看不见的波动率，换一种「语言」就追到了

[2006 RFS] Maximum Likelihood Estimation of Latent Affine Processes
David S. Bates
Jun He June 01, 2026
资产定价 随机波动率 特征函数 期权定价
Note

本文读的是 Bates (2006, Review of Financial Studies)：当我们想从股票收益里同时估出「看不见的波动率」和「看不见的跳跃风险」时，与其在概率密度里硬算，不如换到特征函数 (characteristic function) 的世界——用一条 Bayes 法则的「傅里叶版」递归更新潜变量的特征函数。这套被作者称为近似极大似然 (approximate maximum likelihood, AML) 的方法，把参数估计和潜变量滤波第一次装进了同一个框架；用到 1953–1996 年的标普 500 日收益上，它读出了比 EMM 更大、更随时间起伏的跳跃风险。

1 一个三十年都没解干净的难题

随机波动率 (stochastic volatility) 这个想法，到 2006 年已经在金融学里活了三十年。可奇怪的是，理论上人人都同意「资产收益的波动是会变的、是随机的」，真要把这个随机过程的参数、以及「此时此刻波动率到底有多高」一并估出来，却出奇地难。

难在哪？Bates 在引言里把它拆成两个互相纠缠的子问题，干净利落：

  1. 估计问题：怎样从可观测的数据里，识别出状态空间系统 (state space system) 的参数；
  2. 滤波问题：在参数已知的前提下，怎样从过去的数据里，反推出当前那个看不见的潜变量 (latent variable) 取到了多少。

这两件事听上去像一回事，其实是两层皮。打个最贴近实务的比方：风险管理里的在险价值 (Value at Risk) 关心的就是第二个问题——「今天的波动率到底是多少」；而 GARCH 的流行，本质上不过是给「用过去数据推断当前波动」这件事，提供了一个简单到可以确定性计算的滤波算法。

Note

这里埋着全文的张力：主流方法几乎都在专心解第一个问题。

效率方法矩 (Efficient Method of Moments, EMM)、马尔可夫链蒙特卡洛 (Markov Chain Monte Carlo, MCMC)，这些仿真类的重武器，火力全部对准参数估计。可一旦参数估出来了，你想知道「此刻波动率多高」，还得再额外接上一道滤波程序——Gallant 和 Tauchen (1998, 2002) 要靠所谓「再投影 (reprojection)」从大量仿真里学出一条「由过去收益推断波动」的经验规则；Johannes、Polson 和 Stroud (2002) 则给 Eraker、Johannes 和 Polson (2003) 的 MCMC 估计，再补一个粒子滤波。

参数估计和波动率滤波，被人为地切成了两段。Bates 想问的是：能不能让它们从头到尾就是一件事？

2 为什么是「特征函数」，而不是「密度」

接着，一个自然的问题是：既然要做滤波，卡尔曼滤波 (Kalman filtration) 不就是现成的吗？

是的，但卡尔曼滤波吃的是高斯。在高斯状态空间模型里，潜变量的条件分布被一对矩——条件均值 \(\hat{x}_{t|t}\) 和条件方差 \(P_{t|t}\)——完全刻画，对应的矩母函数 (moment generating function) 简单到就是 \(G_{t|t}(c)=\exp[\hat{x}_{t|t}c+\tfrac12 P_{t|t}c^2]\)。Hamilton (1994, 第 13 章) 把这套递归写得一清二楚。

可金融数据偏偏不肯高斯。收益有肥尾、有跳跃，波动率非负且均值回归——这些恰恰是高斯装不下的东西。于是问题变成：怎样把卡尔曼滤波那套「递归更新两个矩」的优雅，推广到没有多元正态这种便利的更一般的过程上去？

这里就是全文真正关键的一步。Bates 的答案不是去硬碰概率密度，而是搬到它的傅里叶背面——特征函数。理由有二，都很实在：

换句话说，密度这门「语言」太窄，很多有意思的过程根本没法用它流利地说话；特征函数这门语言宽得多。Bates 做的，就是把整套滤波递归，从密度的语言整体翻译成特征函数的语言。

Tip

这个「在变换空间里干活」的思路，和近年用神经网络去拟合结构期权模型的做法异曲同工——都是承认「直接算密度太贵」，转而去算一个更友好的中间对象。关于后者，可参见《把结构模型「蒸馏」成一张查找表：深度代理与期权定价》。

3 模型：把贝叶斯更新写进特征函数

下面这一节会涉及若干公式。我们当然不是在写论文，但这套递归的精巧之处，不把推导摆出来是说不清的。如果你只想看结论，可以直接跳到第 4 节。

3.1 半仿射结构：一切的地基

先定义这套方法能吃下的过程。记 \(y_t\) 为可观测数据（比如对数收益），\(x_t\) 为看不见的潜变量（比如波动率），合成马尔可夫状态 \(z_t\equiv(y_t,x_t)\)。Bates 要求 \(z_{t+1}\) 的条件联合特征函数对潜变量 \(x_t\) 是指数仿射的：

$$F(i\Phi, ic \mid z_t) \equiv E\!\left[e^{i\Phi' y_{t+1} + ic' x_{t+1}} \mid z_t\right] = \exp\!\left[C(i\Phi, ic, y_t) + D(i\Phi, ic, y_t)' x_t\right]$$

这就是式 (1)，作者称满足它的过程为半仿射 (semi-affine) 过程——「半」是因为指数里对潜变量 \(x_t\) 线性，但对可观测数据 \(y_t\) 不必线性。Duffie、Pan 和 Singleton (2000) 总结的那一大类连续时间仿射跳跃扩散、Carr、Geman、Madan 和 Yor (2003) 的时间变换 Lévy 过程、以及离散时间的高斯 AR(1) 对数方差过程，全都落在这把伞下面。

3.2 Bartlett 的那把钥匙

要在特征函数里做卡尔曼滤波，缺的零件是「特征函数版的贝叶斯更新」。Bates 把它追溯到一篇 1938 年的老文章——Bartlett (1938) 的命题 1：给定一对随机变量 \((y,x)\) 的联合特征函数 \(F(i\Phi,ic)\)，则 \(x\) 在观测到 \(y\) 之后的条件特征函数是

$$G_{x\mid y}(ic \mid y) = \frac{\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int F(i\Phi, ic)\, e^{-i\Phi y}\, d\Phi}{p(y)}, \qquad p(y) = \frac{1}{2\pi}\int F(i\Phi, 0)\, e^{-i\Phi y}\, d\Phi$$

直觉是：对 \(F\) 只就 \(\Phi\) 这一个维度做傅里叶反演（注意 \(ic\) 原封不动），得到的正是「\(x\) 的条件特征函数乘上 \(y\) 的边际密度」。除掉 \(p(y)\)，就得到纯净的条件特征函数。整个更新只需要一维积分——这正是它在高维数据上会遇到「维数灾难」、却在单数据源时极其顺手的原因。

3.3 一步递归，折叠掉一整个积分

有了半仿射结构和 Bartlett 这把钥匙，递归就水到渠成。核心是下面这一步（式 13）——它把「下一期联合特征函数」用「上一期滤出的潜变量先验特征函数 \(G_{t|t}\)」一口气表达出来：

$$ F(i\Phi, ic \mid Y_t) = \cssId{a1}{e^{C(i\Phi, ic, y_t)}} \cdot \cssId{a2}{G_{t|t}}\!\cssId{a3}{\left[D(i\Phi, ic, y_t)\right]} $$

这一步为什么成立？靠的是迭代期望 (iterated expectations) 加马尔可夫性：先对 \(z_t\) 取条件期望，用式 (1) 的指数仿射形式把 \(e^{D(\cdot)'x_t}\) 写出来，再对 \(x_t\) 在 \(Y_t\) 下取期望——而「\(e^{D(\cdot)'x_t}\) 的期望」按定义恰好就是 \(G_{t|t}\) 在 \(D(\cdot)\) 处的值。一个本来要做的积分，被仿射结构整个收进了 \(G\) 的一次函数求值里。

剩下两步是顺理成章的收尾。下一期数据的条件密度，由式 (14) 傅里叶反演得到（这是似然函数的原料）：

$$p(y_{t+1} \mid Y_t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(i\Phi, 0 \mid Y_t)\, e^{-i\Phi y_{t+1}}\, d\Phi$$

而下一期潜变量的后验特征函数，由 Bartlett 命题（式 15）更新：

$$G_{t+1\mid t+1}(ic) = \frac{\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} G_{t\mid t}\!\left[D(i\Phi, ic, y_t)\right] e^{C(i\Phi, ic, y_t) - i\Phi y_{t+1}}\, d\Phi}{p(y_{t+1} \mid Y_t)}$$

这个后验，转身就成了下一时步的先验。如此 \(t=1,2,\dots\) 循环往复，似然函数 \(\ln L = \ln p(y_1\mid\theta) + \sum_{t=2}^{T}\ln p(y_t\mid Y_{t-1},\theta)\) 一路累加出来——参数估计和波动率滤波，至此真的成了同一台机器的两个输出口。

3.4 那个「近似」从哪来

到这里方法还是精确的。问题出在实现：递归每一步都要把整条函数 \(G_{t|t}(ic)\) 临时存下来。用样条或切比雪夫多项式这类「无理论」逼近当然能任意精确，但它们不保证逼出来的还是一个合法的特征函数。

Bates 举了个漂亮的反例——爱德沃斯 (Edgeworth) 分布：它要求超额峰度 \(k_4 \le 4\) 才不至于让密度出现负值，可你光盯着它的特征函数，根本看不出 \(k_4=4\) 是个临界值，一个数值上等价于 \(\hat{k}_4 = 4.005\) 的逼近函数就会悄悄生成非法密度。

于是他退一步，用一个和卡尔曼滤波同精神的矩匹配 (moment-matching) 逼近：每一步只追两个矩——条件均值 \(\hat{x}_{t+1|t+1}=G'_{t+1|t+1}(0)\) 和条件方差 \(P_{t+1|t+1}=G''_{t+1|t+1}(0)-\hat{x}^2_{t+1|t+1}\)，再据此从一个已知性质的两参数分布族里挑一个特征函数来近似 \(G\)。潜变量无界（如对数方差模型）就用高斯：

$$\ln \hat{G}_{t+1\mid t+1}(ic) = \hat{x}_{t+1\mid t+1}(ic) + \tfrac{1}{2} P_{t+1\mid t+1}(ic)^2$$

潜变量非负（如平方根方差过程）则用伽马 (gamma)：

$$\ln \hat{G}_{t+1\mid t+1}(ic) = -v_{t+1}\ln(1 - \delta_{t+1}\, ic), \quad \delta_{t+1}=\frac{P_{t+1\mid t+1}}{\hat{x}_{t+1\mid t+1}}, \quad v_{t+1}=\frac{\hat{x}^2_{t+1\mid t+1}}{P_{t+1\mid t+1}}$$

因为更新依旧是合法的贝叶斯更新，只要先验合法，后验就一定合法——形状约束被分布族天然守住了。代价是「近似」二字，整套方法因此叫 AML（近似极大似然），每个时步只需三次一维数值积分。与卡尔曼滤波最大的不同在于：卡尔曼对条件均值是严格线性更新，而式 (16)、(17) 给出的是最优的非线性矩更新——这正是它能吃下非高斯肥尾与跳跃的本钱。

4 它到底好在哪：三个基准上的体检

然后，一个尖锐的问题是：方法再优雅，估得准不准？Bates 拿了三块有「标准答案」的试金石来体检。

第一，参数估计效率。 对离散时间对数方差过程，AML 比 EMM 更有效，且几乎和 MCMC 一样有效；对带常数跳跃强度的连续时间随机波动率/跳跃模型，AML 与 MCMC 的估计效率不相上下。换句话说，它没有为「顺手做滤波」而在参数精度上付出明显代价。下面这张复现 Eraker–Johannes–Polson 蒙特卡洛实验的表，正是这一结论的依据。

Table 2: summarizes the results of replicating the EJP Monte Carlo

Table 2: summarizes the results of replicating the EJP Monte Carlo

第二，滤波精度。 这是 AML 真正想赢的地方。对连续时间随机波动率过程，当跳跃存在时，AML 的波动率滤波明显比 GARCH 更准，而且它几乎榨干了数据里的信息——留给 EMM 式「再投影」可捡的东西所剩无几。图 2 直观地展示了滤波出的 \(E[V]\) 对真实波动率的追踪。

Figure 2: illustrates the accuracy of the volatility filtration E V con-

Figure 2: illustrates the accuracy of the volatility filtration E V con-

第三，也是最有意思的——实证发现。 为了和基于 EMM 的估计正面对话，Bates 用了 Andersen、Benzoni 和 Lund (2002) 那份 1953–1996 年的标普 500 日收益数据（由 Luca Benzoni 慷慨提供）。结果出现了反转：AML 给出的结论与 EMM 有实质性分歧——它读出了更大、且随时间起伏 (time-varying) 的跳跃风险。这一点对给股指期权定价至关重要：跳跃风险的水平和它的时变性，正是期权隐含波动率「微笑」与「期限结构」背后的核心驱动。SVJ2 模型在收益与超额收益上的估计，汇总在下表。

Table 8: contains estimates of the SVJ2 model on returns and excess

Table 8: contains estimates of the SVJ2 model on returns and excess

Warning

这里要诚实：本文正文在公开可读的部分并未逐一给出 SVJ2 各参数的点估计与 t 值，上面三段只复述了作者明确陈述的定性结论与效率排序。具体数字请以原文表 2、表 8 为准。

5 文献脉络：从一篇 1938 年的老论文说起

把这条线索捋直，会发现它跨度惊人。

最上游，是 Bartlett (1938) 那篇讲「条件统计量的特征函数」的小文章——它提供了「特征函数版贝叶斯更新」这把钥匙，沉睡了大半个世纪。中游分两支：一支是高斯状态空间与卡尔曼滤波（Hamilton 1994 的教科书式总结，以及 Ruiz 1994、Harvey、Ruiz 和 Shephard 1994 把它用到潜在波动率上）；另一支是仿真革命——Jacquier、Polson 和 Rossi (1994) 的 MCMC，Gallant 和 Tauchen (1998, 2002) 的 EMM，把「估计」推到了前所未有的灵活度，代价是「滤波」要另起炉灶。

与此同时，仿射类过程在定价端开枝散叶：Duffie、Pan 和 Singleton (2000) 给出了仿射跳跃扩散的统一变换分析，Carr、Geman、Madan 和 Yor (2003)、Huang 和 Wu (2004) 把它推广到时间变换 Lévy 过程。实证上，Andersen、Benzoni 和 Lund (2002)、Chernov、Gallant、Ghysels 和 Tauchen (2003)、Eraker、Johannes 和 Polson (2003) 反复争论「股票收益到底需要几个跳跃、跳在哪里」。

文献脉络时间线
文献脉络时间线（按发表年份排布；红色为本文）

Bates (2006) 站的位置，恰好是这两条河的交汇处：它借仿射类过程「特征函数解析」的便利，把 Bartlett 那把老钥匙激活，让卡尔曼式的递归滤波第一次能在非高斯、带跳跃的仿射世界里跑起来——于是「估计」和「滤波」合流。它也呼应了用经验特征函数做推断的那条小支流（Feuerverger 和 McDunnough 1981a, b；Jiang 和 Knight 2002；Chacko 和 Viceira 2003），但走得更远：不止用特征函数估参数，而是用它做完整的潜变量滤波。

6 评论与延伸（Q&A + 研究方向）

(a) 几个可能的疑问

Q：AML 和卡尔曼滤波，到底是不是一回事？

不是，但血缘很近。卡尔曼滤波是 AML 在「多元正态」这个特例下的样子——那时只需线性地更新两个矩。AML 把它推广到没有正态便利的仿射过程：更新规则变成式 (16)、(17) 给出的最优非线性矩更新，这才接得住肥尾与跳跃。可以说卡尔曼是 AML 的高斯堂兄。

Q：「近似」二字会不会让它沦为二流方法？

近似只发生在「用两参数分布族去存先验特征函数 \(G_{t|t}\)」这一处，本质是对真实对数特征函数做了二阶泰勒逼近。作者证明这套矩匹配是数值稳定的滤波——滤波误差随数据增多而衰减。而且精度可调：换更精确的逼近就能更接近真正的极大似然，是效率与速度之间的一个可移动的权衡点，而非死结。

Q：既然这么好，为什么大家没全改用它？

因为有两道硬墙。其一，目前只适用于半仿射过程；仿真类方法（EMM、MCMC）在模型设定上灵活得多。其二，「维数灾难」：它依赖数值积分，最适合单一数据源，两个数据源就要二维积分，再高基本不可行——尽管作者认为推广到多个潜变量是有希望的。

Q：为什么偏要在特征函数里算，而不直接算密度？

一句话：能写出解析转移密度的状态空间系统是少数，能写出解析条件特征函数的是多数。仿射过程的密度往往没有闭式解，但特征函数几乎总有——这正是它在债券和期权定价里大行其道的原因。Bates 只是把这份「定价端的便利」搬到了「估计端」。

Q：为什么 AML 在标普 500 上读出的跳跃风险比 EMM 更大、更时变？

根子在于两类方法用信息的方式不同。EMM 把信息压进一组矩条件，再靠再投影事后还原波动；AML 则在每一个时点都做完整的非线性贝叶斯更新，对「单日大幅波动到底是高波动率还是一次跳跃」分辨得更细。当滤波本身更准（尤其在有跳跃时明显胜过 GARCH），它自然能识别出更丰富、随时间起伏的跳跃成分。

Q：这对期权定价者意味着什么？

意味着「跳跃风险溢价」可能既比 EMM 估计的更大，也更不稳定。隐含波动率曲面的陡峭微笑与期限结构，本就靠跳跃强度及其时变来撑——若跳跃风险真如本文所示更显著、更时变，那么用常数跳跃强度模型给指数期权定价，会系统性地错估尾部。

(b) 几个可能的研究问题与提案

1. 把 AML 搬到公司债与信用利差上。 【经济故事】公司债收益率同样由一个看不见的、均值回归且带跳跃的违约/流动性状态驱动，且这状态在危机里会突然跳。AML 的非负潜变量（伽马逼近）天然适配「违约强度非负」的设定。 【可行性】中。TRACE 提供了交易级数据，仿射强度模型 (Duffie–Singleton) 现成；难点在单一债券交易稀疏、数据源若同时纳入价格与成交量会触发二维积分的维数灾难。可先在高流动性发行人上做单数据源验证。

2. 用 AML 重估外资持有人冲击下的波动率时变。 【经济故事】外资大进大出常被怀疑放大了本地资产波动；若能把「波动率」与「跳跃强度」分离滤出，就能检验外资流动究竟抬高的是连续波动还是跳跃频率。 【可行性】中。需要月度/周度的外资持仓（如 TIC、各国托管数据）配合日收益；识别上可借外资流动的外生冲击做事件窗内的滤波对比，诚实地说，因果识别仍是软肋。

3. 跨频率信息融合：日收益 + 已实现波动率。 【经济故事】Andersen、Bollerslev、Diebold 和 Ebens (2001) 的已实现波动率本身落在仿射框架内，理论上可作为第二个数据源喂进滤波，大幅提升潜变量精度。 【可行性】中偏低。两数据源即触发二维积分，正是本文坦承的瓶颈；但若用作者提示的「多潜变量推广」思路或低维数值技巧，是一个有明确技术含量的方法论选题。

4. AML 对滤波误差衰减速度的实证刻画。 【经济故事】作者证明滤波误差会随数据衰减，但「多快」直接决定了风险管理里 VaR 的可靠性——尤其在结构突变（如 2008）之后，滤波要多久才「找回」真实波动率？ 【可行性】高。纯方法论+模拟，无需新数据，可直接在作者的设定上做蒙特卡洛，量化收敛速度对参数（跳跃强度、均值回归速度）的敏感性。这与《恐慌指数也能定价：当 2008 把所有「均值回归」模型一起按在地上摩擦》关心的问题正好互补。

5. 把跳跃的「指纹」从滤波残差里抽出来。 【经济故事】既然 AML 能在每个时点分辨「这是波动还是跳」，那么滤出的跳跃序列本身就是一份高频的市场恐慌记录，可拿去和宏观/新闻事件对齐。 【可行性】高。在已估出的 SVJ 模型上，跳跃后验概率是现成输出；与新闻或期权隐含跳跃做对照即可。这一思路与《期权"快到期"那一刻，藏着跳跃的指纹》从期权端识别跳跃的做法互为镜像。

7 我的判断

这篇论文的贡献，是方法论上的一次「换语言」：它没有发明新的资产价格模型，而是把「在哪里做计算」从概率密度搬到了特征函数，从而让卡尔曼滤波那套「估计与滤波合一」的优雅，第一次延伸到了带跳跃的非高斯仿射世界。在一个长期把参数估计和波动率滤波切成两段的文献里，这种整合本身就有分量；而它在标普 500 上读出「更大、更时变的跳跃风险」，也对当时基于 EMM 的共识构成了实打实的挑战。

但我对识别有两点保留。其一，所有实证结论都建立在「半仿射设定正确」之上。AML 和 EMM 的分歧，究竟是 AML 用信息更充分，还是因为它对模型误设更敏感、把误设吸收成了「时变跳跃」？本文给出的是模拟里的效率优势，而模拟数据天生满足仿射假设——这恰恰是真实数据不保证的地方。其二，「近似」的影响缺乏上界。作者证明了数值稳定与误差衰减，但矩匹配逼近在多大程度上扭曲了跳跃风险这种高阶矩主导的量，文中并未给出一个让人安心的界。

后续我最想看到的，是两件事：一是在已知存在模型误设的仿真里，比较 AML 与 EMM 各自会把误设「翻译」成什么——这能直接回答上面第一点担忧；二是把这套方法推到信用市场，看「违约强度」这个非负、跳跃、强烈时变的潜变量，能否被同样干净地滤出来。如果能，那么 Bartlett 那把 1938 年的老钥匙，恐怕还能再开好几扇门。

参考文献