选美比赛里的价格：当「我猜你猜我猜」写进了资产定价

1 一个被引用了七十年、却从没被算清楚的比喻

凯恩斯 (Keynes, 1936) 在《通论》里留下了那段几乎人人都会背的话：职业投资就像一场报纸选美比赛，你要选的不是你自己觉得最美的脸，也不是大家真心觉得最美的脸，而是你认为大家会认为大家觉得最美的那张脸——「我们已经到了第三层，把智力用在预测平均意见所预期的平均意见上。还有人，我相信，正在实践第四层、第五层乃至更高的层级。」

这段话被引用了七十年。它太有画面感了，以至于学界和业界都觉得「股市当然是这么回事」。但奇怪的是，理论上的资产定价模型却长期讲不出这个故事。为什么？

因为标准的代表性投资者 (representative investor) 模型里，根本没有高阶信念的容身之处。在那个世界里，价格等于资产未来支付流在某个等价鞅测度 (equivalent martingale measure) 下的折现期望——这正是价格的鞅性质 (martingale property)。而鞅性质背后藏着一条铁律：迭代期望律 (law of iterated expectations)。代表性投资者今天对「他明天的预期」的预期，就等于他今天对未来支付的预期：

$$E_{it}\big[E_{i,t+1}(\theta)\big] = E_{it}(\theta).$$

一旦这条律成立，未来就可以「折叠 (folding back)」到现在——明天的预期可以无痛地坍缩成今天的预期，「我猜你猜」里那些套娃般的层级，一层层全都自动消解了。选美比赛根本开不起来。

于是问题就清楚了：要让凯恩斯的比喻活过来，必须先让这条迭代期望律失效。 而这篇论文最漂亮的地方，就是它指出——只要投资者之间存在差异信息 (differential information)，对平均预期而言，这条律本就不成立，而且失效得很有规律。

2 核心一击：平均预期为什么不满足迭代期望律

先把符号摆清楚。对任意随机变量 \(\theta\)，记 \(E_{it}(\theta)\) 为投资者 \(i\) 在 \(t\) 期的个人预期，记 \(\bar E_t(\theta)\) 为 \(t\) 期所有人预期的横截面平均，记 \(E^*_t(\theta)\) 为只用公共信息得到的公共预期。

个人预期与公共预期都老老实实地满足迭代期望律。但平均预期 \(\bar E_t\) 不满足——

$$\bar E_t\big[\bar E_{t+1}(\theta)\big] \;\neq\; \bar E_t(\theta).$$

这个不等号，就是整篇论文的发动机。怎么看出来的？作者举了一个静态到不能再静态的例子（无学习、无时间），却把机制照得透亮。

设 \(\theta \sim N(y,\,1/\alpha)\)，先验均值 \(y\) 是大家都看得到的公共信号。每个人 \(i\) 另外观察一个私人信号 \(x_i = \theta + \varepsilon_i\)，噪声 \(\varepsilon_i\) 在人群中均值为 \(0\)、精度为 \(\beta\)。这就是全部信息。那么贝叶斯更新给出个人预期：

$$E_i(\theta) = \frac{\alpha y + \beta x_i}{\alpha + \beta}.$$

第一步，把它在人群上取平均。私人噪声 \(\varepsilon_i\) 一平均就「被洗掉 (washed out)」了，于是 \(\overline{x_i} \to \theta\)，平均预期变成

$$\bar E(\theta) = \frac{\alpha y + \beta \theta}{\alpha + \beta}.$$

接着，一个自然的问题是：如果我现在不是去猜 \(\theta\)，而是去猜「别人平均会怎么猜 \(\theta\)」，我该怎么报价？注意，\(\bar E(\theta)\) 本身又是 \(y\) 和 \(\theta\) 的函数。我对它做预期，就是把上式里的 \(\theta\) 换成我对 \(\theta\) 的个人预期 \(E_i(\theta)\)：

$$E_i\big[\bar E(\theta)\big] = \frac{\alpha y + \beta E_i(\theta)}{\alpha + \beta} = \frac{\alpha y + \beta\cdot \frac{\alpha y + \beta x_i}{\alpha+\beta}}{\alpha+\beta} = \left[1 - \Big(\tfrac{\beta}{\alpha+\beta}\Big)^2\right] y + \Big(\tfrac{\beta}{\alpha+\beta}\Big)^2 x_i.$$

再在人群上平均一次（\(x_i \to \theta\)）：

$$\bar E\big[\bar E(\theta)\big] = \left[1 - \Big(\tfrac{\beta}{\alpha+\beta}\Big)^2\right] y + \Big(\tfrac{\beta}{\alpha+\beta}\Big)^2 \theta.$$

然后，把这个操作迭代 \(k\) 次，就得到了全文最干净的那个公式：

$$\bar E^{\,k}(\theta) = \left[1 - \Big(\tfrac{\beta}{\alpha+\beta}\Big)^k\right] y + \Big(\tfrac{\beta}{\alpha+\beta}\Big)^k \theta. \tag{1}$$

盯着这个式子看，两件事跳出来。

其一，每多绕一层「猜」，权重就更偏向公共信号 \(y\)。 因为 \(\beta/(\alpha+\beta) < 1\)，每迭代一次，落在真值 \(\theta\) 上的权重 \((\beta/(\alpha+\beta))^k\) 就缩小一截。其二，当 \(k\to\infty\)，\(\bar E^{\,k}(\theta) \to y\)。 也就是说，「无穷阶平均信念」会彻底收敛到公共先验，把私人信息里关于 \(\theta\) 的全部内容统统丢光。

这背后的直觉，比代数更值得记住。当我预测 \(\theta\) 本身时，私人信号和公共信号同样有用，我给它们同样的权重。但真正关键的一步在于：当我转而预测「别人的平均看法」时，我心里清楚——别人也都看到了同一个公共信号 \(y\)，而别人的私人信号我一无所知、且它们彼此会相互抵消。于是 \(y\) 成了预测「平均意见」的更好工具，我会超额地依赖公共信息。任何让高阶信念进入定价的模型，都会得出同一个结论：价格过度倚重公共信息。

2.1 把「绕圈子」写成一条马尔可夫链

作者还给了第二种讲法，我觉得它才是这篇论文真正优雅的地方。把个人 \(i\) 的推断写成矩阵形式：对状态向量 \((y,\,\theta)\) 取平均预期，相当于乘上一个转移矩阵——

$$\bar E \begin{pmatrix} y \\ \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{\alpha}{\alpha+\beta} & \frac{\beta}{\alpha+\beta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ \theta \end{pmatrix}.$$

这是一条定义在状态空间 \(\{y,\theta\}\) 上的两状态马尔可夫链 (two-state Markov chain) 的转移矩阵。公共信号 \(y\) 是它的吸收态 (absorbing state)——第一行是 $(1,0)$，系统一旦进入 \(y\) 就再也出不来。而高阶平均信念，无非就是把这个转移矩阵迭代 \(k\) 次：

$$\bar E^{\,k} \begin{pmatrix} y \\ \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1-\left(\frac{\beta}{\alpha+\beta}\right)^k & \left(\frac{\beta}{\alpha+\beta}\right)^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ \theta \end{pmatrix} \;\longrightarrow\; \begin{pmatrix} y \\ y \end{pmatrix} \quad \text{as } k\to\infty.$$

真值 \(\theta\) 上的权重，恰好是马尔可夫链「停留在暂态 (transitory state)」的概率。信念的阶数越高，停留在暂态的概率越小，\(\theta\) 拿到的权重就越少——直到全部流入吸收态 \(y\)。一个看似抽象的「我猜你猜我猜」的无穷层级，被化成了一条会被吸收态慢慢吞掉的马尔可夫链。漂亮。

3 资产定价模型：把选美比赛真正建出来

到这里，定价公式 \(p_t = \bar E_t(p_{t+1})\) 还只是「凭凯恩斯的权威」假设出来的。于是反转出现：作者要造一个真正的、完全理性的噪声理性预期模型，让这条公式自己长出来，并且认真处理「从价格中学习」这件事。

3.1 设定

时间是离散的，\(t = 1, 2, \dots, T, T+1\)。一只风险资产在 \(T+1\) 期清算，在第 \(1\) 到 \(T\) 期交易。清算价值 \(\theta \sim N(y, 1/\alpha)\) 在第 \(1\) 期交易前就定下来、之后保持不变。

关键的设定是重叠世代 (overlapping generations, OLG)：每期出生一个单位质量的交易者，活两期，年轻时买入建仓、不消费，年老时（下一期）平仓、消费、然后退出。这个假设不是为了好玩——它把「短期价格波动对交易者至关重要」这件事推到了极致。年轻的交易者今天买入，明天就要靠卖出价 \(p_{t+1}\) 来吃饭，所以他根本不关心 \(T+1\) 期那个遥远的清算价值，他只关心明天的价格。这正是选美比赛的精髓：我不在乎这张脸到底美不美，我在乎明天别人愿意出多少钱接我的盘。

每个 \(t\) 期出生的交易者 \(i\)，信息集是 \(\{y, p_1, p_2, \dots, p_t, x_{it}\}\)：完整的价格历史，加上自己的私人信号 \(x_{it} = \theta + \varepsilon_{it}\)，其中 \(\varepsilon_{it} \sim N(0, 1/\beta)\)，跨人、跨时独立。上一代人的私人信号他看不到。所有人都是 CARA 效用 \(u(c) = -e^{-c/\tau}\)，\(\tau\) 是风险容忍度（绝对风险厌恶的倒数）。每期还有一个外生的噪声净供给 \(s_t\)，均值 \(0\)、精度 \(\gamma_t\)，跨期独立——它的作用是经典的：防止价格变成完全揭示基本面的信号。

3.2 价格如何递归地「向后折叠」

先看最后一期 \(T\)。CARA 加正态，需求是线性的。交易者 \(i\) 对资产的需求为

$$\frac{\tau}{\operatorname{Var}_{iT}(\theta)}\big(E_{iT}(\theta) - p_T\big). \tag{4}$$

由于私人信号在给定 \(\theta\) 下 i.i.d.，条件方差跨人相同，记为 \(\operatorname{Var}_T(\theta)\)。把需求在所有人上加总，得到总需求

$$\frac{\tau}{\operatorname{Var}_T(\theta)}\big(\bar E_T(\theta) - p_T\big), \tag{5}$$

其中 \(\bar E_T(\theta)\) 正是 \(\theta\) 在 \(T\) 期的平均预期。令总需求等于净供给 \(s_T\)，市场出清给出

$$p_T = \bar E_T(\theta) - \frac{\operatorname{Var}_T(\theta)}{\tau}\, s_T. \tag{6}$$

接着看 \(T-1\) 期。这里是 OLG 的威力所在：在 \(T-1\) 期交易的年轻人，关心的是 \(p_T\) 而不是清算价值 \(\theta\)，因为他们的消费挂在 \(p_T\) 上。于是同样的推导给出

$$p_{T-1} = \bar E_{T-1}(p_T) - \frac{\operatorname{Var}_{T-1}(p_T)}{\tau}\, s_{T-1}. \tag{7}$$

把 (6) 代入 (7)，并注意 \(\bar E_{T-1}(s_T) = 0\)：

$$p_{T-1} = \bar E_{T-1}\bar E_T(\theta) - \frac{\operatorname{Var}_{T-1}(p_T)}{\tau}\, s_{T-1}. \tag{8}$$

这是一个可以一路向后迭代的递归关系。于是 \(t\) 期价格就是：

方程 (9) 就是整篇论文的归宿。价格不是基本面的折现期望，而是「平均预期的平均预期的……平均预期」。第 2 节里那条「平均预期不满足迭代期望律」的代数性质，现在直接作用在价格上：那一长串嵌套的 \(\bar E\) 不会自动坍缩成 \(\bar E_t(\theta)\)，凯恩斯的层级被真真切切地保留了下来。

如果把第 2 节静态例子里的结论搬过来（用定价公式 \(p_t = \bar E_t(p_{t+1})\) 的简化版），价格就长成

$$p_t = \left[1 - \Big(\tfrac{\beta}{\alpha+\beta}\Big)^{T-t}\right] y + \Big(\tfrac{\beta}{\alpha+\beta}\Big)^{T-t} \theta. \tag{3}$$

读这个式子：距离清算还有 \(T-t\) 期，就要绕 \(T-t\) 层「猜」，于是真值 \(\theta\) 上的权重是 \((\beta/(\alpha+\beta))^{T-t}\)，离清算越远（\(T-t\) 越大），价格越偏向公共信号 \(y\)、越偏离基本面。

4 两个结果：泡沫的影子，与动量的影子

作者用三个命题刻画了价格路径，结论可以浓缩成两条。

第一，价格的平均路径会系统性地偏离基本面共识。 这里「系统性」三个字是要害——噪声供给会让价格的实际实现值上下抖动，但即便把供给噪声平均掉，价格路径仍然偏离 \(\bar E_t(\theta)\)（基本面的市场共识），而且比共识离真值更远。价格不只是没反映真实基本面，它还被公共信号往外多拽了一把。只要市场价格不反映关于真值的共识，我们就有了泡沫 (bubble) 的成分——注意，这里没有任何非理性、没有任何泡沫破裂的预设，纯粹是高阶信念的代数后果。（关于理性人如何在攀比心下亲手吹起泡沫的另一条路径，可参见《怕的不是亏钱，是「跟大家一起穷」》。）

第二，价格对基本面变动的反应迟钝，呈现惯性或「漂移 (drift)」。 即便交易者已经更新了对基本面的看法，价格也没有跟着动那么多。第 1 期那个初始调整，慢得「太过头」。这一条让人立刻想起实证里那个顽固的规律：在大约 1 到 12 个月的水平上，资产收益里存在可预测的成分，价格表现出动量 (momentum)（Barberis, Shleifer & Vishny (1998) 收集了大量这类证据）。在一场选美比赛里，价格表现出同样的「动量/漂移」的外在症状——尽管价格明明是对未来清算价值的前瞻性预期，这种前瞻性预期里却内生地藏着可观的惯性。

把两条放在一起，这篇论文给出了一个统一的图景：泡沫式的偏离与动量式的迟钝，并非来自非理性或行为偏差，而是差异信息下高阶信念的同一个代数事实——平均预期不满足迭代期望律——在价格上的两种投影。

5 文献脉络

这条线的源头当然是凯恩斯 (Keynes, 1936) 的选美比喻。但比喻归比喻，真正能把「差异信息 + 价格揭示」写成均衡的，是 1970–80 年代那批噪声理性预期模型：Grossman (1976)、Hellwig (1980)、Diamond & Verrecchia (1981) 奠定了「价格在竞争性市场中扮演信息聚合角色」的框架，Admati (1985) 把它推广到多资产、强调了交易者预测误差之间的相关性。

但这些早期工作大多盯着交易量，没有把高阶信念在价格里的角色挑明。与本文血缘最近的是动态噪声理性预期这一支：Singleton (1987)、Brown & Jennings (1989)、Grundy & McNichols (1989)、He & Wang (1995)。Brown & Jennings (1989) 已经发现，在噪声理性预期均衡里（不同于鞅式的世界），过去的价格会向市场参与者传递信息；He & Wang (1995) 则注意到，有限期限的假设让高阶预期可以被降阶。本文的贡献，是把这些模型里早已存在、却没被点破的高阶信念结构显式地拎出来，并用马尔可夫链给了它一个干净的代数刻画。

另一条平行的脉络在宏观：Townsend (1978, 1983) 与 Phelps (1983) 开创的「预测别人的预测 (forecasting the forecasts of others)」，到 Sargent (1991) 一路发展，研究的正是前瞻性的迭代平均预期。本文指出，这类前瞻性迭代平均预期表现出惯性——这对近年宏观里重新升温的异质预期研究（Woodford (2003)、Hellwig (2002) 等）颇有启发。而 Morris & Shin (2002) 关于公共信息社会价值的工作，则与本文「过度依赖公共信号」的结论遥相呼应。Bacchetta & van Wincoop (2002, 2004) 也在汇率与资产定价中探讨了高阶信念。

（关于「你以为的独家消息，市场可能早已知道」这种高阶不确定性，本博客另有一篇可参看：《你手里的「独家消息」，可能整个市场早就知道了》。）

6 评论与延伸（Q&A + 研究方向）

(a) 几个可能的疑问

Q：迭代期望律对个人预期成立，为什么对「平均预期」就失效了？

因为「平均」这个算子里藏了猫腻。个人预期 \(E_{it}\) 用的是同一个信息集、同一个概率测度，迭代期望律是测度的内禀性质，自然成立。但 \(\bar E_t\) 是把不同人、用不同信息集得到的预期横截面加总。当我去预测「别人的平均预期」时，我用的是我自己的信息去推断别人会怎么想，而别人看到的公共信号我知道、私人信号我不知道——这种信息的不对称让两次平均不能交换次序，于是 \(\bar E_t\bar E_{t+1}(\theta) \neq \bar E_t(\theta)\)。

Q：这算「真泡沫」吗，还是只是借了「泡沫」这个词？

它是「泡沫的成分 (elements of a bubble)」，措辞很克制。价格系统性地偏离基本面共识、且偏得比共识更远，这符合泡沫的外在特征。但它和经典的理性泡沫（如 rational bubble 里价格含一个发散的鞅成分）机制不同：这里价格仍是有限期、收敛的，偏离来自高阶信念对公共信号的过度加权，而非自我实现的发散预期。

Q：模型说价格「反应迟钝」，可这和价格是前瞻性预期不是矛盾吗？

不矛盾，这恰恰是反直觉的精彩之处。价格确实是对未来的前瞻性预期，但「对未来的预期」本身就内嵌了高阶信念的惯性：要预测明天的价格，就要预测别人明天的平均看法，而别人也在做同样的事——这层层嵌套让私人信息的传导被「打了折扣」，公共先验拖住了价格，于是前瞻性预期反而显得迟钝。

Q：为什么非要用重叠世代（OLG）这么强的假设？换成长寿交易者会怎样？

OLG 是把「短视」推到极致的建模装置，目的是让交易者只关心下一期卖出价、彻底不管遥远的清算价值，从而把选美比赛的逻辑放到最显眼的位置。作者在结论里讨论了放松这个假设：长寿交易者只要有消费平滑偏好或代理问题，也会在意短期价格，定性结论应当稳健，只是高阶信念的效应会被稀释。

Q：噪声供给 \(s_t\) 跨期独立，这个假设合理吗？

作者自己承认这点「可能不太令人满意」，尤其在 OLG 下不算自然。它给了一个「噪声交易者每期到场、下期自动反向平仓」的故事来勉强自圆其说。本质上这只是为了保证价格不完全揭示、并维持可解性的技术装置。He & Wang (1995) 用的是 AR(1) 供给，Brown & Jennings (1989) 用随机游走——本文的独立设定是它们的一个特例。

Q：如果信息变得几乎全公共（\(\beta \to 0\) 或人人共享），高阶信念还重要吗？

不重要了。看公式 (1)：当私人信号精度 \(\beta\) 很小，\(\beta/(\alpha+\beta)\to 0\)，于是 \(\bar E^{\,k}(\theta)\approx y\)，而且各阶迅速坍缩到公共先验——价格几乎完全由公共信息决定，高阶层级失去意义。高阶信念之所以「咬人」，正是因为存在有价值且分散的私人信息。Pearlman & Sargent (2002) 也指出，某些此类问题会退化为共同知识情形。

(b) 几个可能的研究问题与提案

1. 把「过度依赖公共信号」搬到公司债市场。 【经济故事】公司债流动性差、定价高度依赖评级、央行公告、宏观数据这类公共信号，私人信息（如机构的信用研究）分散且难以加总。本文预测：越是依赖公共信号的市场，价格越会过度反应公共信息、偏离基本面共识。信用市场可能是检验这一机制的理想场所。 【可行性】中。需要 TRACE 成交数据 + 区分公共信号事件（评级变动、FOMC、宏观数据发布）。识别上可比较「公共信号密集期」与「私人信息主导期」债券价格对基本面（违约率、回收率）的反应弹性。难点在于如何干净地度量「基本面共识」。

2. 用外资持有人份额做「私人信息异质性」的代理。 【经济故事】外资与本土投资者往往掌握不同信息（本土看得懂公共政策语境，外资有全球比较视角）。本文框架下，投资者群体信息结构的差异会改变价格对公共/私人信号的加权。一个自然问题：外资份额高的市场，价格是否更偏向全球公共信号、对本地私人信息反应更钝？ 【可行性】中。需要跨国持有人数据（如 FactSet/EPFR）+ 各国公共信号事件。识别可借助指数纳入等准自然实验改变外资份额。挑战在于把「信息异质性」从「需求弹性」中剥离。

3. 直接检验「价格偏离比共识更远」这条命题。 【经济故事】本文给出了一个可证伪的强预测：价格不仅偏离平均预期，而且比平均预期离真值更远。如果能同时观测到价格、分析师/投资者的预期分布、以及事后实现的基本面，就能直接检验这个「更远」是否成立。 【可行性】中偏高。盈余公告场景下，可用分析师预期共识做 \(\bar E_t(\theta)\)、用事后实际盈余做 \(\theta\)、用公告前价格做 \(p_t\)。难点是噪声供给的平均化——需要足够大的横截面来「洗掉」供给噪声。

4. 高阶信念与流动性危机中的「过度同向」。 【经济故事】危机中公共信号（恐慌指数、央行表态）主导一切，本文预测此时价格会极度偏向公共信号、私人信息几乎失声——这可能是流动性骤停时价格「过度同向崩塌」的一个理性解释。 【可行性】中偏低。需要在危机窗口内区分公共与私人信息流，数据稀疏、事件少，识别困难，更多可能停留在校准/数值模拟而非干净的因果识别。

7 我的判断

这篇论文的贡献，不在于发现了什么新现象，而在于用最少的假设，把一个被引用了七十年的比喻第一次算清楚了。它的核心是一句几乎可以写在明信片上的话：平均预期不满足迭代期望律，且其失效遵循一条以公共信号为吸收态的马尔可夫链。就凭这一句代数事实，泡沫的影子和动量的影子同时落地，而且全程没有动用任何非理性——这是它最有说服力、也最优雅的地方。马尔可夫链那个表述尤其漂亮，把抽象的无穷层级化成了一个会被吸收态吞掉的概率，直觉一下子就立住了。

要说担忧，主要在于它终究是一个高度风格化的理论模型，几个关键假设（OLG 短视、噪声供给跨期独立、CARA-正态）都是为可解性服务的便利设定，把它们放松后定性结论能撑多远，论文只在结论里口头讨论、没有正式证明。更要紧的是，「价格偏离基本面共识」和「价格表现出动量」这两条，论文是作为模型的性质给出的，并没有拿数据去对——它给的是机制，不是实证检验。所以它说的是「选美比赛能够产生泡沫与动量的外在症状」，而不是「现实中的泡沫与动量就是这么来的」。

我接下来最想看到的，是有人把这个框架的可证伪预测——「价格比共识离真值更远」——拿到能同时观测价格、预期分布与事后基本面的场景里去较真地检验一次（盈余公告或许是最干净的试验田）。如果这条「更远」在数据里站得住，那这篇 2006 年的理论论文就不只是把凯恩斯算清楚了，而是真的抓住了价格偏离的一个可度量的来源。

参考文献

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