「不能拒绝」就等于「支持」吗？——给套利定价理论换一把尺子

[1990 JFE] Posterior, Predictive, and Utility-based Approaches to Testing the Arbitrage Pricing Theory
Robert McCulloch, Peter E. Rossi
Jun He June 02, 2026
资产定价 贝叶斯方法 套利定价理论
Note

本文读的是 McCulloch and Rossi (1990, Journal of Financial Economics)：作者跳出「显著还是不显著」的传统检验，改用一套基于投资者效用的「确定性等价」度量，从后验与预测两个角度审视套利定价理论。结论是个意味深长的反转——经济意义上，对模型的偏离大得惊人；可参数不确定性同样大得惊人，以至于既不能确认、也不能否定 APT。这与那些「无法拒绝、于是视作支持」的传统检验，结论南辕北辙。

1 一桩被「不显著」蒙混过去的公案

先讲一个我们都太熟悉、却很少有人较真的逻辑。

某篇论文检验一个资产定价模型，跑出一个 likelihood-ratio 统计量，p 值大于 0.05，作者写下一句「无法拒绝原假设」，于是读者心领神会：模型成立。套利定价理论 (arbitrage pricing theory, APT) 的实证史上，这样的「无法拒绝」反复出现，并常常被解读成对理论的支持。

但这里藏着一个被忽略的裂缝：「无法拒绝」可以有两个完全不同的来源。一种是模型真的对，数据老老实实地贴着理论的约束；另一种是——数据太吵、样本里关于这个参数的信息太少，于是无论真相如何，你都拒绝不了。前者是证据，后者只是无知。传统的显著性检验，把这两件事搅在了一起。

McCulloch 和 Rossi 这篇 1990 年的 JFE，正是冲着这道裂缝去的。他们想问的不是「偏离 APT 在统计上显不显著」，而是一个更朴素、也更难回答的问题：

如果 APT 真的被违反了，一个真金白银做投资的人，会因此损失多少效用？

换句话说，他们要把检验的标尺，从「统计显著性」换成「经济显著性」。这一换，整个故事就翻了过来。

2 APT 的统计化身：一个没有截距的回归

要谈检验，先得把理论压成一个可以估计的统计模型。

APT 的内核（Ross, 1976；Huberman, 1982）是：资产收益由少数几个共同因子驱动，无套利使得期望收益近似线性于因子载荷矩阵 B。作者用的是 Connor (1984) 的竞争均衡版本——在一个无穷维经济里，每个投资者都能把异质风险分散掉，于是「近似线性」收紧为「精确线性」。

把收益生成过程写下来，资产收益是因子的线性函数：

$$ r_t = B f_t + \varepsilon_t, \qquad E[\varepsilon_t \mid f_t] = 0,\;\; E[f_t]=0,\;\; E[\varepsilon_t \varepsilon_t'] = V . $$

竞争均衡的 APT 进一步要求期望（超额）收益线性于 B。把超额收益记下来，并吸收掉随时间变化的风险溢价 \(\gamma_t\)，可以整理成：

$$ r_t - r_{ft}\,\iota = B(\gamma_t + f_t) + \varepsilon_t . $$

当因子 F 已知（数目、构成、溢价都给定）时，这就是一个没有截距的多元回归。但真正要检验的，是给收益加上一个截距之后，它到底等不等于零。对十个规模分组（decile）的超额收益矩阵 R，模型写成：

$$ R = \alpha\,\iota' + B F + E . $$

于是 APT 的定价约束，被干净利落地翻译成一个尖锐原假设 (sharp null)：

$$ H_0:\ \alpha = 0 \qquad \text{vs.} \qquad H_1:\ \alpha \neq 0 . $$

为什么是规模分组、而不是个股？因为 APT 实证里最顽固的反例就是 小公司异象 (small-firm anomaly)——Huberman (1987) 总结道，APT 大体站得住，唯一的例外是「小公司在控制了因子载荷之后仍有更高收益」。把股票按市值排成十组，正好把火力对准这道异象；而每组两百多只股票，靠中心极限定理也更接近多元正态，方便后面动用正态假设。

3 数据：把一周切成一个切片

数据是这篇论文不动声色的硬功夫。作者从 CRSP 日度母文件里，为 1963 年 1 月到 1987 年 12 月、全部 NYSE/AMEX 股票，构造了一个跨越 1304 周的周度收益数据库——每周三到周三（遇休市顺延到周四）。一周这个采样间隔，是日度与月度之间的折中：既躲开日度数据里的买卖价差跳动与非同步交易偏差，又能捞回月度数据里被抹平的信息。

每四周按市值重排一次十个规模分组，组内市值加权。最小一组的公司平均市值约 $5.2 million，最大一组约 $2.8 billion，相差近五百倍（见表 1）。所有收益都减去国库券利率、并年化。

Table 1

Table 1

因子怎么来？作者采用 Connor and Korajczyk (1988b) 的方法，用全部有效观测（而非只用连续上市的公司）构造 \(T\times T\) 的交叉积矩阵，再取其特征向量作为已实现因子收益。这一步很关键：只有 473 家公司在 25 年里连续上市，若像 Lehmann and Modest (1988) 那样只用连续样本，提取出的因子可能只是真实因子的一个子集。作者平均动用了 2100 多家公司，是 Connor and Korajczyk (1988a) 的 1.5 倍多、Lehmann and Modest (1988) 的约 3 倍，把提取误差压到可以忽略。

特征值给了因子个数的线索：1963–67 年最大的十个特征值是 0.074, 0.013, 0.011, 0.010, ...——第一到第二之间断崖式下跌，之后再无明显折点。第一个因子与等权市场的相关系数高达 0.97 以上。于是作者把注意力限定在 1、3、5 因子模型上，并指出加到三个因子以上，定价表现不再变化。

一个值得停下来欣赏的细节：小盘组的原始收益一阶自相关平均高达 0.40，但三因子模型的残差自相关几乎消失（全部小于 0.19，平均不到 0.1）。这意味着——尽管 decile 收益本身肥尾且高度自相关，给定因子之后的条件分布，完全可以放心地当作 i.i.d. 正态。后面所有贝叶斯推断，都立在这块地基上。

4 第一种看法：直接盯着后验，小公司效应竟是幻觉

第一种方法最朴素：用扩散先验 (diffuse prior)，把 B 和 \(\Sigma\) 积分掉，直接看截距向量 \(\alpha\) 的边际后验。已知结果是——\(\alpha\) 服从自由度为 \(T-k+1-10\) 的多元 \(t\) 分布。问题随之变成一句大白话：有多少后验质量堆在零附近？

作者用箱线图把每个分组截距的后验画出来（图 1）：中线是中位数，箱高是四分位距，须延伸出一个 99% 概率区间。

Figure 1: Marginal posterior distribution of regression intercepts, 1963-67 (N = 260) and 1983-87

Figure 1: Marginal posterior distribution of regression intercepts, 1963-67 (N = 260) and 1983-87

图里藏着两个反转。

第一个反转在时间上。 1963–67 年，最小分组的截距后验质量落在正区间、最大分组超过 75% 的质量落在负区间——一个教科书式的小公司效应。可到了 1983–87 年，效应不仅减弱，而且调了头：最大分组的截距后验质量反而压在正值上。再看 1973–77 年，这个效应干脆消失了。于是作者下了一个相当犀利的判断：所谓「小公司」效应是虚幻的 (illusory)——某些时期present、某些时期反转、某个时期缺席。误定价并不专属于小公司，大公司组合里同样存在。

第二个反转在横截面上。 所有时期，后验离散度都呈 U 形：最小和最大的公司离散度高，中间的公司离散度低。这条 U 形曲线，恰恰是「样本里有多少信息」的地图——关于两端组合，我们知道得最少。这一点，正是后面那个大反转的伏笔。

直接看后验当然信息丰富，但它终究是一堆图。我们需要一个标量，一个有经济含义的标量，来回答开头那个问题：偏离零，到底值多少钱？

5 第二种看法：把「偏离」翻译成效用

这是全文的枢纽，也是它真正的理论贡献所在。

作者请来一个有明确效用函数的投资者。给定参数 \((\alpha, B, \Sigma)\)，他能算出收益的联合分布、解出效用最大化的组合；再把这个最大效用，与参数取 \((0, B, \Sigma)\)（即 APT 成立）时的最大效用相比。两者之差，用确定性等价收益率 (certainty-equivalent rate of return) 来度量。

注意这个视角与 APT 的理论假设是自洽的：理论假定所有经济主体真的知道收益过程的参数，只有事后看数据的计量经济学家才需要做推断。所以作者考察的，是确定性等价之差的后验分布——它同时刻画了两件事：偏离理论约束有多大，以及参数不确定性有多高。

效用函数取负指数形式（CARA）。为什么不用幂效用？因为收益正态、期末财富也正态，幂效用的期望在财富支持集含零时不存在；负指数则有干净的闭式解：

$$ u(x) = -\exp(c_r x), \qquad c_r < 0 . $$

当 \(x\) 正态时，期望效用可以一步算出。这就是整套度量的心脏：

$$ E[U(\tilde{W}_p)] = -\exp\!\Big(\cssId{a1}{c_r \mu_x} \;+\; \cssId{a2}{\tfrac{1}{2}\,c_r^2 \sigma_x^2}\Big) $$

这个表达式之所以好用，是因为它把投资者的全部偏好压缩成「均值 — 方差」的一道权衡，而 \(c_r\) 一个参数就调好了风险厌恶。投资者的问题，就是在无风险资产和十个 decile 组合之间，挑权重去最大化它。作者刻意把可投资集合限定在这十个规模组合上，正是为了让聚光灯只打在它们的误定价上。

把 \(\alpha\) 从「等于零」松动到「等于后验抽样值」，组合的最优解、进而确定性等价，都会随之移动。对这个差额求后验分布，就得到了一把带刻度的尺子：它不再告诉你「显不显著」，而是告诉你「一个投资者会为此愿意付出多少年化收益」。

6 第三种看法：预测分布下的两条有效前沿

第三种方法更进一步，也最贴近一个真实投资者的处境。

后验度量里，投资者仿佛「知道」参数；但现实中没人知道。于是作者转向预测分布 (predictive distribution)——把参数不确定性积分进未来收益的分布里，再分别在受限模型（APT 成立，\(\alpha=0\)）和不受限模型下，画出各自的均值-方差有效前沿，并用确定性等价来概括两条前沿的差距。

Figure 4: Efficient frontiers based on the predictive distribution for all NYSE and AMEX stocks in

Figure 4: Efficient frontiers based on the predictive distribution for all NYSE and AMEX stocks in

正是这一步，给出了全文的大反转。

预测分析显示，受限与不受限模型给出的有效前沿，差距大且经济上显著——也就是说，如果你真信 APT、把投资集合钉死在零截距上，你会感觉自己放弃了一块相当可观的「免费」收益。从「经济显著性」看，APT 被违反得很厉害。

但是——这里是真正关键的一步——一旦把参数不确定性老老实实地积分进来，预测分布变得极其分散。还记得第 4 节那条 U 形离散度曲线吗？关于最小、最大组合，样本里的信息本就稀薄。结果就是：尽管点估计意义上的偏离巨大，我们却没有足够的信息把这个偏离从噪声里拣出来。即便用上长达四分之一个世纪的周度数据，也无法确凿地确认或否定 APT。

于是三种方法，殊途同归地指向同一句话：传统显著性检验那句「无法拒绝、于是支持」，是站不住的——它「无法拒绝」，很可能只是因为数据关于这些参数实在太沉默。McCulloch 和 Rossi 的真正贡献，不是给 APT 判了生或死，而是把「我们到底知道多少」这件事，第一次量化了出来。

Tip

这与后来一系列「参数不确定性如何改变投资决策」的研究一脉相承。当你不再假装自己知道真实的均值，最优组合会变得保守得多（关于这一点，可参见《当你不再相信自己估出来的那个均值》）。

7 文献脉络

把这篇论文放回它的坐标系，会看得更清楚。

源头是 Ross (1976) 的套利定价理论与 Huberman (1982) 的简化证明：用无套利推出期望收益对因子载荷的近似线性。接着，Chamberlain and Rothschild (1983) 在显式的无穷维经济里给出偏离线性的界，并打通了均值-方差有效性与精确因子定价的联系；Connor (1984) 则给出竞争均衡版本，把「近似」收紧成「精确」——这正是本文采用的版本。

文献脉络时间线
文献脉络时间线（按发表年份排布；红色为本文）

到了实证检验这一支，主流是显著性检验：Gibbons, Ross, and Shanken (1989) 推导了多元系统里检验组合有效性的 likelihood-ratio 统计量，并用相对组合有效性来诠释它（这条思路，可参见《没有无风险资产的世界里，怎样给「市场组合有没有效」下判决》）。另一支是贝叶斯：Shanken (1987a) 在一因子下算 odds ratio、并把 Bayes 因子与相对有效性挂钩。但作者尖锐地指出，无论 likelihood-ratio 还是 odds-ratio，本质上都在检验「约束精确成立」的尖锐原假设，且后验概率接近零并不意味着偏离有经济意义。

本文 (1990) 的位置，正是从这两支中岔出来：放弃尖锐原假设，改用估计方法（先验在任何精确参数约束集上放零概率），并第一次把效用作为度量偏离的单位。它与同期 Harvey and Zhou (1990) 把 Jeffreys 的 Cauchy/扩散先验推广到多元的工作并行，但落点不同——后者仍在算 odds，本文在算「投资者损失了多少」。这种「用模型设定误差的经济后果来评判模型」的精神，日后在 Hansen-Jagannathan 一脉里被发扬光大（参见《一把丈量所有定价模型的尺子——HJ 距离》）。

8 评论与延伸（Q&A + 研究方向）

（a）几个可能的疑问

Q：这和传统的 likelihood-ratio 检验，到底差在哪？

差在「检验的对象」和「度量的单位」。LR 检验问的是「\(\alpha=0\) 这个尖锐约束在统计上成不成立」，单位是 \(\chi^2\) 或 p 值；本文问的是「偏离 \(\alpha=0\) 会让一个投资者损失多少效用」，单位是确定性等价收益率。前者把「模型对」和「数据吵」混为一谈，后者把它们拆开了。

Q：为什么非要用负指数（CARA）效用，而不是更常见的幂效用？

因为收益被假定为正态，期末财富也正态，而幂效用在财富支持集包含零时期望不存在。负指数效用配正态财富，期望效用有干净闭式解 \(-\exp(c_r\mu_x+\tfrac12 c_r^2\sigma_x^2)\)，整个问题退化为均值-方差权衡。代价是 CARA 意味着绝对风险厌恶不随财富变化，这是个简化。

Q：「后验」分析和「预测」分析的结论为什么会不一样？

后验分析里投资者仿佛「知道」参数，看到的是偏离的大小；预测分析把参数不确定性积分进未来收益，看到的是一个可投资者真正面对的、被噪声放大的分布。前者说「偏离很大」，后者补一句「但我们没把握说它不是噪声」——两者合起来才是完整的故事。

Q：「小公司效应是幻觉」这个结论靠谱吗？

至少在这份数据里站得住：1963–67 正向、1983–87 反向、1973–77 缺席，符号都不稳定，很难说是一个稳定的定价异象。但要注意，这是规模分组而非个股层面的结论，且依赖三因子设定；换因子数或换分组方式，画面可能不同。

Q：因子是估出来的，把它当作已知会不会有问题？

作者承认这是个简化——他们直接用 Connor-Korajczyk (1988b) 提取的因子、不校正提取误差。理由是：提取误差随公司数下降，而他们平均用了 2100 多家公司，远多于同期文献；Connor-Korajczyk (1988a) 的模拟与解析结果也表明，提取误差对截距估计几乎没有影响。但这终究是个被「外包」掉的不确定性来源。

Q：那么，这篇论文到底是支持还是反对 APT？

都不是——这正是它的要点。它的结论是「数据不足以下定论」：经济上偏离很大，统计上又被参数不确定性淹没。它真正反对的，是「无法拒绝即支持」这种推理本身。

（b）几个可能的研究问题与提案

  1. 把效用度量搬到公司债横截面。 【经济故事】信用市场的因子定价（久期、信用、流动性）检验，至今多停留在 \(t\) 值和 GRS 统计量上；但「偏离因子模型」对一个债券投资者究竟值多少 bp，几乎没人量过。【可行性】中。数据有 TRACE + 因子构造，识别上可直接套用本文的 CARA-正态-确定性等价框架；难点是债券收益的非正态（违约的左尾）会让负指数效用的闭式解失效，需改用模拟或截断分布。

  2. 外资持有人视角下的「确定性等价」检验。 【经济故事】同一组定价约束，对面临汇率风险、且边际效用不同的外国投资者，经济显著性会不会系统性更大？这把「定价误差」与「谁来定价」连了起来。【可行性】中偏低。需要分国别的持有人收益与货币对冲数据；识别清晰，但跨币种效用聚合的假设较强。

  3. 用预测分布给「异象是否可套利」定价。 【经济故事】很多异象在样本内点估计很猛，但参数不确定性一积分进来可能所剩无几——本文的反转在异象研究里也许普遍存在。【可行性】高。数据用现成的异象组合月度收益，方法直接复刻本文的「受限 vs 不受限有效前沿 + 确定性等价」，是一个低成本、可立刻动手的复制-推广研究。

  4. 流动性危机中的参数不确定性。 【经济故事】危机时收益分布剧变、样本信息骤减，「我们到底知道多少」本身就是风险。把本文的 U 形信息曲线，放到公司债流动性危机里去画，或能量出「不确定性溢价」的一个新切口（与《一把更稳的尺子，量出了危机里公司债的「流动性恐慌」》的关切相通）。【可行性】中。数据可得，难在如何把「信息量」与「流动性枯竭」干净地分离。

9 我的判断

这是一篇「方法论上比结论更重要」的论文。它最持久的贡献，是把资产定价检验里一个被长期含混对待的问题——「无法拒绝」到底意味着什么——摆到了台面上，并给出了一个有经济含义的答案：用投资者的效用损失来度量偏离，用参数不确定性来度量「我们的无知」。把这两件事拆开，是它最干净利落的一刀。

担忧也有几处，且都不轻。其一，因子被当作已知，把一整个不确定性来源外包了出去；尽管作者用大样本论证其可忽略，但这与全文「认真对待不确定性」的精神之间，存在一丝张力。其二，CARA + 正态的组合虽换来闭式解，却也意味着结论对分布假设和风险厌恶取值敏感——而年化后的量级，对 \(c_r\) 的选择并不中立。其三，结论的「不可知论」固然诚实，却也让它在实证上难以证伪：当一篇论文的核心信息是「数据不足以下定论」，它本身也就很难被数据推翻。

后续我最想看到的，是把这套「效用 + 预测分布」的尺子，系统地横扫一遍今天的因子动物园与异象组合：有多少在 \(t\) 值上炫目的偏离，一旦把参数不确定性积分进来，就像本文里的小公司效应一样，悄悄缩回了噪声里？这恐怕比再添一个因子，要诚实得多。

参考文献