。这些办法都很聪明，但它们有一个共同的软肋——结论的对错，取决于模型设得对不对。GARCH 假设错了，你量出来的波动率就错了;隐含波动率还要再背上一个「波动率风险的市场价格」的包袱。模型五花八门、互相打架,而每换一个模型,前人的「经验事实」就要重新被质疑一遍。

那有没有一条不依赖模型的路?

最朴素的想法是:既然方差是收益平方的期望,那我就直接用当期收益的平方来当这一天波动率的估计。它确实是无偏的。可惜,它噪声大得离谱——单独一个收益平方,几乎全是测量误差,真正的波动信号被淹没得干干净净,根本没法用来做可靠的推断。

僵局就卡在这里:要么依赖模型(有偏的风险),要么用收益平方(噪声大到没法用)。本文要做的,就是把这个僵局拆开。

2 真正关键的一步:把一天切成 79 段

突破口,藏在一个连续时间金融里早已成熟、却一直没被这样用过的结果里——二次变差 (quadratic variation)。

先把直觉讲清楚。假设(对数)价格 \(p_t\) 服从一个连续时间随机波动率扩散过程:

$$dp_t = \mu_t \, dt + \Omega_t \, dW_t$$

这里 \(W_t\) 是标准布朗运动,漂移 \(\mu_t\) 和正定的扩散矩阵 \(\Omega_t\) 都可以随时间变化。给定从 \(t\) 到 \(t+h\) 这一段路径上 \(\mu\) 和 \(\Omega\) 的实现值,这 \(h\) 期的连续复利收益 \(r_{t+h,h}\equiv p_{t+h}-p_t\) 服从一个条件正态分布:

$$ r_{t+h,h} \,\big|\, \sigma\{\mu_{t+\tau},\Omega_{t+\tau}\}_{\tau=0}^{h} \;\sim\; N\!\left( \cssId{a1}{\int_0^h \mu_{t+\tau}\,d\tau},\; \cssId{a2}{\int_0^h \Omega_{t+\tau}\,d\tau} \right) $$

注意看方差那一项 \(\int_0^h \Omega_{t+\tau}\,d\tau\)。它不是某个瞬时值,而是这一整段时间里波动的累积——这就是所谓的 积分波动率 (integrated volatility)。它才是「这一天波动到底有多大」这句话的严格数学表达。在随机波动率的期权定价文献里,这个量早就是主角:一份期权的价格,本质上就取决于标的资产在期权存续期内积分波动率的分布。

问题是,\(\Omega_{t+\tau}\) 看不见,这个积分自然也看不见。可二次变差理论给了一个漂亮的结果:在很弱的正则条件下,

$$\sum_{j=1,\dots,[h/\Delta]} r_{t+j\Delta,\Delta}\, r'_{t+j\Delta,\Delta} \;-\; \int_0^h \Omega_{t+\tau}\,d\tau \;\longrightarrow\; 0$$

几乎必然成立,只要抽样频率不断加密,也就是 \(\Delta\to 0\)。

把这个式子翻译成人话:只要你把高频收益的平方(和叉积)一段段加起来,当采样间隔趋于零时,这个和就会几乎必然地收敛到那个看不见的积分波动率。换句话说,采样得足够密,测量误差就会被「磨」到几乎为零。

这就是整篇论文的阿基米德支点。它和收益平方的区别在哪里?收益平方只是「一段」的平方,噪声压倒信号;而把一天切成很多很多小段、再求平方和,大数定律就替你把噪声平均掉了。更妙的是,当区间 \(h\) 越短,那个漂移项 \(\int \mu\,d\tau\) 的影响就越小——均值被有效地「碾平」了,你不必再去操心条件均值的设定。

Tip

这一步之所以革命,是因为它把一个潜变量估计问题,变成了一个描述统计问题。波动率一旦「可观测」,你就不必再去拟合任何 ARCH 或 SV 模型,直接拿它的时间序列来算均值、偏度、自相关——就像对待任何一个看得见的数据那样。

3 五分钟:在「无穷小」与「现实」之间的妥协

理论说 \(\Delta\to 0\) 越小越好。可现实里,股票不是连续成交的。

本文用的是 TAQ (Trade And Quotation) 数据库,取了道琼斯工业平均指数 (DJIA) 的 30 只成分股,样本从 1993 年 1 月 2 日到 1998 年 5 月 29 日,共 1,366 个交易日。即便是这些全美最活跃的股票,全样本的中位成交间隔也有 23.1 秒(最快的默克 MRK 7 秒,最慢的联合技术 UTX 54 秒)。你没法真的把 \(\Delta\) 推到无穷小。

更麻烦的是,真把频率推得太高,市场微观结构 (market microstructure) 的噪声就会反过来污染你:价格离散化、买卖价差的来回跳动 (bid–ask bounce)、非同步交易……这些在日度数据里无关紧要的东西,在秒级数据里会把分布搅得面目全非。(关于「到底该多频繁地采样」这件事本身,后来 Bandi 与 Russell 等人写了整整一篇文章去回答,可参见《一秒一笔的数据,为什么只敢拿 5 分钟用一次?》。)

于是作者做了一个如今已成标准的折中:用五分钟收益。从 9:30 到 16:05,一天正好切出 79 段五分钟收益,对应 \(\Delta=1/79\approx 0.0127\)。五分钟足够短,让连续记录渐近的精度站得住脚;又足够长,让微观结构的干扰不至于喧宾夺主。为了进一步清掉买卖价差和非同步交易带来的负序列相关,他们先对每只股票的五分钟收益拟合一个 MA(1) 模型再去残差——所有 30 只股票的移动平均系数都是负的,中位数 -0.214,正好印证了价差来回跳动的方向。最终得到的,是 \(79\times 1366 = \) 107,914 个五分钟收益。

把这些平方和叉积按天加起来,就得到了每天的已实现协方差矩阵:

$$\text{Cov}_t \equiv \sum_{j=1,\dots,1/\Delta} r_{t+j\Delta,\Delta}\, r'_{t+j\Delta,\Delta}$$

对角线上的元素 \(v_{j,t}^2\) 就是第 \(j\) 只股票的已实现日方差,它的对数标准差记作 \(lv_{j,t}\equiv \log(v_{j,t})\),非对角元素归一化后就是已实现相关系数 \(Corr_{ij,t}\)。30 只股票,于是有了 30 条波动率序列和 435 对协方差/相关系数序列——全部「可观测」,全部可以直接做统计。

4 反转:把方差取个对数,正态分布就回来了

现在,激动人心的部分来了。波动率既然成了数据,它长什么样?

先看一个意料之中的事实。 已实现日方差 \(v_{j,t}^2\) 的分布极度右偏、尖峰肥尾:跨 30 只股票,样本偏度的中位数高达 5.609,峰度中位数达到惊人的 143.6。这其实有点反直觉——毕竟每个 \(v_{j,t}^2\) 都是 79 个数加出来的,按中心极限定理不是该趋近正态吗?但日内收益有很强的依赖性,标准的中心极限论证在高频场景下逼近得极差。所以方差本身,是个「歪」得很厉害的东西。

接着,一个自然的问题是: 既然方差这么不听话,那它的对数呢?

奇迹出现了。已实现对数标准差 \(lv_{j,t}\) 的样本偏度中位数,从方差的 5.609 直接掉到了 0.192;虽然峰度仍略高于正态的 3,但正态的近似已经好得让人无话可说。已实现对数标准差,近似服从正态分布。 这意味着已实现方差本身,近似服从一个对数正态分布。

然后,真正关键的一步在于这个反转的下半场。 如果波动率(标准差)真的近似对数正态,而收益又是以波动率为混合变量的正态混合,那么——把每日收益用当天的已实现标准差去标准化,会发生什么?

按教科书,日度股票收益是出了名的肥尾。本文样本里,原始日收益的样本峰度中位数是 5.416,远超正态的 3。可一旦用已实现标准差标准化,\(r_{j,t}/v_{j,t}\) 的峰度中位数掉到了 3.129——几乎就是正态!(作为参照,\(T=1366\) 时峰度的两倍标准误约为 0.133。)那条困扰了金融学三十年的肥尾,不是被某个花哨的模型「拟合」掉的,而是被一个直接观测到的波动率干干净净地除掉了。

这跟传统做法形成了刺眼的对比:如果你用 GARCH 或 SV 估出来的「一步向前条件方差」去标准化收益,得到的残差通常仍然肥尾。差别就在于,模型给的是对未来的「预测方差」,而本文给的是当天真实发生的「已实现方差」。

Note

这一组事实——方差右偏、对数标准差正态、标准化收益正态、相关系数也近似正态——在 30 只 DJIA 股票里几乎无一例外地成立,而且在另选的 30 只活跃股的对照样本里同样成立。这正是「正态混合」这一经典刻画(Clark, 1973)在高频数据上最干净的一次实证落地。

(顺带一提,标准化收益近似正态,反过来也是一个不太有力、但很优雅的「跳跃检验」:如果价格过程里有跳跃,这个标准化收益就不该是正态的。)

5 不止于「长什么样」:它还会怎么动

把分布的「静态长相」讲完,作者笔锋一转,去问它的动态。

第一个发现是大家早有预期的:所有波动率序列都剧烈地随时间起伏,且有极强的依赖性——今天波动大,明天大概率也大,这就是著名的「波动率聚集」。

但本文给出的刻画更精确:这种依赖不是普通 GARCH 那种几天就衰减完的「短记忆」,而是衰减得极慢的长记忆 (long memory)。用分数阶整合 (fractional integration) 来描述,整合阶数 \(d\) 的估计大约在 0.35 附近——这个 \(d\) 介于 0(短记忆)和 1(单位根)之间,意味着自相关以双曲速率而非指数速率衰减。更漂亮的是,这个长记忆特征在时间聚合下表现出非常精确的标度律 (scaling law):把日度波动加总成多日波动,方差随时间跨度的增长服从一条干净的幂律。

第二个发现,则是对一桩老公案的「降温」。杠杆效应 (leverage effect)——即过去的负收益比同等的正收益更能推高未来波动——在数据里确实统计显著,但本文强调,从经济意义上看它相当不重要。有意思的是,同样的不对称性也出现在已实现相关系数上:坏消息来时,股票之间不仅更波动,还更「抱团」。

第三,把多元结构摊开看,波动率之间有系统性的「齐涨齐跌」:当一批股票的方差高时,它们彼此之间的相关系数也高;反之亦然。这种结构,强烈地指向一个潜在因子结构 (latent factor structure)——也就是说,几十只股票的波动率背后,可能只由少数几个共同因子驱动。这一点和后来研究「相关性在熊市里抱团」的文献遥相呼应(可参见《你以为分散了风险,可一到崩盘那天,它们全抱成了团》,其作者 Ang 与 Chen 的工作正在本文参考文献之列)。

6 文献脉络

把这篇论文放回它所在的河流里,脉络其实很清晰。

源头是关于「投机价格分布」的世纪追问。Mandelbrot (1963) 和 Fama (1965) 主张用稳定帕累托分布刻画收益的肥尾;随后 Praetz (1972)、Blattberg 与 Gonedes (1974) 转向有限方差的正态混合(如 student-t)。而正态混合的微观机制,被 Clark (1973) 用一个「下属随机过程」(subordinated process) 模型点破:收益之所以肥尾,是因为它是一个以交易量/信息流为混合变量的正态混合——肥尾的根源,是那个看不见的波动率本身在变。本文标准化收益回归正态的结果,正是 Clark 假说三十年后最直接的验证。

中段是「用低频数据近似已实现波动率」的尝试。French, Schwert & Stambaugh (1987) 用日收益构造月度已实现波动率,是这条路的先行者;但他们没有给出严格的理论依据,因为那套扩散论证恰恰依赖于「收益区间趋于零」。与此同时,Bollerslev, Chou & Kroner (1992) 综述的 ARCH 大军走的是另一条「参数建模」的路。

文献脉络时间线
文献脉络时间线（按发表年份排布；红色为本文）

临门一脚,来自高频数据的可得性与连续时间渐近理论的结合。Andersen & Bollerslev (1998) 先用高频已实现波动率,替「标准波动率模型其实预测得很准」这件被低估的事正了名;紧接着,同一批作者(ABDL, 2001a)在汇率上系统地建立了已实现波动率的分布刻画。本文,就是把这套方法论从两个汇率,扩展到了一篮子个股——这是它在这条脉络里的精确坐标:不是发明了二次变差,而是第一次把「波动率可观测」这件事,在股票横截面上做成了一组干净、可复制、model-free 的「程式化事实」。它直接为后来的已实现波动率建模与预测(参见《5 分钟的数据,到底比一天的数据贵多少钱?》)铺好了路。

7 评论与延伸(Q&A + 研究方向)

(a) 几个可能的疑问

Q:已实现方差和「收益平方」到底差在哪?不都是平方和吗?

差在采样频率。收益平方是「一段」的平方,几乎全是噪声;已实现方差是把一天切成 79 段、各自平方再求和。前者无偏但方差巨大,后者随着 \(\Delta\to 0\) 测量误差趋于零。本质上,是大数定律替你把噪声平均掉了。

Q:为什么偏偏选五分钟,而不是一分钟或一天?

这是一个偏差—方差的折中。频率越高,渐近精度越好(方差小),但价格离散、买卖价差跳动等微观结构噪声会引入偏差;频率越低噪声越小,但又回到了「样本太少、噪声大」的老问题。五分钟是当时被广泛接受的甜区。作者还先做了 MA(1) 滤波来清掉价差导致的负序列相关。

Q:标准化收益变正态,是不是说明收益里根本没有跳跃?

不能下这么强的结论。本文也承认,把它当作跳跃的「综合检验」其实并不灵敏。标准化收益近似正态,只能说在五分钟、日度这个尺度上,正态混合是个很好的近似;它不排除更高频或极端时段存在跳跃。后来「区分扩散与跳跃」成了独立的研究课题。

Q:既然波动率「可观测」了,是不是 GARCH/SV 模型就没用了?

不是。已实现波动率给的是事后(ex post)已经发生的波动;而风险管理、定价真正需要的是事前(ex ante)的预测。本文的贡献是给出了波动率的真实分布特征(对数正态、长记忆、因子结构),从而指导人们去建更好的预测模型,而不是取代建模本身。

Q:\(d\approx 0.35\) 的长记忆,会不会只是结构性断点伪装出来的假象?

这是长记忆文献里永恒的争论——缓慢均值回归和「带 regime 切换的短记忆」在有限样本里很难区分。本文用时间聚合下非常精确的标度律来佐证长记忆的真实性(伪长记忆通常给不出这么干净的幂律),但严格的证伪仍依赖更长样本和更强的检验。

Q:30 只 DJIA 巨头,能代表「全市场」吗?

这是最值得担心的外部有效性问题。作者的回应是:他们在另选的 30 只活跃股上重做了全部分析,结论高度吻合。但 DJIA 和「活跃股」共享一个前提——高流动性。对于交易稀疏的小盘股,五分钟里可能根本没几笔成交,已实现波动率的构造会严重失真,本文的事实未必成立。

(b) 几个可能的研究问题与提案

1. 把已实现波动率搬到公司债市场。

【经济故事】股票的高频已实现波动率已是成熟工具,但公司债的「波动率」几乎无人能直接观测——因为债券交易极其稀疏,大量「零交易」日,五分钟里根本没有成交。如果能为流动性较好的债券(或债券 ETF)构造一个稳健的已实现波动率,就能首次用 model-free 的方式刻画信用市场的波动分布与长记忆。 【可行性】中。数据靠 TRACE(逐笔成交)。识别难点在于债券的非同步、稀疏交易,需要用 ETF 或指数层面、或借助 Lo-MacKinlay 式的去噪来缓解。doable,但要诚实面对「采样间隔根本压不下去」这一硬约束。

2. 外资持有比例与个股已实现波动率的因子结构。

【经济故事】本文发现波动率背后有潜在因子结构。一个自然的问题是:谁的持仓塑造了这个共同因子?外国投资者持仓高的股票,其已实现波动率是否对全球(而非本地)的波动因子载荷更高?这能把「资本流动如何传导波动」量化到个股层面。 【可行性】中。需要个股层面的外资持仓(如各国央行/监管的持仓披露,或 FactSet 机构持仓)+ 高频价格。识别上可借助「可投资度」放开这类自然实验作为外生冲击。

3. 已实现相关系数的不对称性,能不能用来预测流动性危机?

【经济故事】本文顺手发现,坏消息来时相关系数也会跳升(相关性的「杠杆效应」)。如果把已实现相关矩阵的「抱团程度」做成一个实时指标,它会不会先于价格预警市场流动性的枯竭? 【可行性】高。所需只是高频价格,方法是本文现成的已实现相关矩阵 + 一个聚合度量(如平均相关、最大特征值占比),再去预测后续的流动性指标。直接可做,且和「平均相关预测市场收益」一脉相承(参见《市场会涨还是会跌?别盯着波动率,去看股票们「有多齐心」》)。

4. 长记忆参数 \(d\) 在横截面上的差异从何而来?

【经济故事】本文报告了一个「典型」的 \(d\approx 0.35\),但不同股票的 \(d\) 显然有差异。是什么公司特征(规模、机构持股、分析师覆盖、信息环境)决定了一只股票波动率「记性」的长短?这能把抽象的长记忆参数和可观测的公司基本面连起来。 【可行性】高。逐股估 \(d\)(GPH 或局部 Whittle),再对公司特征做横截面回归。数据齐全,挑战在于 \(d\) 的估计本身有较大噪声,需要足够长的样本。

参考文献